第十七届华罗庚金杯决赛笔试A

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛笔试试题A（初一组）

一、填空题（每小题 10分, 共80分）

??1?3?(?2)?(?1)?|?10|?????????2????? . 1. 计算：

11???22?????[1?32?(?)]2?8?432. 一串有规律排列的数, 从第二项起每一项都等于1加前一项的倒数之和. 当第五项是0时, 第一项是 .

3. 如图A-91, AB = BC = CA = AD, 则∠BDC= .

4. 已知a?b?2c, b?3c, c?7b?a?20, 那么b=________. 5. 使 n?3与n?4不互质的大于4的最小整数n的值为 . 3图 A-91

6. 一个学校选出5个年级共8个班, 从每个班至少选出一名学生, 则在这些选出的学生中, 至少有 名学生,

他们的同班同学比他们的同年级同学少. 7. 某个水池存有的水量是其容量的

12. 两台抽水机同时向水池注水, 当水池的水量达到时, 第一台抽水机开189始单独向水池注水, 用时81分钟, 所注入的水量等于第二台抽水机已注入水池内的水量. 然后第二台抽水机单独向水池注水49分钟, 此时, 两台抽水机注入水池的总水量相同. 之后, 两台抽水机都继续向水池注水. 那么两台抽水机还需要一起注水 分钟, 方能将水池注满水.

8. 有16位选手参加象棋晋级赛. 每两人都只赛一盘. 每盘胜者积1分, 败者积0分. 如果和棋, 每人各积0.5分.

比赛全部结束后, 积分不少于10分者可以晋级. 则本次比赛最多有 名晋级者. 二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9. 解方程组

?|x?3y|?|5x?y?2|?5 ?2x?y?1?10. 从2000年到2099年, 有没有哪些年份可以表示成 3?3 的形式, 其中m,n均为正整数？如果有, 请列举出

来；如果没有, 请说明理由.

11. 设 [x] 表示不大于x的最大整数. 求方程x?[mn11]?12的解的个数及所有解x. x12. 请你列出所有具有

ccbb?bbc?特性的真分数, 其中a,b,c为数字, 分子中b的数目与分母中b的数目相等.

aabb?bba116166166?66??例如分数 ?. 要求写出计算过程.

46466466?664三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）

13. 图A-92中, ABCD是平行四边形, 面积是1, F为DC边上一点, E为AB上一点, 连接AF, BF, DE, CE, AF交

DE于G, EC交FB与H. 已知,

AE11?, 灰色三角形BHC的面积是, 求三角形ADG的面积., EB48图 A-92

平面上有从1到n编了号的n个点, 每个点与另外k个点连有直线段, 若一个点连的k条直线段的另外k个端点的编号中有多于一半的编号小于它自身的编号, 这个点就称为“好点”. 若恰有5个好点. 问: n的最小值是多少？

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题A（初一组）答案

14.

1、【答案】?16

3??1??43(?2)?(?1)?|?10|????????2???????16?10?8??96??16.

【解答】原式?1916?1??1??22?????[1?32?(?)]222?8?2、【答案】?3 51a?1a2a?1a?13a?1?，?，第四项是1+?第三项是1+ aaa?1a?12a?12a?1【解答】设第一项是a, 根据题意, 第二项是1+

第五项是1+

3、【答案】30°

2a?15a?335a?3??0, 所以5a+3=0, a = ?. 因为

3a?23a?23a?2.5【解答】 设∠CAD=2α, 则∠CDA=90°－α, ∠ADB = 60°－α,故 ∠BDC=30°． 4、【答案】4

【解答】由 a?b?2c, b?3c可得a?5c, 由c?7b?a?20可得c?7?3c?5c?20,因此有c?5、【答案】71.

332【解答】解法1: 设 (n?3,n?4)?d(d?1), 由此知,d|n?3?(n?4)(n?4n?16), d|67, d?67.

4 , b?4. 3令 n?4?67k, k为正整数. 则n?3?(67k?4)?3

33?673k3?3?672k2?4?3?67k?42?43?3?67672k3?3?67k2?4?k?42?1,时, n?3与n?4的最大公约数为67.

解法2：令 n?4?k,3??n3?3是67的倍数. 于是, n?67k?4的最小值为71 (k = 1), 此

k?1, 则n3?3?(k?4)3?3?k3?12k2?48k?67,k?1,

因此, k?12k?48k?67 和 k的公约数就是67和k公约数, 而67是质数, 所以它们的公约数除了1以外, 最小的只能是67, 于是最小的k?67, 所以 n?71.

326、【答案】4 【解答】解法1：

（1） 如果选出的学生所在年级中只有一个班, 则和他同年级的选出学生数等于和他同班的选出学生数. （2） 设一个年级仅有1个班的年级总数为n, 则所在年级至少有2个班的班级总数是8?n. 设有m名学生, 在选

出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少. 可知, m?8?n.

