2024版高中数学第一讲坐标系学案新人教A版选修4_4

|AB|＝

1

?5ππ?4＋16－2×2×4×cos?－?＝20＝25.

3??6

1

5π

π

1

????S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝?2×4×sin?－??＝×2×4＝4.

3??222??6

1.极坐标系的概念

极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可. 2.点的极坐标

每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系. 3.极坐标与直角坐标的互化

任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ>0，sin θ＝

，cos θ＝，所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ＝x＋

ρρ

yx22

yy2，tan θ＝(x≠0).

x

1.极坐标?1，

??

2π?

?对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( ) 3?

B.第二象限 D.第四象限

2π13

，∴x＝ρcos θ＝－，y＝ρsin θ＝，故它的直角322

A.第一象限 C.第三象限

解析 由题意可得ρ＝1，θ＝3??1

坐标为?－，?在第二象限.

?22?答案 B

?2.点A的极坐标是?2，

?

A.(－1，－3) C.(－3，－1)

7π?

?，则点A的直角坐标为( ) 6?

B.(－3，1) D.(3，－1)

77

解析 x＝ρcos θ＝2cosπ＝－3，y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1.

66

答案 C

3.把点P的直角坐标(－3，1)化成极坐标为________(ρ>0，0≤θ<2π). 解析 ρ＝（－3）＋1＝2，tan θ＝

2

2

35π

＝－，又点P在第二象限，故θ＝，因

36－3

1

此，点P的极坐标为?2，

?

?

5π??. 6?

?5π?答案 ?2，?

6??

π

4.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|＝2，则ρ>0，

6θ∈[0，2π)时点M的极坐标为________，它关于极轴对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0，2π)).

π

解析 ρ＝|OM|＝2，与OP终边相同的角为－＋2kπ(k∈Z).

6∵θ∈[0，2π)，∴k＝1，θ＝

11π?11π?，∴M关于极轴的对称点为?2，π?.

，∴M?2，???6?6?6??

?11π? ?2，π? 答案 ?2，?6?6?????

一、基础达标

?7?1.点P的极坐标为?2，π?，则点P的直角坐标为( )

?4?

A.(2，2) C.(2，2)

B.(2，－2) D.(－2，2)

解析 x＝ρcos θ＝2，y＝ρsin θ＝－2. 答案 B

2.点M的直角坐标为?0，

??

π?

，则点M的极坐标可以为( ) 2??

?π?A.?，0?

?2??ππ?C.?，? ?22?

解析 ∵ρ＝x＋y＝答案 C 3.下列各点与?2，

2

2

?π?B.?0，?

2??

π??π

D.?，－?

2??2

ππ?ππ?，且θ＝，∴M的极坐标为?，?.

22?22?

?

?

π?表示极坐标系中同一点的是( ) 3??

A.?2，C.?2，

????

2π? 3??7π? 3??

B.(2，π) D.(2，2π)

?解析 与极坐标?2，

?

π?相同的点可以表示为 3??

?2，π＋2kπ?(k∈Z)，只有?2，7π?适合.

????33????

答案 C

?4.在极坐标系中，已知点P1?6，

?

A.9 C.14

解析 ∠P1OP2＝答案 B

π??3π?，则|PP|等于( )

、P2?8，?124?4???

B.10 D.2

3πππ

－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10. 442

?3??π?5.在极坐标系中，已知点A?1，π?，B?2，?，则A、B两点间的距离为________.

4??4??

解析 由公式|AB|＝ρ1＋ρ2－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）， 得|AB|＝答案

5

2

2

?3ππ?1＋4－2×1×2cos?－?＝1＋4－0＝5. 4??4

x′＝2x??7π??6.平面直角坐标系中，若点P?3，?经过伸缩变换?1后的点为Q，则极坐标系中，2??y′＝y?3?

极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________.

x′＝2x，???7π??7π?则极坐标系中，

解析 ∵点P?3，?经过伸缩变换?后的点为Q?6，?，极坐标12?6???y′＝y?3?

?7π?＝3.

为Q的点到极轴所在直线的距离等于6?sin

6???

答案 3

?7.在极轴上求与点A?42，

??

π?距离为5的点M的坐标. 4??π?，∴4??

（42）＋r－82rcos

2

2

?解 设M(r，0)，∵A?42，

2

π

＝5， 4

即r－8r＋7＝0，解得r＝1或r＝7. ∴点M的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升

8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)

B.?3，

???

7π? 6??17π?? 4?

?C.?4，?

7π?? 4?

?D.?4，

解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点?3，轴下方，点?4，答案 D

?

?

7π??7π?

，?4，?在极6?4???

?

?

17π?在极轴上方，故选D. 4??

?9.点M?6，

?

5π?

?到极轴所在直线的距离为________. 6?

解析 依题意，点M?6，答案 3

??

5π?5π

到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin＝3. ?6?6

?10.已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M?3，

?

的极坐标为________. 解析 如图，|OM|＝3，∠xOM＝

π?，在直线OM上与点M的距离为4的点3??

π

，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有3

|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4. 点P，Q都满足条件，且∠xOP＝

π4π，∠xOQ＝. 33

?π??4π?

答案 ?7，?或?1，?3??3??

11.(1)已知点的极坐标分别为A?5，直角坐标.

(2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B?0，－0≤θ<2π).

3??553??1解 (1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A?，?，B?－，?，C(－2，－2)，

?22??22?

??

π?3π??2π???11π?，求它们的，B?1，?，C?2，－?，D?4，?3?3?4?6?????

??5?

C(－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，?，3?

D(23，－2).

π?y?53π??4π??222

(2)根据ρ＝x＋y，tan θ＝得A?23，?，B?，?，C?2，?.

6?3?x?2???312.在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A?2，(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积.

?

?

π??5π?，B(2，π)，C?2，?. ?3?3??

解 (1)如图所示，由A?2，2π＝∠AOC＝.

3

??

π??5π?，B(2，π)，C?2，?得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC?3?3??

∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA， 故△ABC为等边三角形. (2)由上述可知，

AC＝2OAsin＝2×2×∴S△ABC＝

π

33

＝23. 2

32

×(23)＝33(面积单位). 4

三、探究与创新

用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝

|BC|，|OC|＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).

解 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC|＝600 m，∠AOC＝所以|AB|＝150 m.

π??同理，得|OE|＝2|OG|＝3002m，所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(3003，0)，C?600，?，

6??

π?3π?3????D?300，?，E?3002，?，F(300，π)，G?1502，π?.

2?4?4????

三 简单曲线的极坐标方程

[学习目标]

ππ

，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝3003 m，又|AB|＝|BC|，62

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