例16.（2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N． （1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
【答案】解：（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°。
∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°。科网]∴∠MDB=∠NEC=120°。 ∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°。∴△BMD∽△CNE。 （2）过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切， ∴MH=MF。 设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°。
∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B。∴DM=BD=x。 ∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x。
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=
MH4?x3，.Com]解得：x=16﹣83。 ?=MDx2∴当BD=16﹣83时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切。 （3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，∴BK=
11BC=×8=4 22343。 =334316311∴S△ABC=BC?AK=×8×。 =3322∵∠B=30°，∴AK=BK?tan∠B=4×由（2）得：MD=BD=x
3x， 23321∴S△BDM=?x?x=x。
242∴MH=MD?sin∠MDH=∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x。
x23?BD?2
∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN=?。∴S（4﹣x）。 △CEN=?=24?CE??4?x?2163323322
﹣x﹣（4﹣x）=﹣x+23x+ 34423283=﹣（x﹣2）+（0≤x≤4）。
2383∴当x=2时，y有最大值，最大值为。
3∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=
【考点】等腰（边）三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE。
（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4﹣x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案。
（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案。
练习题：
1. （2011宁夏自治区10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P． （1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
2.（2011福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)．把
△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。 (1) 求CD的长及∠1的度数；
(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；
(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?
3.（2011浙江杭州12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点 E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH 组成的图形称为蝶形。
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范 围。
4. （2011江苏宿迁12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求 出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
5.（2011江苏淮安12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。 点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点 A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中， 以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正 方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是 ；
当t＝3时，正方形EFGH的边长是 ； （2） 当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3） 直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？ ．．．．．．．
6.（2011内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC． （1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y． ①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．
ADPPACFFBECN
BEDN
图1 图2
五、应用其它知识求最值：典型例题：例1.（2011山东滨州3分）如图．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为【 】
A、43cm
B、8cm8cm C、
16?cm 38D、?cm
3【答案】D。
【考点】旋转的性质，弧长的计算。
【分析】点A所经过的最短路线是以C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A、C、B'三点在同一条直线上，∴∠ACA′＝120°。 又∵AC＝4，∴L?'?AA120???48???cm?。故选D。 1803例2.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【 】
A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A。
【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，当点P运动到点P′，即AP′与⊙O相切时，∠OAP最大。
连接O P′，则A P′⊥O P′，即△AO P′是直角三角形。 ∵OB=AB，OB= O P′，∴OA=2 O P′。 ∴sin?OAP?? O P?100
?。∴∠OAP′=30，即∠OAP的最大值是=30。故选A。 OA2例3.（2011贵州贵阳3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是【 】
【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】
A．2?1 B．5 C．【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=DE=?14555 D． 521AB=1。 2AD2?AE2?12?12?2，
∴OD的最大值为：2?1。故选A。
例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。 在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM， ∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。 ∵BC=42，∠ABC=45°，∴CE的最小值为42sin45=4。 ∴CM+MN的最小值是4。
例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9?cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 ▲ cm。
0
【答案】15?。
【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。
【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面
11圆周长、高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4?cm，高为
333?cm，根据勾股定理，得斜线长为5?cm，根据平行四边形的性质，棉线
最短为15?cm。
例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是
▲ ． 【答案】1＜AD＜4。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：
延长AD至E，使DE=AD，连接CE。
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。 ∴CE=AB。
在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。 ∴1＜AD＜4。 练习题：
1. （2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】
A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm
2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=
2BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】 3
A、(4?6?)㎝ B、5cm C、35㎝ D、7cm
3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ ．
二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ．
【答案】
24。 5【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。 设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，
又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得 BP?2?AB2?AP?2，BP?2?BC2?CP?2。
72∴AB2?AP?2?BC2?CP?2，即52?x2?62??6?x?，解得x=。
55762424?7?=，即BP的最小值是∴BP??5???=。
52555??22例2.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
A． 1 B．3 【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
C． 2 D．3＋1
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。 ∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。 过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。 又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=2?3?3。 3 综上所述，PK+QK的最小值为3。故选B。
例3.（2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， ∴△APD∽△ABC。
APPDAD10?2tPDAD，即。 ????ABBCAC106868解得：PD=6?t，AD=8?t，
55818∴QD=AD﹣AQ=8?t?2t=8?t。
55∴
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD+PD=PQ，即（8?化简得：13t﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=
2
2
2
2
186222
t）+（6?t）=（2t）， 5525。 1325。 13∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=
6由（2）可知，S△AQP=?t2+6t
566252252400∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（?t2+6t）=2×[﹣×（）+6×]=。
5513131692524002
∴存在时刻t=，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm。
13169【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。
【分析】（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解。
（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，得△APD∽△ABC，由比例线段，求得PD，从而可以
得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。
（3）利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元
二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算。
例12.（2012山东日照9分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值.
