2024年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛卷及答案

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题

（2008年4月27日 下午1：00—3：00） 题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1－6 二 7－12 13 14 三 15 16 总分 答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．

2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

得 分 评卷人

1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶

在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )

（A）7.5秒 （B）6秒 （C）5秒 （D）4秒 2．将一张边长分别为a，b(a?b)的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕

的长为( )

b2a2a?b2 （B）a?b2 （A）abb22a22a?b （D）a?b （C）ab3．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白 两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱

D1 A1

D A

B (第3题)

B1

C1

C

向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→??，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→??，并且都遵循如下规则：所爬行的第n?2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．设m，n是正整数，满足m＋n＞mn，给出以下四个结论：① m，n都不等于1；

② m，n都不等于2；③ m，n都大于1；④ m，n至少有一个等于1．其中正确的结论是（ ）

（A）① （B）② （C）③ （D）④

初中数学竞赛复赛试题 第1页（共6页）

5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长

度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高 点到水平线的距离为（ ） （A）

11704 （B） 10241024第一层

第二层

第三层

第四层

水平线

1705（C） （D）2

1024（第5题）

6．有10条不同的直线y?knx?bn（n = 1，2，3，?，10），其中k3?k6?k9，

b4?b7?b10?0，则这10条直线的交点个数最多有（ ）

（A）45个 （B）40个 （C）39个 （D）31个

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

得 分 评卷人 E?AB7．在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使A连结EF交对角线AC于G，则

13AF?，

1AD，4AG的值是 ． AC· · 8．如图所示，一个半径为2的圆过一个半径为2的圆的圆心， 则图中阴影部分的面积为 ． 9．已知y=x?mx?6，当1≤m≤3时，y＜0恒

成立，那么实数x的取值范围是 ．

（第8题）

210．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，

规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为

1111?，?，xy?zyz?x6321111?．例如，输入1，2，3，则输出，，. 那么当输出的新数为，，

54334zx?y1时，输入的3个数依次为 ． 5输入 x，y，z

转换器 输出

111111?，?,? xy?zyz?xzx?y（第10题）

初中数学竞赛复赛试题 第2页（共6页）

11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相

邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．

12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x?5ax?26a?143?0的两个根都是整数，

则a的值是 ．

三、解答题（共4小题，满分54分） 13．（本题满分12分）

2得 分 评卷人 已知正三角形ABC，AB = a，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度作直线运动，且点P沿射线AB方向运动，点Q沿射线BC方向运动. 设AP的长为x，△PCQ的面积为S，

（1）求S关于x的函数关系式；

（2）当AP的长为多少时？△PCQ的面积和△ABC的面积相等.

初中数学竞赛复赛试题 第3页（共6页）

14．（本题满分12分）

得 分 评卷人 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE＝AD，BE=BC，过E作EF∥BC 交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明的理由．

PDPC2PF??ADBCEF

A D

E F

B

C

初中数学竞赛复赛试题 第4页（共6页）

15．（本题满分14分）

得 分 评卷人 设二次函数y?ax2?bx?c(a?0,c?1)，当x = c时，y = 0；当0＜x＜c时，y?0． （1）请比较ac和1的大小，并说明理由； （2）当x＞0时，求证：

abc???0． x?2x?1x 初中数学竞赛复赛试题 第5页（共6页）

16．（本题满分16分）

得 分 评卷人 有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局．如果其中有3个人X、Y、Z，比赛结果为X胜Y，Y胜Z，Z胜X，那么我们称X、Y、Z构成一个“圈”．求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值．

初中数学竞赛复赛试题 第6页（共6页）

008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：D 解：

D F G A E (第2题)

B C

80?5?4． 1002．答案：A

解：如图，设折痕EF与对角线AC的交点为G，则

AC⊥EF，AG=CG，EG=FG． 所以△AGE∽△ABC，得

3．答案：C

AGGEAGb2??BC=a?b2. ，EF?2GE?2?ABBCABa解：黑、白两个甲壳虫各爬行完3条棱时都到达点C1处，各爬行完6条棱时回到起点

A.由2008=334×6+4，得黑、白甲壳虫各爬行完第2008条棱后分别停止在点C，D1处，距离为2.

4．答案：D

解：由m＋n＞mn，得（m－1）（n－1）<1. 因为m，n是正整数，所以（m－1）（n－1）

＝0，故m和n中至少有一个为1．

5．答案：C

?1(n为奇数时),n?1??2解：设树形图第n层增加的高度为an，则an??

