2024中考数学一轮复习【几何篇】22.与圆有关的角

22.与圆有关的角

知识考点：

1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念； 2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数； 3、掌握圆周角定理及其推论；

4、掌握弦切角定理及其推论；

5、掌握各角之间的转化及其综合运用。

精典例题：

【例1】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。

分析：注意条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，问题则得以解决。

解：∵AC＝BC，PC＝BC

∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上

若P、C在AB的同侧，则∠APB＝

0

0

C?PB12∠ACB

A∵∠ACB＝100，∴∠APB＝50

若P、C在AB的异侧，则∠APB＝1800－50＝1300

0

P?例1图 【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F，若AD∶AE＝2∶1，求cot∠F的值。

分析：由AD∶AE＝2∶1和△ADE∽△ABD有DE∶DB＝1∶2，而∠F＝∠EBD，则cot∠F＝cot∠EBD＝

BDDE，故结论得证。

F解：连结BD

∵AC为⊙O的切线，∴∠1＝∠2

∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD ∴∴

ADAEDBDE??BDDE21CD1AEO?，即

ADAE?21

2B?2

0

∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90

∴∠2＋∠BEF＝900，∵∠F＋∠BEF＝900，∴∠2＝∠F ∴cot∠F＝cot∠2＝

BDDE例2图 ＝2

【例3】如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F、G，连结AF并延长交△BGF的外接圆于H，连结GH、BH。

（1）求证：△DFA∽△HBG；

（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE＝33，CF∶FB＝1∶2，求AB的长； （3）在（2）的条件下，又知AD＝6，求tan∠HBG的值。 分析：（1）证∠DAF＝∠AFB＝∠BGH，∠DFA＝∠HFG＝∠HBG即可；

（2）由DC∥AG，得CF∶FB＝CD∶BG＝1∶2，则AB∶AG＝1∶3，由切割线定理得AB＝3；

（3）由（2）知AB＝3，AG＝9，过A作AQ⊥DG于Q。由DG?AQ?2112AD?AB得AQ?181313。

所以DF＝

13DG＝13。由ADAQFQ2?DQ?DG得DQ?121313，所以QF?1313。故tan∠HBG＝tan∠HFG

＝tan∠QFA＝＝18。

DQFCHPCDABGEAO?B例3图

问题一图

探索与创新：

【问题一】如图，已知，半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。 分析：本题有一定难度，连结BC（或AD）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。 解；连结BC

?∵CD为定长，虽CD滑动，但CD的度数不变，∴∠PBC为定值 ∴∠P＝∠ACP－∠PBC＝900－∠PBC为定值 ∵∠PCD＝∠PBA，∴△PCD∽△PBA ∴

PCPB?CDBA?26?13

PCPB1在Rt△PBC中，cos∠P＝?1222，∴sin∠P＝1?()?

333评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线――直径，问题便迎刃而解了。

变式：如图，BC与AD交于E，其它条件与上题一致，问∠P与∠DEB的大小关系？ 分析：∵AB为直径，则∠PCB＝∠ADB＝900，而cos∠P＝

PCPB?CDAB，又∵△CED∽△AEB，∴

CDAB?DEEB＝cos∠DEB。∴cos∠P＝cos∠DEB，故∠P与∠DEB的大小相等。

PCDEAO?P?CP?AOBBD问题一变式图

问题二图

【问题二】如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一点。 （1）当点P在劣弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请证明你的结论；

（2）当点P在优弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？并证明你的结论（不讨论P与A重合的情形）。

分析：（1）P在劣弧CD上运动时，∠APC＝∠APD，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P在优弧CD上运动时，∠APC＋∠APD＝180，∠APC所对的弧是ADC，∠APD所对的弧是AD，而AD?AC，

????0

????ADC?AD的度数和等于ADC?AC的度数和，等于360，由圆周角定理易证明得到结论。

0

跟踪训练：

一、选择题：

1、下列命题中，正确的命题个数是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；

②圆周角度数等于圆心角度数的一半；

③90的圆周角所对的弦是直径；

④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝500，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（ ） A、650 B、1150 C、650或1150 D、1300或500

3、O为锐角△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则OD∶OE∶OF为（ ） A、a∶b∶c B、

1a0

∶

1b∶

1c

0

C、cosA∶cosB∶cosC D、sinA∶sinB∶sinC

4、如图，AB是⊙O的直径，DB、DC分别切⊙O于B、C，若∠ACE＝25，则∠D为（ ） A、500 B、550 C、600 D、650

ABO?AO?OCAECD1O??DxBCDB700

第4题图

第5题图

第6题图

5、如图，⊙O经过⊙O1的圆心O1，∠ADB＝?，∠ACD＝?，则?与?之间的关系是（ ） A、?＝? B、??1800?2? C、??12(900??) D、??12(1800??)

