第2章习题参考答案

第二章 行 列 式

1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性

1) 2) 3)

1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 9 8 7 6 5 4 3 2 1;

解:1) 所求排列的逆序数为:??134782695??0?1?1?3?3?0?1?1?10，

所以此排列为偶排列。

2) 所求排列的逆序数为:??217986354??1?0?4?5?4?3?0?1?18， 所以此排列为偶排列。 4) 所求排列的逆序数为:

??987654321??8?7?6?5?4?3?2?1? 2.选择i与k使

1) 1274i56k9成偶排列； 2) 1i25k4897成奇排列。

9?9?1??36，所以此排列为偶排列。 2解: 1) 当i?8,k?3时, 所求排列的逆序数为:

??1274i56k9????127485639??0?0?4?1?3?1?1?0?10， 故当i?8,k?3时的排列为偶排列.。

2)当i?3,k?6时, 所求排列的逆序数为:

??1i25k4897????132564897??0?1?0?1?1?0?1?1?5， 故当i?3,k?6时的排列为奇排列。

3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。

1,2?2,5?3,4??21435?????25431?????25341解: 12345????。

4.决定排列n?n?1??21的逆序数,并讨论它的奇偶性。

解: 因为1与其它数构成n?1个逆序,2与其它数构成n?2个逆序, ……n?1与n构成1个逆序,所以排列n?n?1??21的逆序数为 ???n?n?1??21????n?1???n?2????2?1?n?n?1? 2故当n?4k,4k?1时，排列为偶排列；当n?4k?2,4k?3时排列为奇排列。

5.如果排列x1x2?xn?1xn的逆序数为k,排列xnxn?1?x2x1的逆序数是多少? 解: 因为比xi大的数有n?xi个,所以在xnxn?1?x2x1与x1x2?xn?1xn这两个排列中,由xi与比它的各数构成的逆序数的和为n?xi.因而,由xi构成的逆

n?n?1?。而排列x1x2?xn?1xn的逆序数为k,故排2n?n?1??k。 列xnxn?1?x2x1的逆序数为2序总数恰为 1?2????n?1??6.在6阶行列式中,a23a31a42a56a14a65, a32a43a14a51a66a25这两项应带有 什么符号?

解:(?1)??234516????312645????1? ??1???341562????234165?4?4故项a32a43a14a51a66a25前面的符号为正； ?1，

???1?6?4?1 ，故项a32a43a14a51a66a25带正号。

7．写出4阶行列式中所有带有负号并且因子a23的项。

解： 所求的各项应是?a11a23a32a44 ， ?a12a23a34a41 ， ?a14a23a31a42 。 8．按定义计算行列式：

00?01000?200???? 2）? 1）?0n?1?000n0?00n00 3）?n?10?010?200???? 。 ?000?00n10?02????00?.

00?n?100?0 解：1）所给行列式的展开式中只含有一个非零项a1na2,n?1?an1， 它前面的符号应为??1???n(n?1)?21????1?n(n?1)2 ，所以原行列式=??1?n?n?1?2n!。

2）所给行列式的展开式中只含有一个非零项a12a23?an?1,nan1， 它前面的符号应为??1???23?n1????1?n?1 ，所以原行列式=??1?n?1。 n！

3）所给行列式的展开式中只含有一个非零项a1,n?1a2,n?2?an?1,1ann， 它前面的

符号应为??1????n?1?n?2???21n????1??n?1??n?2?2 ，所以原行列式=??1??n?1??n?2?2n！。

9．由行列式定义证明：

a1a2a3b1b2b3 c1c20d1d20e1e20a4b4000a5b50?0 00 解：行列式展开的一般项可表示为a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，列标j3j4j5只可以在1，2，3，4，5中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取3，4，5列中之一数，从而任何一个展开式中至少要包含一个0元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0，因此原行列式值为0。 10． 由行列式定义计算

