2024高三数学一轮复习课时提能演练 选修4-4.2 参数方程 理 新课

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 选修4-4.2 参

数方程

?x?t?11.直线?(t为参数)的纵截距为______.

y?t?1?2.曲线??x?8cos??y?10sin?,(?为参数)的焦距为______.

?x?2t(t为参数)的焦点坐标为______. 3.曲线?2?y?t4.若直线??x?1?2t?y?2?3t(t为参数)与直线4x+ky=1垂直，则常数k=______.

5．直线???x?1?t??y??2?3t,(t为参数)的倾斜角等于______.

2??x?2?sin?6.将参数方程?(?为参数)化为普通方程为______. 2??y?sin?7.曲线??x?cosφ?y?1?sinφ(φ为参数)的极坐标方程为______.

8.过点P(-3,0)且倾斜角为30°的直线与双曲线x2-y2=4交于A,B两点，则|AB|=______.

t?t??x?e?e9.参数方程?(t为参数)化为普通方程为______. t?t??y?2（e?e）10.椭圆

x216?y212?1上到直线x-2y-12=0的距离取得最小值的点的坐标为______.

11.(2011·陕西高考)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：??x?3?cos??y?4?sin?(?为参数)

和曲线C2：ρ=1上，则|AB|的最小值为______． 12.在平面直角坐标系中,点P(x,y)是椭圆______.

x23?y?1上的一个动点,则S=x+y的最大值是

2用心 爱心 专心 - 1 -

13.直线l的参数方程为??x?a?t?y?b?t且直线l上的点P1对应的参数是t1，则点P1(t为参数)，与点P(a,b)之间的距离是______. 14.曲线??x?3?cos??y?4?sin?(?为参数)上的点到坐标轴的最近距离为______.

2

2

15.点P(x,y)是椭圆4x+9y=36上的一个动点，则x+2y的最大值为______.

??x?4cos?16.曲线?(?为参数)上的一点P到点A(-2,0)、B(2,0)的距离的和为______.

??y?23sin??x?8t2(t为参数).若斜率为1的直线经17.(2011·天津高考)已知抛物线C的参数方程为??y?8t过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2=r2 (r>0)相切，则r=______. 18.已知圆C的圆心是直线??x?t?y?1?t(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，

则圆C的标准方程为______.

1?x?1?t?2?(t为参数)和圆x2+y2=16交于A，B两点，则线段AB的中点坐19.若直线??y??33?3t??2标为______.

?x?2pt2(t为参数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2，20.已知p为正的常数，曲线?y?2pt?且t1+t2=0，那么|MN|=______.

2?x?4?2tx2(t为参数),P是椭圆?y?1上任意一点，则21.已知直线l的参数方程为?4?y?t?2点P到直线l的距离的最大值为______.

?x?1???22.(2012·合肥模拟)已知点P(1，2)，直线??y?2???3212tt(t为参数)与圆x2+y2-4x=0交于A、

B两点，则|PA|·|PB|=______.

用心 爱心 专心 - 2 -

23.(2012·宝鸡模拟)若直线l的极坐标方程为?cos(???4)?2,圆C：

?x?cos?(?为参数)被直线l截得的劣弧长为______. ??y?3?sin??x??1?2t22

24. (2012·太原模拟)已知直线?(t为参数)与曲线(y-2)-x=1相交于A、B两

?y?2?4t点，则点M(-1，2)到弦AB的中点的距离为______.

答案解析

1.【解析】令x=t+1=0，得t=-1，∴y=t-1=-2，即直线的纵截距为-2. 答案：-2

22?x?8cos?yx,(?为参数)的普通方程为2?2?1，这是焦点在纵轴上的2.【解析】曲线?y?10sin?108?椭圆，c=a-b=6，∴焦距为2c=12. 答案：12

?x?2t(t为参数)即抛物线x2=4y，由于p=2,所以抛物线的焦点3.【解析】由题意，曲线?2?y?t2222

坐标为(0，1). 答案：(0，1)

?x?1?2t3734.【解析】将?化为普通方程为y??x?,斜率k1??,依题意，k≠0,直线

222?y?2?3t4x+ky=1的斜率k2??答案：-6

4k（?,由k1k2?32）?（?4k）??1得k=-6.

5．【解题指南】将直线的参数方程化为直角坐标方程,由斜率求倾斜角,也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定直线的倾斜角. 【解析】方法一:直线???x?1?t??y??2?3t(t为参数)的普通方程为y??3x?3?2，斜率

用心 爱心 专心 - 3 -

k??3，即tan???3，又α∈［0,π)，故直线的倾斜角??2?3.