（3） 从5个年级共8个班中, 仅有1个班的年级总数至多是4, 即 n?4, 所以m?4.

（4） 设有4个年级均只有1个班级, 有4个班级在同一个年级, 每班各选出1名学生, 则有4名学生, 在选出的

学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少.

解法2： 设选出n名学生, 编号为1, 2, ?, n. 假设对于第i名学生有 ai名学生与他同班, 有 bi名学生

与他同年级, 则有

111111111111?????8,?????5,所以(?)?(?)???(?)?3. a1a2anb1b2bna1b1a2b2anbn11－?0aibi（*）由于 bi?ai 或

?i?1,2,?,n?, 其中必有一些 bi 和 ai, 满足bi?ai, 即

11－?0, 否则（*）aibi不成立. 无妨设

11－?0 ?i?1,2,?,k?, 即有k名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学aibi1?1 ?i?1,2,?,k?；因为5个年级共8个班：所以 bi?4 ?i?1,2,?,k?. 进而, ai少. 因为每班至少推选1名, 所以

从 （*）式得到, 3?(111111?1??)?(?)???(?)?k??1??, a1b1a2b2akbk?4?即k?4. 设有4个年级均只有1个班级, 有4个班级在同一个年级, 每班各选出1名学生, 则 k = 4. 7、【答案】231.

【解答】 设水池容量为1. 由题意可知：两台抽水机第一次同时向水池注水的水量是

211??. 9186设两台抽水机单独向水池注水的水量为

11时所需时间分别为V1和V2, 两台抽水机一起向水池注水的水量为时, 66设所需时间为t, 则有下列方程：

t81t49. ?,?V2V1V2V2所以,

V27?,t?7?9?63. V19由题意可知：两台抽水机单独向水池注水的水量之和也是

1, 两台抽水机都继续向水池注水, 还需要注水 611111?2???

61818方能将水池注满水, 故有??111????63?231 (分钟). 186??8、【答案】11

【解答】16名选手共比赛 超过

16?15?120盘, 总积分为120分. 由于积分不少于10分者评为优胜者, 所以优胜者不2120?12人. 10首先证明12名优胜者是不可能的. 假设评优胜者等于12名, 则非优胜者为4名, 这4人彼此间赛6盘共计积6分, 因此12名优胜者至多积分为114分.由于12个人积分之和等于114?120, 至少有一人积分数小于10分, 与这人是优胜矛盾！所以优胜者至多11人.

评出11名优胜者是可能的. 由于11个人之间共赛

11?10?55盘, 共计分55分, 如果这55盘都是和棋, 则2

每人积分5分.另外这11人每人都要和其余5名非优胜者比赛, 设每场都胜, 则每人又积5分, 因此这11名选手每人都积5+5=10分, 合于评为优胜者的标准. 9、【答案】x?113,y?0;x??,y? 242【解答】 由第二个方程解得 y?1?2x （1）

将（1）代入第一个方程, 得到|x?3(1?2x)|?|5x?(1?2x)?2|?5 即 |3?5x|?|7x?1|?5 （2） 分以下几种情形讨论：

（i）当 3?5x?031(x?) 和 7x?1?0(x??)时, 方程（2）化为

57

x?12

3?5x?7x?1?5?2x?1? 因为 ?1131??, 故（2）有解 x?, 从而 y?0. 7252313(x?) 和 7x?1?0(x??)时, 即 x?时, 方程（2）化为

57 5 5x?3?7x?1?5?12x?7?x?712.

（ii）当 3?5x?0

因为

737?, 故 x?不是（2）的解. 12512311(x?) 和 7x?1?0(x??)时, 即x??时, 方程（2）化为

57 73?5x?7x?1?5??12x?3?1x??.

4（iii）当 3?5x?0因为 ?1113??, 故得解 x??. 从而 y?. 4742

113,y?0;x??,y?. 242还有一种情况也无解. 所以, 原方程组有两组解：x?10、【答案】没有

【解答】2000?3?3?2099, 而 3?3mnmm?1?3m?3n?3m?3, 因此有

?3m?3m?1?209920002099m?1?3?, , ?m32?3?3?2000即 667?3m?1?1049.

那么只有 3?729 满足条件, 因此 m?1?6, m?7.

另一方面,2000?2187?3?2099, 88?3?187,

45mnnn6而 3?81、3?243, 因此没有满足条件的n, 因此在本世纪中, 没有一个年份可以表示成3?3的形式. 11、【答案】11个, 所有的解为 ?12,?6,?4,?3,?2,?121212643,?,?,?,?,?. 5711532【解答】令x?q,pp,q为整数, q?1,(p,q)?1. 代入给定方程, 得到

q11p11p?[]?12?q?[]?12?p. （1）因为 (p,q)?1, 故 q|12, 12的因数有 1,2,3,4,6,12. pqq（i）当q?12时, 由（1）可得

ppp??11p???p?0???1??1??0??12?p?0, ,?p?p??p???0??????1212121212??????再由(p,q)?1, 得到 p??1,?5,?7,?11.

