专题8 抛物线的简单几何性质
【测一测】 一、选择题
1．以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是( ) A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2 C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
????A.? B.? C．－? D．－?
y2x??12y?8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若PF?5，则双曲m3．已知双曲线与抛物线
2线的渐近线方程为
A. x?2y?0 B. 2x?y?0 C. x?3y?0 D.
3x?y?0
2y?4x的焦点，F4．设为抛物线直线l与其交于A,B两点,与x轴交于P点,且以AB为直径的圆过原点O,
则OF?FP等于（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
1
5．若抛物线y2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )
A．成等差数列 B．既成等差数列又成等比数列 C．成等比数列 D．既不成等比数列也不成等差数列 【答案】A 【解析】
222P(x，y)，P(x，y)，P(x，y)y=2px,y=2px,y11122233311223=2px3，因为 试题分析：设三点为，则
2y22=y21?y23，所以x1＋x3＝2x2，即
|P1F|-pp?p?+|P3F|-=2?|P2F|??22?2?，所以|PF|+|P13F|=2|P2F|.
6．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的
最小值为( ) A.179 B．3 C.5 D. 22
【答案】A 【解析】
1PF试题分析：如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝2的距离d等于点P到焦点的距离，因
?此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，1?其最小值为点M(0,2)到点F??2，0?的距离，则距离之和的最小值为
2y?2px(p?0)上一点M(1,m)(m?0)到其焦点的距离为5，双曲线7．知抛物线
117
4＋＝.] 42
x2?y2?1a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是
( )
1111A． 9 B．25 C．5 D．3
2
8．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影为=
00A．90 B. 60 C. 45
A1、B1，AFB则∠1100D. 30 111??,29．过抛物线y?4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AF||BF|2则直线l的倾斜角
??(0???)2等于（ ）
????A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】
3
12x2y2x?y??1222b的焦点分成3∶2b10.若双曲线a(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线
的两段，则此双曲线的离心率为( )
?A?963753521 ?B? ?C? ?D?837321
二、填空题
11
11．已知抛物线C：y＝x2，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为__________．
42【答案】5
【解析】
1
试题分析：由题意得l的方程为y＝x＋1，即x＝2(y－1)．代入抛物线方程得y＝(y－1)2，即y2－3y＋1＝
20.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1＋y2＋p＝5.
222dy?4x(x?3)?(y?3)?1上112．已知点P是抛物线上的点，设点P到抛物线准线的距离为，到圆
一动点Q的距离为d2,则d1?d2的最小值是
【答案】4
【解析】
试题分析：连接抛物线的焦点与圆心，由抛物线的定义知这两点连线的长度减去圆的半径即我所求的最小
4
距离，∵抛物线的焦点是（1，0），圆心是（-3，3），∴d1+d2的最小值是4。
25
13．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝_______.
125
【答案】 6【解析】
11225555
试题分析：设|AF|＝x，|BF|＝y，由抛物线的性质知＋＝＝2，又x＋y＝，∴x＝，y＝，即|AF|＝. xyp12646
|MO|
2y?2x的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则|MF|的最大值14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线
为 .
三、解答题
22x?y?2x?4y?5?0的圆心. 15．已知抛物线以坐标轴为对称轴，原点为顶点，开口向上，且过圆
（1）求此抛物线的方程；
（2）在（1）中所求抛物线上找一点，使这点到直线y?4x?5的距离最短，并求距离的最小值. 【解析】
22p(?1,2)x?2py(p?0).P(x,2x),利试题分析：（1）设抛物线方程为，且过圆心，代入点求：（2）设点
用点到直线的距离公式列式，并求最小值即可.
5
2y?4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点． 16．抛物线
①O为坐标原点，求证：OA?OB?-3；
②设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．.
6
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