2xx121x1?1 f?x?? 中x4与x3的系数，并说明理由。

32x1111x解：含有x4的展开项只能是a11a22a33a44，所以x4的系数为2；同理，含有x3的展开项只能是a12a21a33a44，所以x3的系 数为-1。

11 11.由

?111?1????11?0， 证明：奇偶排列各半。 ?1 证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于1。 而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项的项数相等.根据行列式的定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二个下标所成排列为偶排列时， 该项前面所带的符号为正，否则为负号，所以，由带正号的项与带负号的项数相等即说明奇偶排列各半。

11xa1a2?x2a1a2?an?1222????xn?1a1a2n?1n?1 12．设 P?x??1?，其中a1,a2,?,an?1是互不相同的数。

?n?11an?1?an?11）由行列式定义，说明P?x?是一个n?1次多项式； 2）由行列式性质，求P?x?的根。

解：1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，所以若行列式的第一行展开时，含有xn?1的对应项的系数恰为??1?n?1乘一个范德蒙行列式

1a11a2 1a3??1an?1a12a22a3?2an?12?a1n?2?a2n?2 ?a3??n?2?an?1n?2于是，由a1,a2,?,an?1为互不相同的的数即知含有xn?1的对应项的系数不为0，因而P?x?为一个n?1次的多项式。

2） 若用a1,a2,?,an?1分代替x时，则由行列式的性质知所给行列式的值为0，

即P?ai??0.故P?x?至少有n?1个根a1,a2,?,an?1.又因为P?x?是一个

n?1次的多项式，所以a1,a2,?an?1必是P?x?的全部根。

13．计算下面的行列式：

246427327xyx?yxx?yxy 1）1014543443 2）y?342721621x?y31 3）

111311113111 1312 4）342341341241?x111a2111?x11b25） 6）22111?y1c31111?yd2100042732711327?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2

01327 解：1） 原式=2000543443?10521443=10511443??294?105

100072162111621016212x?2yyx?yxx?yxy1yx?y?y =?2?x3?y3? ?x2）原式=2x?2y2x?2y?2(x?y)0x0x?y663）原式=

6613111131111102?6100300102010?6?8?48。 021010 4） 原式=

1010234134124123411?31011?3=200?22?160 。 ?10202?2?200?430?1?1?1xx00x00011?x111?x105）原式=??x2y2

00yy00y01111?y101?ya22a?12a?32a?52b?12b?32c?12c?32b?52c?5?a2b2c2d2bb1b2cc1。 c2c?ac1?a1c2?a2a?ba1?b1 a2?b22a?1222b?1222c?1222d?1226）原式=

b2c2d2=0 。

2d?12d?32d?5c?ac1?a1c2?a2a?bab?c 14.证明 b1?c1b2?c2a1?b1?2a1a2?b2a2a?b?c 证明：由行列式的性质，有左边=2a1?b1?c1a2?b2?c2a?b?c?b?b1?b2?cabb1b2c =2a1?b1?c1a2?b2?c2?c1=2a1?c2a2c1?右边 。

c2 15．算出下列行列式的全部代数余子式：

120?1 1）

0000122041?121 2）321 10143 解：1）A11??6，A12?0，A13?0，A14?0，A21??12，A22?6，A23?0，

A24?0，A31?15,A32??6,A33??3,A34?0,A41?7,A42?0,A43?1,A44??2 。

2）A11?7,A12??12,A13?3，A21?6,A22?4,A23??1， A31??5,A32?5,A33?5 。 16．计算下面的行列式：

112111121112 1）

141123111?1?3 2）3125?321?11?12102

012?1421231201 3）?135323110212 4）315?1112121?101213012001?120 2121111111110?1?1?501150解：1）原式= =??0114000?100?1?2?300?1202）原式

111115?1 。

0?1200?131?1=

121?3011222?120121?124211?11211?3?12454430602?120343313?334?1?113164?13?24?? =

1212112?3210011203）原式=?10320?50?221211?1?14?10?10?