?1(n为偶数时).??2n树形图第10层的最高点到水平线的距离为

a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8?a9?a10

?1?6．答案：B

1111111111705????????=. 441616646425625610241024初中数学竞赛复赛试题 第7页（共6页）

解：由条件知，10条直线中至少有3条直线平行，3条直线过原点．所以交点个数最多

有 1?3?3?4?6?4?3=40. 2

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：

1 7D H F G A E C

O B 3解：如图，在AD上取点H，使AH?AD，

4连结BH交AC于O，则

AG11（第7题） ?，即AG?AO. AO33AOAH34??，CO?AO. 又 △AOH∽△COB，所以

COCB431· · AOAGAG13所以 =??．

4ACAO?COAO?AO738．答案：２

（第8题）

解：如图，两圆的公共弦恰为小圆的直径，故阴影部分面积为半个小圆的面积减去大圆

的一个弓形（所含圆心角为90o）的面积，?(2)?(??2?9．答案：?3?x?12214212?2)?2． 2?3?33 222解：因为1≤m≤3，

所以当x≥0时， x?mx?6≤x?3x?6， 由y=x?3x?6＜0，得0≤x＜

222?3?33； 22 当x＜0时，x?mx?6≤x?x?6，由y=x?x?6＜0，得 -3＜x＜0. 10．答案：解：由

1111，，11 32111111111?=，?=，?=，得 xy?z3yz?x4zx?y53(x?y?z)?xy?zx， ① 4(x?y?z)?xy?yz， ②

初中数学竞赛复赛试题 第8页（共6页）

5(x?y?z)?yz?zx. ③

将上述3式等号两边分别相加，得 6(x?y?z)?xy?yz?zx. ④ ④-①，得 3(x?y?z)?yz， ④-②，得 2(x?y?z)?zx， ④-③，得 (x?y?z)?xy. 所以x?11．答案：45

解：将数最小的一张卡片调到最左边，至多需要9次操作，将数次小的一张卡片调到左

边第2张，至多需要8次操作，依此类推，至多经过9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次操作，能将它们按从小到大的顺序排列.

另一方面，如果这10张卡片开始时从左到右按从大到小的顺序排列，则需要45

次操作才能按从小到大的顺序排列．

12．答案：18

21111y，z?2y.由此可解得x=，y=，z=11. 3325x?65395x2?143x?13?x?5?解：a?为整数?为整数?为整数，所

5x?265x?265x?265x?26以5x?26??1,?3,?13,?39，解得x?5或x?13，所以a?18． 三、解答题（共4小题，满分54分） 13．(12分)

解：（1）当0＜x＜a时，作PM⊥BQ（如图1）， 则PM?Q C 3(a?x)，CQ=AP=x， 2M A P （图1）

Q

B

13x(a?x)． 所以 S =?CQ?PM?24当x= a时，S = 0.

当x＞a时，同样作PM⊥BQ（如图2）， 则PM?3(x?a)， 2初中数学竞赛复赛试题 第9页（共6页）

C

A

B M

P 所以 S =

13?CQ?PM?x(x?a)． 2432a. 4（2）S△ABC =332x(a?x)=a，得x2?ax?a2?0. 4422因为b?4ac??3a?0，所以此方程无解.

当0＜x＜a时，由当x＞a时，由解得 x?即当x?14．(12分)

解：如图，过D、F分别作DM∥AB交EF于M，FN∥AB交BC于N， 得平行四边形ADME和平行四边形BEFN．

所以FM=EF-AD，CN=BC-EF，DM=AE=AD，FN=BE=BC． 由△DMF∽△FNC，得所以

332x(x?a)=a，得x2?ax?a2?0. 44a?5aa?5aa?5a. x?不合题意舍去，所以x?， 222a?5a时，△PCQ的面积和△ABC的面积相等. 2FMDMEF?ADAD??，即， CNFNBC?EFBCE A D

AD?BC2?．

AD?BCEFDFFCDFCF??，即． DMFNADBCB M F P C 又因为

所以当点P在线段CF上时，

PDPCPF?DFCF?PF??? ADBCADBC?PFPFAD?BC2PF??PF??． ADBCAD?BCEFPCPD2PF??． BCADEFN 同理，当点P在线段DF上时，所以

PDPC2PF． ??ADBCEF15．(14分)

