2024中考数学三角形专题复习2024

2016中考数学总复习：三角形

（一）三角形基础知识

【知识梳理】

1、三角形三边的关系；三角形的分类 2、三角形内角和及外角和定理及推论； 3、三角形的高，中线，角平分线 4、三角形中位线的定义及性质 【 思想方法】

方程思想，分类讨论等

【例题精讲】 例1．（2015?江苏南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0） 例2. （2013湖南郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°

例3. （2013?宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（ ）.A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

例4.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，

A 使点C落在AB边上的点P处．若?CDE?48°，则?APD等于（ ）

A．42° B．48° C ．52° D．58°

例5如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村

C 庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ） A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点

例6.（2015?安徽）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（ ）

A．∠ADE=20° B． ∠ADE=30° C． ∠ADE=∠ADC D． ∠ADE=∠ADC

中@~国&教育出B

例7.（2015?滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（ ） A． 45° B． 60° C． 75° D． 90°

例8.（2015?山东德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；

③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（ ） A．②③ B． ②④ C． ①③④ D． ②③④

例9.（2015?江苏宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 ．

例10.（2015?云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数F）．

1

（二）全等三角形

【知识梳理】

1、定义：能够完全重合的两个三角形全等．

2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等

3、判定方法：边角边（SAS）角边角（ASA）推论 角角边（AAS）边边边（SSS）“HL” 【例题精讲】 例1. （2013贵州安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB， 那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 例2．如图，在Rt△ABC 中，AB?AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90?后，得到△AFB，连接EF，下列结论：F①△AED≌△AEF； ②△ABE∽△ACD；

③BE?DC?DE； ④BE2?DC2?DE2

其中正确的是（ ）A．②④； B．①④； C．②③； D．①③． 例3．（2015?江苏泰州）如图，△

BEAD(第8题图）C中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平

分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 例4．（2013白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）

例5.（2015?四川眉山）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的番号）．

例6. (2013湖北荆门)如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． (1)求证：BE＝CE；

(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．

求证：△AEF≌△BCF．

例7.（2014?广东梅州）

2

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

例8.（2015?怀化）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD．

来源:z&zstep*~@.^com]

（三）等腰三角形

【知识梳理】

1. 等腰三角形的定义；

3

2. 等腰三角形的性质和判定； 3.等边三角形的性质和判定．

4.线段的垂直平分线的性质与判定。 【思想方法】

方程思想，分类讨论

【例题精讲】

例1. （2015?四川广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A．12 B． 9 C．13 D．12或9

A例2. （2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） 80° 20° A．B． 80°或20° C． 80°或50° D． 例3. （2013?昆明）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个 BM例4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N， 则MN等于（ ）A．

NC691216 B． C． D．5555

例5.（2015?营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别

是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）

A． 25° B． 30° C． 35° D． 40°

例6.（2015?四川遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ） A．1cm B． 2cm C． 3cm D．4cm 例7.（2014?遵义）如图，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

练习题

1、（2015?衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A． 11 B． 16 C． 17 D． 16或17

4

2. (2015年陕西省)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ） A．2个 B.3个 C. 4个 D. 5个

3.（2015?滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ） A． B． 2﹣2 C． 2﹣ D． ﹣2 4.（2015?烟台）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程

x2?6x?n?1?0的两根，则n的值为（ ）

A．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 5.（2015?江苏南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°， 则∠ADC= 度．

6.（2015?青海西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 7.（2015?四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形， 则所有满足条件的点P的坐标为 ．

8.（2015?山东莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

9.（2015?山东威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3， ∠CAE=45°，求AD的长．

（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．

5

10.（2015?营口）【问题探究】 （1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由． 【深入探究】

（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

来

（四）直角三角形

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a?b?c 5、射影定理

6

222在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° CD2?AD?BD

? AC2?AD?AB

CD⊥AB BC2?BD?AB 6、常用关系式

由三角形面积公式可得： AB?CD=AC?BC 考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有关系a?b?c， 那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC中，∠C=90°

① 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，

即sinA?222?A的对边a?

斜边c?A的邻边b?

