截长补短法培优第二课时(教案)

“截长补短法”在几何证明中的运用专题

万全县第三初级中学 李彦军

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系；截长补短法有多种方法。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线；

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等；… 补短法：

（1）延长短边；

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起；…

引例：已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

ADADFBCFCEMBE【解析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.

∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF ∴△ABM≌△ADF

∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM ∵AB∥CD

∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM ∴∠AMB=∠EAM

∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.

例1.以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分?DOE．

DAEDFOBCBOC?

AE

【解析】 因为?ABD、?ACE是等边三角形，所以AB?AD，AE?AC，?CAE??BAD?60，

则?BAE??DAC，所以?BAE≌?DAC，

则有?ABE??ADC，?AEB??ACD，BE?DC．

在DC上截取DF?BO，连结AF，容易证得?ADF≌?ABO，?ACF≌?AEO． 进而由AF?AO．得?AFO??AOF；

由?AOE??AFO可得?AOF??AOE，即OA平分?DOE．

例2.如图所示，?ABC是边长为1的正三角形，?BDC是顶角为120?的等腰三角形，以D为顶点作一个60?的?MDN，点M、N分别在AB、AC上，求?AMN的周长．

ANMANMANMDBCBFDECBEDC【解析】 如图所示，过D作DE交BC于E，使得BE?BM；过D作DF交BC于F，使得CF?CN.

因为?BDC?120?，?BDC为等腰三角形，

所以?DBC?30?，

又因为?ABC为正三角形，所以?ABC?60?. 注意到?DBC??MBD，BM?BE，BD?BD， 所以?DBE≌?DBM， 可知AM?CE.

同理，?DCF≌?DCN，AN?BF.

则有DE?DM，DF?DN，?MDB??EDB，?NDC??FDC. 又因为?MDN?60?，?BDC?120?， 则?MDB??NDC?180?.

而?EDC?120???EDB?120???MDB，?BDF?120???FDC?120???NDC， 故?EDC??BDF?240???MDB??NDC?60?，因此?FDE?60?， 则?FDE≌?NDM，MN?EF，进而可知?AMN的周长为1.

另解：如图所示，在AB上取一点E，使得BE?AN.在?DAN和?DBE中，DA?DB，AN?BE， ?DAN??DBE，因此?DAN≌?DBE，从而DN?DE.

在?DMN和?DME中，DN?DE，MD?MD，?MDN?60?， ?MDE?180????DEM??DME?

?180??????EBD??EDB????MAD??MDA??? ?180?????30???EDB???30???MDA??? ?120???EDB??MDA

?120???EDB??60???NDA?

?120???EDB??60???EDB??60?.

因此?DMN≌?DME，从而MN?ME，进而可知?AMN的周长为1．

例3.如图所示，在?ABC中，AD是?BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB?PC与AB?AC的大小，并说明理由．

EAPAPBCD

BCD

PB?PC?AB?AC，理由如下． 【解析】

如图所示，在AB的延长线上截取AE?AC，连接PE． 因为AD是?BAC的外角平分线， 故?CAP??EAP．

在?ACP和?AEP中，AC?AE，?CAP??EAP，AP公用， 因此?ACP≌?AEP，

从而PC?PE．

在?BPE中，PB?PE?BE， 而BE?BA?AE?AB?AC， 故PB?PC?AB?AC．

【补充】在?ABC中，AB?AC，AD是?BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：AB?AC?PB?PC．