方法二:直线???x?1?t??y??2?1?x?1??2t??2?,(t为参数)，令t′=2t，,(t为参数)即直线?3t?y??2?32t????22??x?1?t?cos?2??3得?这是直线的参数方程的标准形式,故直线的倾斜角是. (t?为参数)，

3?y??2?t?sin2??3?答案：

2?3

2??x?2?sin? 6.【解析】消去参数方程?(?为参数)中的参数,得普通方程：y=x-2，由于22??y?sin?≤x=2+sinθ≤3,所以普通方程为y=x-2 (2≤x≤3). 答案：y=x-2(2≤x≤3) 7.【解析】曲线?即x2+y2=2y.

化为极坐标方程为ρ=2sinθ. 答案：ρ=2sinθ

8.【解析】设直线l的参数方程为

?x??3?tcos30?,(t为参数)， ?y?tsin30???x?cosφ?y?1?sinφ(φ为参数)的普通方程为x+(y-1)=1，

2

2

2

代入双曲线方程x2-y2=4，整理，得

t?63t?10?0.

2设点A,B对应的参数分别为t1,t2，则由一元二次方程的根与系数的关系，得 t1?t2?63，t1t2=10.

2∴|AB|=|t1-t2|=（t1?t2）?4t1t2=（63）?40?217. 2答案：217 用心 爱心 专心 - 4 -

t?t??x?e?e 9.【解析】由?(t为参数), t?t??y?2(e?e)y?t?x?et?e?tx??2e???2得?y,∴?, t?ty??e?e?x??2e?t?2??2y2y2x2∴(x?)(x?)?4,即4y2?y216?1,

又x=e+e≥2,所以

t-t

x24?16?1(x?2).

答案：

x24?y216?1(x?2)

10.【解题指南】设出椭圆的参数方程,建立点到直线的距离的三角函数求最小值,再求出对应的点的坐标.

【解析】设椭圆的参数方程为???x?4cos???y?23sin?(?为参数,0???2?)，

d?|4cos??43sin??12|5?3=455|cos??3sin??3|=455|2cos(???3)?3|

当cos(??)?1时，dmin?455，

??x?4cos?此时??,代入参数方程?,

3??y?23sin?5?得所求的点的坐标为(2,-3). 答案：(2,-3)

11.【解析】曲线C1的普通方程是(x-3)+(y-4)=1， 曲线C2的普通方程是x2+y2=1，

由于两圆的圆心距为3?4?5，两圆的半径都为1，可知两圆外离，于是|AB|≥3，所以|AB|的最小值为3． 答案：3

222

2

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12.【解析】设椭圆

x23?y?1的参数方程为:

2?x?3cos??(?为参数). ???y?sin?∴S?x?y?sin??3cos??2sin(???3).

∴-2≤S≤2,所以S=x+y的最大值是2. 答案：2

13.【解析】方法一:直线l经过点P(a,b),直线上另一点P1(a+t1,b+t1),由两点间的距离公式,得|PP1|= t1?t1?222?t1?.

?2x?a?(2t)??2方法二:直线l的参数方程即? ，2?y?b?(2t)??2?2t??x?a??22t?t?，化为标准形式为? (t?为参数)，2?y?b?t???2令

点P1对应的参数变为t?1?答案：2?t1? 14.【解析】曲线?2t1,∴|PP1|=|t′1|=2?t1?.

?x?3?cos??y?4?sin?(?为参数)即(x-3)+(y-4)=1，表示圆心为(3,4),半径为1

2

2

的圆，圆上的点到坐标轴的最近距离为2. 答案：2

15.【解析】椭圆的标准方程为可设P(3cosθ，2sinθ)，得

x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin(θ+φ)≤5. 所以x+2y的最大值为5. 答案：5

用心 爱心 专心

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x29?y24?1，

22?xy?x?4cos?22

16.【解析】曲线? ??1，其中,a=16，b=12，(?为参数)的普通方程为

1612??y?23sin?∴c2=a2-b2=4，

∴椭圆的焦点即为A(-2,0)、B(2,0)， 由椭圆的定义，得|AP|+|BP|=2a=8. 答案：8

17.【解题指南】化抛物线的参数方程为普通方程，求出焦点坐标，写出直线方程，求圆心到直线的距离即可.