2
【答案】解：（1）∵S?PBQ?∴y=
1PB?BQ， PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， 212
（18－2x）x，即y=－x＋9x（0 9?81?（2）由（1）知：y=－x＋9x=??x??+。 2?4?∵当0 9时，y随x的增大而增大， 而0 【考点】矩形的性质，二次函数的最值。X|k | B| 1 . c|O |m 【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解。 （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答。 例13.（2012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积． 2 【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。 ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B。 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE。∴△ABE∽△ECM。 （2）解：能。 ∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF。∴AE≠AM。 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM（SAS）。∴CE=AB=5。 ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1。 当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA。 ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA。 AC225CEAC又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE?。 ??CB6ACCB2511∴BE= BC﹣EC =6﹣=。 6611综上所述，当BE=1或时，重叠部分能构成等腰三角形。 6（3）解：设BE=x，则CE=6－x CMCECM6?x16，即：，∴CM??x2+x。 ??55BEABx5161216∴AM?5?CM?x2?x+5=?x?3?+。 555516∴当x=3时，AM最短为。 51又∵当BE=x=3=BC时，点E为BC的中点，∴AE⊥BC。 2∵△ABE∽△ECM，∴ ∴AE=AB2?BE2?52?32?4。 12?16?此时，EF⊥AC，∴EM=AE?AM?4????。 55??222211161296∴S?AEM=?AM?EM????。 22552596∴当线段AM最短时，重叠部分的面积为。 25【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，二次函数的最值，勾股定理。 【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM。 （2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，应用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案。 16（3）设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM??x2+x，从而求 55得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，从而求得重叠部分的面积。 例14.（2012四川南充8分）在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B， (1)求证：MA=MB (2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。 【答案】解：（1）证明：连接OM 。 ∵ Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点， ∴PQ=42，OM=PM= 10 PQ=22，∠POM=∠BOM=∠P=45 。 2∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB。 ∴△PMA≌△OMB（ASA）。∴ MA=MB。 (2) △AOB的周长存在最小值。理由如下: ∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB。 ∴OA+OB=OA+PA=OP=4。 令OA=x， AB=y，则y=x+(4-x)=2x-8x+16=2(x-2)+8≥8。 ∴当x=2时y有最小值8，从而 y的最小值为22。 ∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4+22。 【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】（1）连接OM，证△PMA和△OMB全等即可。 (2) 先计算出∴OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在Rt⊿AOB中，利用勾股定理 得y=x+(4-x)=2x-8x+16=2(x-2)+8求出最值即可。 例15.（2012江苏南京8分）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在?O1和扇形O2CD中， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?O1与O2C、O2D分别相切于A、B，?CO2D?60?，E、F事直线O1O2与?O1、扇形O2CD的两个 交点，EF=24cm，设?O1的半径为x cm， ① 用含x的代数式表示扇形O2CD的半径； ② 若?O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm和0.06元/cm，当?O1的半径为多少时，该玩具成本最小？ 22CAEO1BO2FD 【答案】解：（1）连接O1A。 ∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B， ∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D。 ∵?CO2D?60?，∴∠AO2O1=在Rt△O1AO2中，sin?AO2O1?1∠CO2D=30°。 2AO1，∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。 O1O2∵EF=24cm，∴FO2=EF－EO1－O1O2=24－3x，即扇形O2CD的半径为（24－3x）cm。 （2）设该玩具的制作成本为y元，则 y?0.45??x?0.06?2?360?60?????24?3x?2360?0.9?x2?7.2?x?28.8? 2?0.9?（x?4）?14.4?。 ∴当x=4时，y的值最小。 答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。 【考点】切线的性质，锐角三角函数定义，扇形面积的计算，二次函数的最值。 【分析】（1）连接O1A．由切线的性质知∠AO2O1= 1∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用锐角三角函数的2定义求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。 （2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函 数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。 ∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。 （2）①易证△BPM∽△CAP，∴ BMBP， ?CPCA33x ∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴8?