AAPEP

【解析】 在AB上截取AE?AC，连结EP，根据SAS证得?AEP≌?ACP，∴PE?PC，AE?AC

又?BEP中，BE?PB?PE，BE?AB?AC，∴AB?AC?PB?PC

【补充】如图，?ABC中，AB?AC，?A?108?，BD平分?ABC交AC于D点．求证：BC?AC?CD．

ADBDCBDCADBCBEC【解析】 方法一：在BC上截取E点使BE?BA，连结DE．

∵BD平分?ABC，∴?ABD??EBD． 在?ABD与?EBD中

∵AB?EB，?ABD??EBD，BD?BD ∴?ABD≌?EBD，∴?A??DEB

∵AB?AE， ∴?BAD??BED，∴?DEC?72?． 又∵?ADB?36??18??54? ∴?CDE?72? ∴?CDE??DEC ∴CD?CE

∵BC?BE?EC，∴BC?AC?CD

方法二：如图，延长CA到F，使CF?CB，连结BF． ∵AB?AC，且?BAC?108?， ∴?ABC??C?36?． ∵CB?CF， ∴?F??FBC．

∴?FAB??C??ABC． ∴?FAB?72?．

1∵?ADB??C??ABC，

2∴?ADB?54?．又∵?FBD?54? ∴BF?AB?AC?FD．

∴AF?CD．∴BC?AC?CD．

FAD

BC

【补充】如图所示，在?ABC中，AD平分?BAC，AD?AB，CM?AD于M，求证AB?AC?2AM．

AABDMCBNPDMC【解析】 如图所示，延长AB、CM相交于P．

取PB的中点N，连接MN，则NM∥BD，

故?ANM??ABD??ADB??AMN，则AM?AN． 容易证明?APM≌?ACM，故AP?AC．

因此AB?AC?AB?AP?AB?AN?NP?AB?AN?BN?2AN?2AM．

【补充】已知等腰?ABC，?A?100?，?ABC的平分线交AC于D，则BD?AD?BC．

AF1B2EC3D

【解析】 解法一：如图，在BC上截取BE?BD，连接DE，

过D作DF∥BC，交AB于F，于是?3??2，?ADF??ECD． 又∵?1??2，

∴?1??3，故DF?BF．显然FBCD是等腰梯形． ∴BF?DC，DF?DC．

111∵?2??ABC???180??100???20?，

2221?BED??BDE??180???2??80?，

2∴?DEC?180???BED?100?，∴?FAD??DEC?100?，∴?AFD≌?EDC，AD?EC． 又∵BE?BD，∴BC?BD?EC?BD?AD．

解法二：如图，延长BD到E，使DE?AD，在BC上截取BF?BA． ∵?1??2，BD为公共边，∴BAD≌?BFD，AD?FD，?ADB??FDB．

111∵?1??ABC???180??100???20?，

222AE∴?ADB?180????A??1??180???100??20???60?． D∴?FDB?60?，故?FDC?60?，?EDC?60?．

134DEC．∴?E??DFC，?3??4．∵DF?DE，∴?DFC≌? 2BFC∵?DFC??2??FDB?20??60??80?， ∴?E?80?．

∵?4?40?，∴?3?40?，故?ECB??3??4?80?． ∴?ECB??E，故BC?BE．

∵BE?BD?DE，∴BC?BD?AD．

解法三：如图，延长BD到E，使BE?BC．延长BA到F，使BF?BC．连接CE、EF、DF． ∵?1??2，BD公共， ∴?BDC≌?BDF．

∴?BDC??BDF，?BCD??BFD．

又∵?BDC??1??BAC?20??100??120?，?BCD?40?，

F∴?BFD?40?．

∵BE?BF，?1?20?． A

12BDCE

∴?BEF??BFE?80?， ∴?DFE?80??40??40?．

而?FAD?180???BAD?180??100??80?． ∴?FAD??DEF．

又FD公共，∴?FAD≌?FED．∴ED?AD． ∴BC?BE?BD?AD

截长补短强化训练

1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

DACB

2、如图，已知在?ABC内，?BAC?60，?C?40，P，Q分别在BC，CA上，并且00AAP，BQ分别是

?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

C

3、已知?ABCD，连接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ为线段ＢＣ上的一动点，Ｆ为直线ＤＣ上一动点，且?EAF??B。 （１）如图（１），当?B?600时，求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA。 DA

F

CEB

4、已知?ABC，有一个以P为顶点的角，且?APE??ACD，将此角的顶点放在边BC上，角的一边始终经过点A，另一边与?ACB的外角的平分线交于点E。

（1）如图1，当?ABC三角形为等边三角形时，求证：CP+CE=CA。

ABQP12EBPCD

5、在?ABC中，?B?2?C，且AD?BC于D，求证：CD=AB+BD ABDC6、如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：AB=AC+CD. 变式：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=AC+CD.求证：AD平分∠BAC. 7、已知，在中?ABC，?C=900，AC=BC，直线ｌ绕点Ａ旋转，过点Ｂ，Ｃ分别向直线ｌ做垂线，垂足分别是点Ｄ、点Ｅ。

（１）如图１，求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ；

（２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２，则ＢＤ、ＣＥ 、ＡＥ 之间满足的数量关系是 B l lDB

D E

AC E AC

ACDB

8、如图所示，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，∠ABC=90°，∠C=30°，BE⊥AD于E点，求证：AC-AB=2BE. AEBDC

9、在中Rt?ABC中，?ACB?900，AC=BC，点P为BC所在直线上一点，分别过点B、C作直线AP的垂线，垂足分别为点D，X。

（1）当点P在线段BC上时，如图1，求证：AD?BD?2CE

（2）当点P在CB的反向延长线上时，如图2，线段AD、BD、CE三者之间满足的数量关系是

CCPEADAENDBBP

10、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，

求证：FG＋DC＝AD；

（2）如图 2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关

系是 ；

011、Rt??ABC中，?ACB?90,AC?BC,点D为直线BC上一点，CH?AD于H,直线CH与直线AB交于

点P，作?BPE??APC，射线PE与直线BC交于点E。 （1）当点D在BC上时，如图1，求证：2CD?DE?AC

（2）当点D在的CB延长线上时，如图2，请直接写出线段CD，DE，AC的数量关系 。

（3）在（2）的条件下，设PE与AC交于点G，并且AG?CG，PG?5，连接DG，分别交CH、AB于点M、N，

求的长MN的长。

ECCDHEBBAHPDA

P

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