3?55?11?112?2411212116?919300 =-106?9015?6?1315?6?25310=3

193013??483 6083683683612102?22102?2120?11220?1124）原式=864210?1104034 1?101281?1012426011620613

212?2212?2=

1104340?5122?5127081?112?1283030=-18330??316261312021712217801100 17．计算下列n阶行列式：

xy0?000xy?00a1?b1a1?b2?a1?bn 1）00x?00?? 2）

a2?b1a2?b2?a2?bn????????

000???an?b1an?b2?an?bny00?0xx1?mx2?x122?2nx222?2 3）

x1x2?m?n???? 4）223?2

x?????1x2?xn?m222?n123?n?1n1?10?00 5）

02?2?00??????

000?2?n0000?n?11?n0?3812 17 解：1）按第一列展开，原式=xn???1? 2）从第2列起各列减去第1列

a1?b1b1?b2?b1?bnb1?b2?b1?bn???b1?b2?b1?bnn?1yn。

原式=

a2?b1?an?b1

当n?3时，原式=0；

当n?2时，原式=?a2?a1??b2?b1?； 当n?1时，原式=a1?b1。

1x2xn?n?1x2?m??n?0?m3）原式=??xi?m????xi?m?????i?1???i?n???1x2?xn?m00?1x2xn?xn?0

????m?n?n?1???xi?m???m? ?i?1?122?14）原式=1?12100?000?0101?0??21?????00?n?2110?0 =??2??n?2?！。 02?0????00?n?2n?15）各列加到第1列得到

n?n?1?220?130??n?10n00?0??n?1? 原式=

0?002?00?2?0???0???n?2?0?n?1 =??1?n?11?n?1? 。 218.证明：

a01 1）1?11a10?01?10n?1a?0?a1a2?an??0?ai?1i????? 。 ?0?a2??0??anx?1 2）

0x00??000?xa0a1a2?an?2?xn?an?1xn?1??a1x?a0。

0?00?1x????0000???1x?an?10?000?1000?1000????10?00cos?10?0012cos?1?00?????1?0001?00 3）

????????00???????n?1??n?1? 。

????????????000?1?cos? 。

4）

2cos???2cos?2cos?1?a11 5）

11?a21?1111??111?1111?11?an1加到第1行，得 ai?1n?1?a1a2?an?1???ai?1i?1?111?a3???11???? 。 ??1?an?1 证明：4）分别将第i(i?2,?,n?1)行乘以-

a0??i?1n 左边=

11?11ai0a10?0n00??000?a2???0

?an =a1a2?an(a0??i?11) = 右边。 ai 4）从最后一行起，分别将每一行都乘以x后加到其前一行，得

000?000?xn?an?1xn?1???a1x?a0xn?1?an?1xn?2???a2x?a1xn?2?an?1xn?3???a3x?a2?x2?an?1x?an?2x?an?1

左边=

?100?0?10??00?00??0?00??1?1???1?n?1?x?n?an?1xn?1???a1x?a0???1??1n?1

???1?n?1xn?an?1xn?1???a1x?a0??1?n?1?xn?an?1xn?1???a1x?a0 =右边。

4）将所给行列式记为Dn，按第1列展开得Dn??????Dn?1???Dn?2，

即Dn??Dn?1???Dn?1??Dn?2?，此式对一切n都成立.故递推得

Dn??Dn?1??2?Dn?2??Dn?3? ??3?Dn?3??Dn?4?????n?2?D2??D1?，

??n?2?????????????????n2?? 在Dn中?,?的地位是一样的，故同理可得Dn??Dn?1??n，

所以 ?????Dn??n，

?n?1??n?1 从而 Dn?=右边。

???cos?4）对2阶行列式，有D2?11?2cos2??1?cos2?， 此时结论

2cos?成立。假设对阶数小于n的行列式结论皆成立，则对n阶行列式Dn按最后一行展开，得Dn?2cos?Dn?1?Dn?2，因为

Dn?2?cos?n?2???cos???n?1???????cos?n?1??cos??sin?n?1??sin?，

代入Dn可得

Dn?2cos?cos?n?1???cos?n?1??cos??sin?n?1??sin?