二、填空题：

6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，则x＝ 。

7、如图，A、B、C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论 （任写一个）。 8、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝ 。

EDOAC?A1O?B2DBO?CPABC第9题图

9、如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于C，延长PO交⊙O于点B，PA＝AB，PD平分∠APB交AB于点D，则∠ADP＝ 。

第7题图 第8题图 10、如图，已知直径AB⊥CD于E，∠COB＝?，则

ABBEsin2?2＝ 。

11、如图，⊙O1与⊙O2为两个等圆，O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过B的直

线交⊙O1于C，交⊙O2于D，过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E，则∠E＝ 。 三、计算题或证明题：

?12、如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交于点M，C为AB上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。

ACAO1AOEB??O2MPD?BCOCBDE

第10题图

第11题图

第12题图

13、如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证： （1）AO1?O1D?O1C； （2）E为△ABC的内心。

CAEA?2FECO1?DOO2B?AGCDPO?BBD第13题图

第14题图 第15题图

14、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC。

（1）求证：FB＝FC； （2）FB2?FA?FD；

（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝1200，BC＝6cm，求AD的长。

15、如图，⊙O的直径AB＝6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD＝m∠ACD，当

BPAP?7?43时，是否存在正实数m，使弦CD最短？若存在，请求出m的值；若不存在，请

说明理由。

16、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3。

（1）求证：AF＝DF；

（2）求∠AED的余弦值；

（3）如果BD＝10，求△ABC的面积。

AFM?BDCE第16题图

跟踪训练参考答案

一、选择题：ACCAD 二、填空题：

6、1400；7、OC∥AB等；8、900；9、450；10、1；11、1200 三、计算题或证明题：

12、提示：连结OA，OA22?OM?OP?OC，∴

OCOM?OPOC，又∠O是公共角，△OCM∽△OPC。

13、略证：（1）连结，O1B，由O1A＝O1B可得∠O1AD＝∠O1CA，∠AO1D是公共角，∴△O1AD∽△O1CA；（2）连结AE、BE，由∠ABE＝

12∠AO1C＝

12∠ABC，∠BAE＝

12∠BO1E＝

12∠BAC。

14、（1）（2）略；（3）43cm。

15、解：连结OD，设存在正实数m，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。

∵

BPAP?7?43，设AP＝k，则BP＝(7?43)k，又AB＝6

∴(7?43?1)k?6，解得k?6?332332

∴OP＝OA－AP＝3?6?332＝

在Rt△POD中，cos∠POD＝

OPOD?0

32，∴∠POD＝30，∠ACD＝15

00

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90 ∴∠BCD＝900－150＝750 ∵∠BCD＝m∠ACD

∴m＝5，即存在正实数m，使CD弦最短。

16、（1）先证∠ADE＝∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，设FE＝4x，FD＝3x，可求DE＝5x，由

AD?EF?DE?AN得：AN＝4.8x，可得EN＝1.4x，cos∠AED＝

725；（3）△CAE∽△ABE，S?ABC?72。

15、解：连结OD，设存在正实数m，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。

∵

BPAP?7?43，设AP＝k，则BP＝(7?43)k，又AB＝6

∴(7?43?1)k?6，解得k?6?332332

∴OP＝OA－AP＝3?6?332＝

在Rt△POD中，cos∠POD＝

OPOD?0

32，∴∠POD＝30，∠ACD＝15

00

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90 ∴∠BCD＝900－150＝750 ∵∠BCD＝m∠ACD

∴m＝5，即存在正实数m，使CD弦最短。

16、（1）先证∠ADE＝∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，设FE＝4x，FD＝3x，可求DE＝5x，由

AD?EF?DE?AN得：AN＝4.8x，可得EN＝1.4x，cos∠AED＝

725；（3）△CAE∽△ABE，S?ABC?72。

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024中考数学一轮复习【几何篇】22.与圆有关的角在线全文阅读。