【解析】抛物线的普通方程为y2=8x，过焦点(2,0)且斜率为1的直线为x－y－2=0，圆心(4，0)到直线的距离为2，因为直线和圆相切，故圆的半径为r=d=2. 答案：2 ?x?t?y?1?t18.【解析】令y=0得t=-1，所以直线?与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0

与圆相切，所以圆心到直线x+y+3=0的距离等于半径，即r?的标准方程为(x+1)2+y2=2. 答案：(x+1)2+y2=2

??1?0?3?2?2，所以圆C

19.【解题指南】若直线与曲线的两个交点对应的参数分别为t1,t2，则弦的中点对应的参数为

t1?t22，所以将直线的参数方程代入圆的普通方程，利用一元二次方程的根与系数的关

系求解即可；也可以将直线的参数方程化为普通方程，与圆的方程联立方程组，解得交点的坐标即可求得弦的中点的坐标.

【解析】方法一:将直线的参数方程代入圆的方程，得(1?12t)?(?33?232t)?16，

2整理，得t2-8t+12=0，设直线与圆的两个交点A,B对应的参数分别为t1,t2，则由一元二次方程的根与系数的关系，得t1+t2=8，1?x?1??4??2??x?3? ?, ?3??y??33??y??3?4??2用心 爱心 专心

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t1?t22?4，即AB的中点对应的参数为4,可得

则AB的中点坐标为(3,?3).

1?x?1?t?2?(t为参数)的普通方程为y?方法二:直线??y??33?3t??23x?43,代入圆的方程

x+y=16,整理,得x-6x+8=0,解得 x1=2, x2=4,∴y1=?23,y2=0,

所以两交点的坐标分别为(2,?23),(4,0)，则AB的中点坐标为(3,?3). 答案：(3,?3) ?x?2pt22

(t为参数)的普通方程为y=2px，这是开口向右的抛物线. 20.【解析】曲线??y?2pt222

显然线段MN垂直于抛物线的对称轴,即x轴， ∴|MN|=2p|t1-t2|=2p|2t1|=4p|t1|. 答案：4p|t1|

21.【解析】由直线l的参数方程为?2?x?4?2t?y?t?2(t为参数)，得直线l的普通方程为x+2y=0.

因为P为椭圆

x4?y?1上的任意一点，故设P(2cosθ,sinθ)，其中θ∈R.

2因此点P到直线l的距离是d=|2cos??2sin?|1?22222|sin(???4)|=5

所以当θ=kπ+

?4，k∈Z时，d取得最大值

2105.

答案：

2105

?x?1???22.【解析】将??y?2???3212tt(t为参数)代入x2+y2-4x=0,整理，得t2?(2?3)t?1?0.

设A、B两点对应的参数分别为t1,t2,则由根与系数的关系，得t1·t2=1,又|PA|=|t1|，

用心 爱心 专心

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|PB|=|t2|，∴|PA|·|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=1. 答案：1

23.【解析】由直线l的极坐标方程?cos(???42,得?()?22cos??22sin?)?2,

∴ρcosθ+ρsinθ=2,∴x+y=2,即直线的直角坐标方程为x+y-2=0,又圆C：

?x?cos?22

(?为参数)的普通方程为x+(y-3)=1,圆心C(0，3)到直线l的距离为??y?3?sin?1222?r?1,所以直线l与圆C相交，相交弦长为2r?d?2?2?222d???2，所以直线l截得的劣弧所对的圆心角为答案：

?2，故劣弧长为l= ?r?.

24.【解题指南】将直线的参数方程代入曲线方程，建立关于参数t的一元二次方程，由中点的参数关系式求出中点对应的参数，求得中点的直角坐标，再利用两点间的距离公式计算.也可以将直线的普通方程代入曲线方程，化为x的一元二次方程，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.

【解析】方法一：将直线??x??1?2t?y?2?4t(t为参数)代入曲线(y-2)-x=1,整理，得6t-2t-1=0,

2

2

2

设A、B点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=

13,故AB的中点对应的参数为

t1?t22?16.

14?x??1?2????48?63∴AB的中点坐标满足?即中点的直角坐标为(?，)，故M(-1,2)到，33?y?2?4?1?8?63?432此点的距离为d=(?1?)?(2?83)?253.

方法二：直线的普通方程为y=-2x,代入(y-2)2-x2=1,整理，得3x2+8x+3=0,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=?83,

x1?x22 =?43,

y1?y22??(x1?x2)?83 ,∴AB的中点坐标为

(?4282548，)，故点M(-1，2)与此点的距离为d=(?1?)?(2?)?.

33333用心 爱心 专心 - 9 -

用心 爱心 专心- 10 -

答案：

53

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