?cos?n?1??cos??sin?n?1??sin??cos???n?1???????cosn? 故对一切n结论成立，即证。

104）左边=

?0111?1111??111?1111?11?an

01?a11?a2???11??1?an?11?1 =

??1?110?0010??100?0100??0an?1a11??i?1na2???00?00?01ai1a10?010??100?

?an?1a2???0?ann?11?=a1a2?an???ai?1i????=右边。 ?19．用克拉默法则解下列方程：

?2x1?x2?3x3?2x4?6?x1?2x2?3x3?2x4?6?3x?3x?3x?2x?5?2x?x?2x?3x?8?1?1234234 1）? 2）?

3x?x?x?2x?33x?2x?x?2x?4234234?1?1???3x1?x2?3x3?x4?4?2x1?3x2?2x3?x4??8?x1?2x2?2x3?4x4?x5??1?5x1?6x2?1?2x?x?3x?4x?2x?8?x?5x?6x?012345123????3）?3x1?x2?x3?2x4?2x5??24）?x2?5x3?6x4?0

?4x?3x?4x?2x?2x??2?x?5x?6x?01234545??3???x1?x2?x3?2x4?3x5??3?x4?5x5?1解：1）d??70,d1??70,d2??70,d3??70,d4??70 。 所以方程组有唯一解：

x1?dd1dd?1,x2?2?1,x3?3?1,x4?4?1dddd

2）d?324,d1?324,d2?648,d3??324,d4??648 。 所以方程组有唯一解：

x1?dd1dd?1,x2?2?2,x3?3?1,x4?4??2dddd 。

,d5?312 。 3）d?24,d1?96,d2??336,d3??96,d4?168 所以方程组有唯一解：

x1?ddd1dd?4,x2?2??14,x3?3??4,x4?4?7,x5?5?13ddddd 。

,d2??1145,d3?703,d4??395,d5?212 . 4）d?665,d1?1507x1?15072293779212,x2??,x3?,x4??,x5?66513335133665。

所以方程组有唯一解：

20．设a1,a2,?,an是数域P中互不相同的数，b1,b2,?,bn是数域

P中任一组给定的数，用克拉默法则证明：有唯一的数域P的多项式

f?x??c0?c1x?c2x2???cn?1xn?1 使f?ai??bi ?i?1,2,?,n?。 证明：由f?ai??bi得

?c0?c1a1?c2a12???cn?1a1n?1?b1?2n?1?c0?c1a2?c2a2???cn?1a2?b2?.............................................??c?ca?ca2???can?1?b2nn?1nn ?01n

这是一个关于c0,c1,?,cn?1的线性方程组，且它的系数行列式为一个范得蒙行列式.由已知该行列式不为0，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式是唯一的。

23h?a?at?at?ath0123t21．设水银密度与温度的关系为，

由实验测定得以下数据：

0 10 20 t?C

h 13.60 13.57 13.55

??30 13.52 求t?15 ，40时的水银密度（准确到两位数）。 解：将t,h的实验数据代入关系式

?10a1?100a2?1000a3??0.08??20a1?400a2?8000a3??0.05?30a?900a?27000a3?0.0812?23h?a?at?at?at0123 ，得a0?13.60，且

101001000 因为系数行列式d?204008000?12?106?0

3090027000d1??50000,d2?1800,d3??40

,a2?0.00015,a3??0.0000033 由克拉默法则可求得a1??0.0042，

t?0.00015t2?0.0000033t3， 故所求关系式为 h?13.60?0.0042 再将t?15,t?40分别代入上式，其水银密度分别为 ht?15?13.56, ht?40?13.48

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