高考最全二次方程根的分布归纳

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 高考最全二次方程根的分布归纳

2ax?bx?c?0根的分布情况 1、一元二次方程

设方程ax?bx?c?0?a?0?的不等两根为x1,x2且x1?x2，相应的二次函数为f?x??ax2?bx?c?0，

2方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布情况两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0?x1?0?x2? ?x1?0,x2?0? ?x1?0,x2?0? a?0） a?0） 大致图象（得出的结论???0?b??0 ???2a??f?0??0???0?b??0 ???2a??f?0??0f?0??0 大致图象（得出的结论???0?b??0 ??2a???f?0??0???0?b??0 ??2a???f?0??0f?0??0 综合结论（不讨论a???0?b???0 ??2a??a?f?0??0???0?b???0 ??2a??a?f?0??0a?f?0??0 ） 昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 表二：（两根与k的大小比较）

分布情况两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个大于k即 x1?k,x2?k x1?k,x2?k x1?k?x2 a?0） a?0） 大致图象（kkk 得出的结论???0?b??k ???2a??f?k??0???0?b??k ???2a??f?k??0f?k??0 大致图象（得出的结论???0?b??k ??2a???f?k??0???0?b??k ??2a???f?k??0f?k??0 综合结论（不讨论a???0?b???k ??2a??a?f?k??0???0?b???k ??2a??a?f?k??0a?f?k??0 ） 昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 表三：（根在区间上的分布）

分布情况两根都在?m,n?内 两根有且仅有一根在?m,n?内 一根在?m,n?内，另一根在?p,q?（图象有两种情况，只画了一种） 内，m?n?p?q a?0） a?0） 需满足的条件是

大致图象（得出的结论???0??f?m??0??f?n??0 ?b?m???n2a??f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?m?f?n??0?f?n??0?或 ???f?p?f?q??0?f?p??0??f?q??0? 大致图象（得出的结论???0??f?m??0??f?n??0 ?b?m???n2a??f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?m?f?n??0?f?n??0?或 ???f?p?f?q??0?f?p??0??f?q??0? 综合结论（不讨论—————— f?m??f?n??0 ?f?m?f?n??0? ???f?p?f?q??0a） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间?m,n?外，即在区间两侧x1?m,x2?n，（图形分别如下）

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com

（1）a?0时，????f?m??0?f?m??0； （2）a?0时，?

???f?n??0?f?n??0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在?m,n?内有以下特殊情况：

1? 若f?m??0或f?n??0，则此时f?m??f?n??0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间?m,n?内，从而可以求出参数的值。如方程mx2??m?2?x?2?0在区间?1,3?上有一根，因为f?1??0，所以mx??m?2?x?2??x?1??mx?2?，另一根为

222，由1??3mm得

2?m?2即为所求； 32? 方程有且只有一根，且这个根在区间?m,n?内，即??0，此时由??0可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x2?4mx?2m?6?0有且一根在区间??3,0?内，求m的取值范围。分析：①由f??3??f?0??0即

?14m?15??m?3??0得出?3?m??14；②由??0即16m2?4?2m?6??0得出m??1或m?2，当

m??1时，根x??2???3,0?，即m??1满足题意；当m?综上分析，得出?3?m??

15333时，根x?3???3,0?，故m?不满足题意；2215或m??1 14根的分布练习题

例1、已知二次方程?2m?1?x?2mx??m?1??0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

2解：由 ?2m?1??f?0??0 即 ?2m?1，从而得???m?1??0

1?m?1即为所求的范围。 2昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 例2、已知方程2x2??m?1?x?m?0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。 解：由

??0?2?m?1?8m?0?????m?1???0???m?3?22或m?3?22? ? ? ? ? ? m??1?2?2m?0????m?0f?0??0???0?m?3?22或m?3?22即为所求的范围。

例3、已知二次函数y??m?2?x2??2m?4?x??3m?3?与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。

解：由 ?m?2??f?1??0 即 ?m?2???2m?1??0 ? ?2?m?

例4、已知二次方程mx2??2m?3?x?4?0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。 解：由题意有方程在区间?0,1?上只有一个正根，则f?0??f?1??0 ? 4??3m?1??0 ? m??求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在?0,1?内，由??0计算检验，均不复合题意，

计算量稍大）

1即为所求的范围。 21即为所3

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 2、二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值问题探讨

设f?x??ax2?bx?c?0?a?0?，则二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值有如下的分布情况：

m?n??b 2am??bb?n即???m,n? 2a2a?b?m?n 2a（1）若?b??m,n?，则f?x?max?max?f?m?,f?n??，f?x?min?min?f?m?,f?n?? 2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。

（2）若?

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数f?x??ax?2ax?2?b?a?0?在?2,3?上有最大值5和最小值2，求a,b的值。

2解：对称轴x0?1??2,3?，故函数f?x?在区间?2,3?上单调。

??3a?b?2?5?a?1?f?x?max?f?3?（1）当a?0时，函数f?x?在区间?2,3?上是增函数，故? ? ? ? ?； fx?f2????2?b?2b?0????min（2）当a?0时，函数f?x?在区间?2,3?上是减函数，故? 图象

最大、最小值f?x?max?f?m? f?x?max?max?f?n?,f?m?? f?x?max?f?n? f?x?min?f?n??b?f?x?min?f????2a?f?x?min?f?m? 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

b???m,n?，则f?x?max?max?f?m?,2a????b?f???,f?n??，f?x?min?min?f?m?,?2a?????b?f???,f?n??； ?2a??二次函数在闭区间上的最值练习

??b?2?5?a??1?f?x?max?f?2? ? ? ? ?fx?f3????3a?b?2?2?b?3???min昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 例2、求函数f?x??x2?2ax?1,x??1,3?的最小值。 解：对称轴x0?a

（1）当a?1时，ymin?f?1??2?2a； （2）当1?a?3时，ymin?f?a??1?a2； （3）当a?3时，ymin?f?3??10?6a

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当a?2时，f?x?max?f?3??10?6a； （2）当a?2时，f?x?max?f?1??2?2a。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当a?1时，f?x?max?f?3??10?6a，f?x?min?f?1??2?2a；

（2）当1?a?2时， f?x?max?f?3??10?6a，f?x?min?f?a??1?a2； （3）当2?a?3时，f?x?max?f?1??2?2a，f?x?min?f?a??1?a2； （4）当a?3时， f?x?max?f?1??2?2a，f?x?min?f?3??10?6a。

例3、求函数y?x?4x?3在区间?t,t?1?上的最小值。

2解：对称轴x0?2

2（1）当2?t即t?2时，ymin?f?t??t?4t?3；

（2）当t?2?t?1即1?t?2时，ymin?f?2???1；

2（3）当2?t?1即t?1时，ymin?f?t?1??t?2t

例4、讨论函数f?x??x?x?a?1的最小值。

22?x?x?a?1,x?a解：f?x??x2?x?a?1??2，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为

?x?x?a?1,x?a直线x??111111，x?，当a??，??a?，a?时原函数的图象分别如下（1），（2），（3） 222222昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com （1）当a??12时，f?x??1?3min?f???2???4?a； （2）当?12?a?12时，f?x?min?f?a??a2?1； （3）当a?12时，f?x??1?3min?f??2???4?a

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