斜边c?A的对边a? ③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA， 即tanA??A的邻边b② 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA 即cosA?2、锐角三角函数的概念： 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 4、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) （2）平方关系sinA?cosA?1 （3）弦切关系 tanA=

22sinA cosA5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：a?b?c（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：

222sinA?ababab,cosA?,tanA?;sinB?,cosB?,tanB?, ccbcca【例题精讲】

例1. （2013台湾）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，

且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（ ）

O A．10 B．11 C．12 D．13

A 例2．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，

D C 则?AOC??DOB? ．

B

7

例3. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP?重合，如果AP?3，那么PP?的长等于（ ） A．32

B．23 C．42

D．33 C

E A

例4. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠， 使点A与点B重合，折痕为DE，则tan?CBE的值是（ ）

24A．

7B

例5.（2015?四川乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）

来源@#:^%中教网7B． 37C．

241D．

36 8 D

A． B． C． D． 例6.（2015?四川眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（ ）A 23 B 2 C33 D 4

例5图 例6图 例7图 例8图 例7.（2013?绥化）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC， AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），

其中结论正确的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

例8．（2015?山东日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（ ）

A．

B．

C． D．

例9．（2015·湖南省衡阳市）如图（见下页），为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）． A． B．51 C． D．101 例10．（2015?山东东营）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图（见下页），在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为

，B处的俯角为

．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在

同一直线上，则AB两点的距离是 米．

例11．（2015?浙江宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是 m（结果保留根号）

8

例9图 例10图 例11图

例12.（2013?乐山）如图11,山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60o和45o，求山的高度BC.（结果保留根号）

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例13.（2015?江苏泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。 （1）求斜坡AB的水平宽度BC；

（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。（

，结果精确到0.1m）

（五）相似三角形

1、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．

2、认识图形的相似，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方． 3、相似三角形的概念、性质 4、两个三角形相似的条件．（判 定） 5、位似。 【思想方法】

1. 常用解题方法——设k法

2. 常用基本图形——A形、X形??

【例题精讲】

例题1（2013年山东东营）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角

9

三角形边长分别是3、4及x，那么x的值【 】 A. 只有1个

B. 可以有2个

C. 可以有3个

D. 有无数个

例题2.如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) A

BC

例题3（2015?永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB

B. ∠ADB=∠ABC

C. AB=AD?AC

2

D. =

例题4（2015?四川成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4

例题5（2015?铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A 3：4 B 9：16 C 9：1 D 3：1

例题6（2015?济南）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（ ）

A．

B．

C．

1

D．

例题7. 如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）

①∠A+∠B=90° ②AB?AC?BC③

222ACCD2? ④CD?AD?BD ABBD例题8.（2015?东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为 例题9.（2015?山东泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论： ①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

例题10.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1) 求证：△ADF∽△DEC

(2) 若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

例题11. （2015湖南岳阳）

10

如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

例题12.（2015·江苏连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H． (1）求BD?cos∠HBD的值；

(2）若∠CBD=∠A，求AB的长．

【优化训练】

1.若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 2.现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm.从中任取一根木棒，能组成三角形的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）

A．

112 B． C． D．不能确定 323 11

4．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°， 那么∠BDC=（ ） A．80° B．90° C．100° D．110° 5. （2015江苏连云港）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是

6.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°， 则CD的长为（ ）A．

3213 B． C． D． 23247．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是 （ ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm

9．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点． 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．A．1 : 2 B．1 : 3 C．2 : 3 D．11 : 20

0

10．如图，在△ABC中，∠C=90，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6

11．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得?ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ） ．．．．．A．6 B．7 C．8 D．9 12．如图1，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°。则∠B的度数是（ ） A．40° B．35° C．25° D．20°

13．如图，已知AC?FE，BC?DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一．个．条件，这个条件可以是 ．

14．如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件， 使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_ _（只填一个WB）．

15．如图，点D、E在△ABC的BC边上，∠BAD=∠CAE，要

推理得出△

ABE≌△ACD，可以补充的一个条件是 (不添加辅助线，写出一个即可).

16．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）

12

①∠A+∠B=90° ②AB?AC?BC③

222ACCD2? ④CD?AD?BD ABBD

17. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.

18.如图，已知在Rt△ABC中，?ACB?Rt?，AB?4，分别以AC，BC 为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 ．

19.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在

AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长.

20. （2013?东营） (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A， BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明:DE=BD+CE．

(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由．

(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

临沂市近几年三角形四边形有关试题

2007年

04．如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1＋∠2的 大小为（ ）。A、130° B、230° C、180° D、310°

13．如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，

13

测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（ ）。

A、156km B、152km C、15(6?2)km D、5(6?32)km

14．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些

边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）。A、x＝10，y＝14 B、x＝14，y＝10 C、x＝12，y＝15 D、x＝15，y＝12

17．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH

是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 。 22．(本小题满分)如图，已知矩形ABCD。

(1)在图中作出△CDB沿对角线BD所在的直线对折后的△C’DB，C点的对应点为C’(用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法)； 1(2)设C’B与AD的交点为E，若△EBD的面积是整个矩形面积 3 求∠DBC的度数。

A D

B (第22题图)

C 25．(本小题满分)如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三

角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。 ①证明DM＝DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； (2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。

F A A D

M D B E N C N B A C E M D F

E M

A图3 图1 图2 2008年 F

B N C (第25题图)

11．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点， EF连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ） C第11题图

A． 23 B． 33 C． 43 D． 3

13．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC切于点M，与AB

14

EBM第13题图

CBDAADEODBFC第18题图

交于点E，若AD＝2，BC＝6，则⌒DE的长为（ ） A．

3?3?3? B． C． D． 3? 24818．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，

连接CE，则CE的长________.