，即4x2?8x+3=0。 82?x2 解得x= 13或x=。 22 ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。 ∵△ADM≌△APN，∴S?ADM?S?APN。 ∴S四边形AMPN?S?APM?S?ANP? S?APM?S?ADM?S?ADP。 如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。 在Rt△BPS中，∵∠P=60，BP=x， 0 301x，BS=BPcos60=x。 221∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。 2∴PS=BPsin60= 0 1?222?∴AP?AS＋PS??2?x??2?∴S?ADP?2?3?2+??2x??=x?2x+4。 ??21133?AP?DT??AP?AP=AP2。 22243232333∴S?S四边形AMPN?S?ADP?AP?x?2x+4??x?1?2+?0 444433∴当x=1时，S的最小值为。 4??③连接PG，设DE交AP于点O。 若∠BAD=15， ∵∠DAP =60，∴∠PAG =45。 ∵△APD和△APE都是等边三角形， ∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形ADPE是菱形。 ∴DO垂直平分AP。 ∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =45。 ∴∠PGA =90。 设BG=t， 0 0 0 0 0 在Rt△BPG中，∠B=60，∴BP=2t，PG=3t。∴AG=PG=3t。 ∴3t+t=2，解得t=3－1。∴BP=2t=23－2。 ∴当BP=23－2时，∠BAD=15。 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 ∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30 0 0 0 0。 0 0 ∵∠BAD=15，∴易得∠AGO=45，∠HAO=15，∠EAH=45。 设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=3a。∴DG=DO－GO=（3－1）a。 又∵∠BAD=15，∠BAC=60，∠ADO=30，∴∠DHA=∠DAH=75。 ∵DH=AD=2a， ∴GH=DH－DG=2a－（3－1）a=（3－3）a， HE=2DO－DH=23a－2a=2（3－1）a。 ∵DG?GH???220 0 0 0 0 ?3?1a?+?3?3a?=16?83a2， ????2??2??HE??2?2?3?1a?=16?83a2， ??2??∴DG2?GH2?HE2。 ∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得S四边形AMPN?S?ADP， 用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 ③由∠BAD=15得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。 例6.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上 的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x?2 0 5 ⑴当x= 时，求弦PA、PB的长度； 2⑵当x为何值时，PD?PC的值最大？最大值是多少？ BPODCAl 【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。 又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。 ∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。 ∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。 ∴ PCPA2 ，即PA=PC·PD。 ?APAB5?4?10。 25∵PC=x=，AB=4，∴PA?2∴在Rt△APB中，由勾股定理得：PB?16?10?6。 （2）过O作OE⊥PD，垂足为E。 ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。 在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。 ∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。 ∴PD?PC=2?x?2???4?x?=?2x2+12x?16=?2?x?3?+2。 ∵2 ∴当x=3时，PD?PC有最大值，最大值是2。 【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似， 2由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。 （2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角 的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。 例7.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 （2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下： 如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。 又∵AB=BC，∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。 ∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。 又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。 ∴EM=AP=x． x2∴在Rt△APE中，（4﹣BE）+x=BE，即BE?2+。 8x2∴CF?BE?EM?2+?x。 82 2 2 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等， ?11?x212124+?x?4=x?2x+8=x?2+6。 ∴S???BE?CF??BC=??????22?422??∵0<1<4，∴当x=2时，S有最小值6。 2【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。 （2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。 （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）+x=BE，利用二次函数的最值求出即可。 例8.（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3． （1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长； （3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 2 2 2 【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求。 （2）设正方形E'F'P'N'的边长为x． ∵△ABC为正三角形，∴AE'=BF'=3x。 3∴x+9+3323x=3+3。∴x=，即x=33?3。 323+30 （3）如图②，连接NE，EP，PN，则?NEP=90。 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n）， 它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n。 ∴PN=NE+PE=2m+2n=2m+n ∴S=m+n=2222222?22?. 1PN2。 