初中数学竞赛复赛试题 第10页（共6页）

解：（1）由题意可知

ac2?bc?c?0， ①

?b≥c ． ② 2ax?1?c， x?1由①，得 b= -ac -1， 代入②化简，得ac≤1． （2）证明：当x＞0时，0?所以y?a(x2x)?b??c?0． x?1x?1x2xx2)?b??c?a()abcax?1x?1 ???则 ?x?1x?2x?1xx?2xx2xa()?b??caxx?1?x?1??a?

xx?2(x?1)2a(＞

16．(16分)

解： 如图1，若3个人A、B、C的比赛结果构成一个圈，则3个人胜负各一场，图中表现为“箭头一进一出”。

如图2，若3个人A、B、C的比赛结果不能构成一个圈，则3个人中必有1人胜两场1人负二场，图中表现为“箭头二出”与“箭头二进”。

如果我们把表示3个人比赛结果的胜负图中，角两边“箭头一进一出”的角称为“好角”，角两边“箭头二出”或“箭头二进”的角称为“坏角”，那么当比赛结果构成圈时，图中有3个“好角”（图1），不构成圈时有1个“好角”、2个“坏角”（图2）。

初中数学竞赛复赛试题 第11页（共6页）

axa?a?=＞0． 22x?2(x?1)(x?2)(x?1)

设某个人胜k（k=0,1,2,3,4,5,6）场，则他负（6-k）场，可产生k(6-k)个“好角”。

k=0,1,2,3,4,5,6时，k(6-k)=0，5，8，9，8，5，0，所以k(6-k)≤9，即每个人胜负构成的“好角”不超过9个。

再设7个人共构成n个圈，则“好角”共有3n+(35-n)个。 由3n+(35-n)≤9×7=63，得n≤14。

另一方面：14个圈是可能的。

不妨设7个人为A、B、C、D、E、F、G，让他们按顺时针围着圆桌坐下， 假如每人胜他左边的3人而负于他右边的3人，则含A的“圈”有 （ABE），（ACE），（ACF），（ADE），（ADF），（ADG）共6个． 这时“圈”的数目共有

6?7?14． 3 “圈”的数目不超过14也可以用下面的方法说明：

假如一次比赛后发现至少有15个圈，不妨设含A的“圈”数最多，则 含A的“圈”数≥7． 假设有s个人胜A而t个人负于A，s+t=6． 由于对称性不妨设s≤3．

（1）当s＝0时，t=6，没有含A的“圈”；

当s＝1时，t=5，含A的“圈”最多5个；

所以当s＝0或1时，含A的“圈”数<7． （2）若s＝2，则t=4．

不妨设B、C胜A，而D、E、F、G负于A，则只有当D、E、F、G均胜B、C或D、E、F、G中只有一人负于B、C中的一人时，才有含A的“圈”数≥7． ① D、E、F、G均胜B、C，则含A的“圈”有8个； D、E、F、G最多构成2个“圈”． 故“圈”的总数目不超过10．

② D、E、F、G中恰有一人负于B、C中的一人，不妨设B胜D，则

初中数学竞赛复赛试题 第12页（共6页）

含A的“圈”有7个；

B、C、D可以构成一个“圈”， D、E、F、G间的“圈”数最多2个． 故“圈”的总数目不超过10． （3）若s＝3，则t=3．

不妨设B、C、D胜A，而E、F、G负于A，则只有以下五种情况下，才有含A的“圈”数≥7：

① E、F、G均胜B、C、D，则含A的“圈”有9个． E、F、G之间和B、C、D之间至多有一个“圈”． 故“圈”的总数目不超过11．

② E、F、G中恰有一人负于B、C、D中的一人，不妨设B胜E，则 含A的“圈”有8个；

且B、C、D、E之间最多有2个“圈”，B、E、F、G之间最多有2个“圈”． 故“圈”的总数目不超过12．

③ E、F、G中有一人负于B、C、D中两人，不妨设B、C胜E．则 含A的“圈”有7个；

且B、C、D、E之间最多有2个“圈”，B、C、E、F、G之间最多有4个“圈”． 故“圈”的总数目不超过13．

④ E、F、G中有两人负于B、C、D中的一人，不妨设B胜E、F，则 含A的“圈”有7个；

且B、C、D、G、E之间最多有3个“圈”，B、C、D、E之间最多有3个“圈”． 故“圈”的总数目不超过13．

⑤ E、F、G中有两人分别负于B、C、D中的两人，不妨设B胜E、C胜F，则 含A的“圈”有7个；

且B、C、D、E、F、G之间最多有6个“圈”． 故“圈”的总数目不超过13．

所以假设不成立，“圈”的数目不超过14． 综上所述，“圈”的数目的最大值是14．

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