19．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，

再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形

B2A1BB1，??，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________。 A1

A

B1OB

第19题图

21．（本小题满分7分） 如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE?⑴求证：△ABF∽△CEB;

⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。

1CD。 2EAFDB第21题图 C

25.已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC; ②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。

M MMCCC

DDD

第21题图 ABNAB ABNN

2009年

11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC?BD于点O， AE?BC，DF?BC，垂足分别为E、F，设AD=a，BC=b，则四边形 AEFD的周长是（ ）A．3a?b

15

A D P B O D B．2(a?b) C．2b?a D．4a?b E A E F C （第11题C

B

（第18题图）

18．如图，在菱形ABCD中，?ADC?72，AD的垂直

平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则?CPB?________度． 22、（2009·临沂中考）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离

AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

25．（本小题满分）

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

F D D A A D A F F

???

2010年

B E C 图1

G

B E C 图2 （第25题图）

G B 图3

C E G

7．如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，

1AB = 4，则OE的长是 （ ）A.2 B.2 C.1 D.

2

第7题

第1016

10．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA = 2，∠AOC = 45°， 则B点的坐标是（ ）

A.（2 +2，2） B.（2﹣2，2）C.（﹣2 +2，2） D.（﹣2﹣2，2）

13．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则

BD的长为 A.3 B.23 C.33 D.43

17．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB ．

第13题图 第17题

18．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作 AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ． 25．（本小题满分11分）

如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD． 第18（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

图1

图2

图3

第25题图

2011

11、（2011?临沂）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，

BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）

A、2

B、3

C、4

D、4

12、（2011?临沂）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．AD=2，BC=6，∠B=60°， 则梯形ABCD的周长是（ ） A、12 B、14 C、16 D、18

17

18、（2011?临沂）如图，?ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为 ．

11题 12题 18题 22、（2011?临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．

（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

25、（2011?临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求

的值．

2012

11．（2012?临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O， 下列结论不一定正确的是（ ）

A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 17．（2012?临沂）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °． 18．（2012?临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，

18

使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．

11题 17题 18题 22．（2012?临沂）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且

AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形， （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

25．（2012?临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

2013

10、（2013山东临沂， 3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E， 下列结论不一定成立的是（ ） ．．．A．AB＝AD

B．AC平分∠BCD

C．AB＝BD

oD．△BEC≌△DEC

17.如图，菱形ABCD中，AB＝4，?B?60,AE?BC,AF?CD, 垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是 .

19

18．如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,DE?BC,BD?DC,垂足分别为E,D, DE=3，BD=5，则腰长AB= 22．（本小题满分7分）

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长

C线于点F,连接CF.

（1）求证：AF=DC；

（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论. DFE

AB 25．（本小题满分11分）

如图，矩形ABCD中，∠ACB =30，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.

oPE(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则PF的值为 .

PEoo(2)现将三角板绕点P逆时针旋转?（0???60）角，如图2，求PF的值；

PEoo(3)在（2）的基础上继续旋转，当60???90，且使AP:PC=1：2时，如图3，PF的值是否变

化？

证明你的结论.

2014

13、如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间

的距离为（ ）（A）20海里．（B）103海里．（C）202海里．（D）30海里．

20

17．如图，在 ABCD中，BC?10，sinB?9，AC?BC，

10则 ABCD的面积是 . 23．（本小题满分9分）

对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；

第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A?处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时， 得到线段BA?，EA?，展开，如图1；

第三步：再沿EA?所在的直线折叠，点B落在AD上的点B?处，得到折痕EF，同时得到线段B?F， 展开，如图2.

（1）证明：?ABE?30°；

（2）证明：四边形BFB?E为菱形.

25．（本小题满分11分）

问题情境：如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分?DAM.

探究展示：（1）证明：AM?AD?MC；

（2）AM?DE?BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 拓展延伸：（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.

2015

12．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB. 添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 ．．

21

(A) AB=BE. (B) BE⊥DC. (C) ∠ADB=90°. (D) CE⊥DE. 17．如图，在YABCD中，连接BD，AD?BD, AB?4, sinA?3，则YABCD的面积是________. 4A

D C

E O D C

A B

B

（第17题图） （第18题图）

18．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则

OB?_________. OD22．（本小题满分7分）

小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？ 25．（本小题满分11分）

如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE. （1）请判断：AF与BE的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.

22

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