222 延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。 在Rt?PGN中，PN=PG+GN=?m+n?+?m?n?。 222 ∵33m+m+n+n=3+3，即m+n=3， 33 ∴S=912+?m?n?。 222 ∴①当?m?n?=0时，即m?n时，S最小。 ∴S最小=129?3=。 222 ②当?m?n?最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。 ∵m+n=3，由（2）知，m最大=33?3。 ∴n最小=3?m最大=3?33?3=6?33。 221?1??9+?m最大?n最小?=9+33?3?6+33?=99?543。 ∴S最大=??2???2?????【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。 【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。 （2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB， 列方程求得正方形E′F′P′N′的边长 （3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为： 92S=+?m?n?，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小 2时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问。 例9. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒． （1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒， ∴AM=12﹣t，AN=2t。 ∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。 ∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。 （2）如图作NH⊥AC于H， ∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。 ∴△ANH∽△ABC。 ANNH2tNH10，即?。∴NH=t。 ?ABBC1351311056052180∴S?ABC???12?t??t=?t2+t=??t?6?+。 21313131313∴ ∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为 180。 13【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。 （2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。 例10.（2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜（1）当t为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP的面积为S， ①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； ②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标． 10）秒．解答如下问题： 3 【答案】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。 ∴AB?OB2?OA2?62?82?10。 如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。 ∵PQ∥BO，∴∴当t= APAQ10?3t2t20，即。 ?，解得t=?105ABAO1120秒时，PQ∥BO。 11（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10． ①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。 ∴△APD∽△ABO。 ∴ APPD10?3tPD9，即，解得PD=6﹣t。 ??ABOB51061199?5??9?∴S??AQ?PD??2t??6?t?=?t2+6t=??t??+5。 2255?3??5?9?5?10∴S与t之间的函数关系式为：S=??t??+5（0＜t＜）。 5?3?3225秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。 35②如图②所示，当S取最大值时，t=， 391∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。 521又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。 2101414又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。 333142依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）． 332∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。 3∴当t= 【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。 【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式t的值。 （2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得 APAQ，求出?ABAOAPPD求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一?ABOB 个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。 ②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。 例11.（2012贵州六盘水16分）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP面积为S（单位：cm），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角。 （1）BP=2t，则AP=10﹣2t． 若PQ∥BC，则∴当t?2 APAQ10?2t2t20，即。 ?，解得t??108ABAC920s时，PQ∥BC。 9（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D。 则PD∥BC，∴△APD∽△ABC。 APPD10?2tPD6，即，解得PD?6?t。 ??ABBC5106116∴S=×AQ×PD=×2t×（6?t） 225∴ 66?5?15??t2+6t???t??+。 55?2?2∴当t= 25152 s时，S取得最大值，最大值为cm。 22（3）不存在。理由如下： 假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 11S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此时S△AQP=12。 22662 由（2）可知，S△AQP=?t2+6t，∴?t2+6t=12，化简得：t﹣5t+10=0。 55则有S△AQP= ∵△=（﹣5）﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。 （4）存在。 假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形， 则有AQ=PQ=BP=2t。 2 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024年中考数学专题复习题8_几何最值问题解法探讨在线全文阅读。
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