（ii）当q?6时, 由（1）得

?11p???2p?2p?????6??p??p??2p????0??6?p?0,再由(p,q)?1, 得到 p??1,?5. ??6??6??11p???3p?3p???4???p??p??3p????0??4?p?0, ?4???4?（iii）当 q?4 时, 由（1）得?再由(p,q)?1, 得到 p??1,?3.

（iv）当 q?3 时, 由（1）得??11p??1??4p??p??0,由此得到 p??1,?2. ??3???3?（v）当 q?2时, 由（2）得??11p??p??6p????0????2??2?p??1.

故所给解方程一共有11个解：?12,?6,?4,?3,?2,?121212643,?,?,?,?,?. 5711532【注记】如果不要求 (p,q)?1, 在（1）中令 q?12, 可以解得 ?12?p?0 , 即

p??1,?2,?3,?4,?5,?6,?7,?8,?9,?10,?11, 实际上

解法正说明了得到的是所有的解. 12、【答案】（添上6）,

q给出了所有的解. 但理由并不显然. 而上面的p25411（添上9）, （添上6）和 （添上9） 845【解答】 首先考虑满足

xxy的一位正整数 x,y,z, 其中xy?10x?y, yz?10y?z. 乘开可得?zyz

yz. 由于y,z都是一位数, 且10y?9z?0, 故y?z, 由于当y?z时,

10y?9z10xy?xz?10xz?yz, 因此x?x?y?z, 不合题意, 故有y?z.

若y?z?1, 代入x?yzz(z?1)90?z?9?得x?, 这说明z?10是90的约数. 而在11到19之

z?10z?1010y?9z间, 90的约数仅有15和18, 故z?5或z?8, 分别解得x?2和x?4.

若y?z?2, 代入x?yzz(z?2)360?z?18?得x?, 这说明z?20是360的约数. 而在21到29

z?20z?2010y?9z之间, 360的约数仅有24, 故z?4, 解得x?1.

若y?z?3, 则x?yzyzyzz????2, 因此x?1, 故yz?10y?9z, 故10y?(y?9)z. 由

10y?9zy?273y33,4,5, 仅有2于y?1, 故y?9?10, 因此(y,y?9)?1, 这说明y是3的倍数, 分别取y?3,6,9得z?y?9,z?5符合条件.

综上所述, 所有具有题目所述特性的分数为

2411（添上6）, （添上9）, （添上6）和（添上9）. 5845三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程） 13、【答案】

【解答】设DF＝x，FC＝y，

x?z. y

图A-93

如图A-93, 分别用 ①～⑧ 记其所在的三角形的面积. 由已知条件ABCD是面积为1的平行四边形和三角形面积公式，可得到:①＝③＝，②＋①＝

181y2?，④＋①＝，

52x?y并且②/③＝①/④, 即 ②×④＝

1. 64将②＝

1y21111?－、④＝－＝

884052x?y1y11111，马上得到：（?－）×＝， 6440642x?y8代入 ②×④＝

可得11??4????y15147?1??5, 4???1, ?, z?. x?y?z?111z?111417，⑦+⑥＝，⑤×⑦＝⑥×⑧，⑤＝⑦.

102217－⑤）×（－⑤）， 1022类似可得⑤+⑧＝

从上面四个等式，可以得到：⑤×⑤＝（

17?1022?7，三角形ADG的面积是7. 解上面关于⑤的方程，⑤＝179292?102214、【答案】8

【解答】当一个点连的线段的另一端点的编号小于它的编号, 就称这条线段为该点发出的“好线”. 每个好点, 发出的“好线”的条数不小于???1，这里令[x]表示不大于x的最大整数, {x}?x?[x].

2编号为n的点发出的连线都是好线，其它4个好点发出的连线的条数大于等于

?k?????k??k?14???1??4??2k?2. ??2??2????由于5个好点发出的好线的条数小于所有的连线数

nknk，所以k?2k?2?4?k(n?6).22(*)

另外, 设好点中最小编号为m, 则编号为1, 2, ?, m?1的点都不是好点, 而非好点的总数是 n?5, 所以,

m?1?n?5.此外, 第m号点最多只能发出m?1条好线, 因此,???1?m?1?n?5,????1?n?5,

222?k???k?k???k?k?2n?11?n?5?1????,k?2n?11.22?2?(**)

由 (*) 和 (**), 4?(2n?1)(n?6), 不难验证, n?8不等式才能成立.

下面例子说明, n = 8是可以达到的. 现设n = 8, 取k = 3, 有

1 2 3 4 5 6 7 8 1 * * * 2 * * * 3 * * * 4 * * * 5 * * * 6 * * * 7 * * * 8 * * * * 表示编号等于行号和列号的两个点连线.

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