2024年春湖北省黄冈中学高一数学(理)期末考试试卷(含答案) 人教

黄冈中学

湖北省 2008春季高一数学期末考试试题（理）

鄂南高中

命题：张科元 审稿：王宪生 校对：胡华川

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．若sin??????A．第一象限 [提示]：

4???3,sin?????，则?角的终边在（ D ） 5?2?5B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

sin???43?0,cos???0，∴?角的终边在第四象限． 552．若a?(1,2)，b?(4,k)，c?0，则(a?b)c? （ B ） A．0

B．0

C．4?2k

D．8?k

[提示]：

(a?b)c?0．

3．已知a,b为非零实数，且a?b，则下列不等式一定成立的是（ D ） A．a?b B．

2211? C．|a|?|b| D．2a?2b abx[提示]：不知a,b的正负，A ，B ，C都不能确定，而函数y?2单调递增．

4．若向量a与b不共线，a?b?0，且c?a?A．

(a?a)b，则向量a与c的夹角为（ A ） a?bπ 3 D．0

π 2B．

π 6 C．

?(a?a)b?a??a??a?ba?c???a?a?a?a?0．

[提示]：设向量a与c的夹角为?，cos?? ?|a|?|c||a|?|c||a|?|c|5．若a?0,b?0,且a?b?2，则下列不等式一定成立的是（D）

A．ab?122222 B．ab? C．a?b?2 D．a?b?2

22[提示]：

a?ba2?b222，∴a?b?2． ab??22

6．函数y?2sin?xcos?x (??0)的最小正周期为?，则函数f(x)?2sin(?x?一个单调增区间是（C） A．[?，]

?2)的

??22 B．[，??

?2 C．[?，] D．[0，]

??2?2

[提示]：y?2sin?xcos?x?sin2?x,(??0)．∴??1,f(x)?2sin(x?在[?，]上单调递增．

7．已知函数f(x)?tan(2x?b?)的图象的一个对称中心为(解析式为（D） A．tan(2x?C．tan(2x??2)?2cosx，

??2?3,0)，若|b|?1，则f(x)的 2??) B．tan(2x?) 36?)或tan(2x?) D．tan(2x?)或tan(2x?) 6363?k?2k111,∴b??，(k?Z)，又|b|?，∴k?1,2，b??或．[提示]：2??b??

32322368．已知偶函数f(x)满足：f(x)?f(x?2)，且当x?[0,1]时，f(x)?sinx，其图象与

???1在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P22A．2 B．4 C．8

直线y?，则PP?P13P24D．16

等于（ B ）

[提示]：依题意P1,P2,P3,P4四点共线，PP1与P3，P2与P4的横坐标都13与P2P4同向，且P相差一个周期，所以|PP13|?2，|P2P4|?2，PP13?P2P4?|PP13||P2P4|?4．

9．设m,x?R,M?x?2mx?2m,N?x?2，则M,N的大小关系为 （ A ） A．M?N B．M?N C．M?N D．M?N [提示]：

22M?N?x2?(2m?1)x?2m2?2，??(2m?1)2?4(2m2?2)?

?(2m?1)2?6?0，所以当x?R时，M?N?x2?(2m?1)x?2m2?2?0．

10．设S是?ABC的面积，A,B,C的对边分别为a,b,c，且2SsinA?(BA?BC)sinB， 则 （A）

A．?ABC是钝角三角形 B．?ABC是锐角三角形 C．?ABC可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D．无法判断

[提示]：2SsinA?(BA?BC)sinB，∴2a?bcsinA?b?cacosB，∴sinA?cosB， ∴?B为锐角，sinA?cosB?sin(12?2?B)，若?A为钝角，且满足上式，则?ABC是钝

角三角形，若?A为锐角，则A??2?B,?A?B??2,C??2，?ABC是钝角三角形．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．在平行四边形ABCD中，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则AD?____. （用坐标表示） [提示]：

AB?DC?(2,4)，∴AD?AC?DC?(1,3)?(2,4)?(?1,?1)．

12．已知三点A(1,2),B(2,?1),C(2,2)， E,F为线段BC的三等分点，则AE?AF＝ 3． [提示]：

B(2,?1),C(2,2)，E,F为线段BC的三等分点，∴E(2,0),F(2,1)，

AE?(1,?2),AF?(1,?1)，∴AE?AF?1?2?3．

13．若函数f(x)?x (x?1)能用均值不等式求最大值，则需要补充a的2x?2(a?2)x?3a1_____. 3x1[提示]：2，x?1，该式能用均值不等式求最大值， ?3ax?2(a?2)x?3ax??2(a?2)x3a3a12?0,且x?则，∴3a?x?1,∴a?． xx314.已知关于x的方程sinx?cosx?a与tanx?cotx?a的解集都是空集，则实数a的取

取值范围是____a?值范围是____(?2,?2)[提示]：

(2,2)__．

a?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2,2]，又其解集为空集，∴a?(??,

4?a?tanx?cotx?2tanx?cotx?2，tnx0?时，ntx0?时，当a当a?2)(2,??)，

a?tanx?cotx??2，∴a?(??,?2][2,??，又其解集为空集，∴)a?(?2,2)，

a?(?2,?2)(2,2)．

b、c满足条件ab?bc?ca?1，给出下列不等式： 15．已知实数a、①ab?bc?ca?1；②

222222112222?23；③ (a?b?c)?2；④abc?abc?abc?； abc3其中一定成立的式子有__③④_______． [提示]：当a?b?c?32时排除①；a?2，b?3，c??1时排除②；而(a?b?c) 3?a2?b2?c2?2(ab?bc?ca)?3(ab?bc?ca)?3?2，∴③成立；(ab?bc?ca)2

?3[(ab)(bc)?(bc)(ca)?(ca)(ab)]?3(a2bc?ab2c?abc2)，∴④成立．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16．（本小题满分12分）解关于x的不等式：loga(x2?4x?3)?loga(?x?1),(a?0,且

a?1)．

[解答]：由x2?4x?3?0,?x?1?0，得x?1，所以依对数的性质有：

当a?1时，x2?4x?3??x?1,?x2?3x?2?0,?1?x?2，又x?1，此时不等式无解； 当0?a?1时，x2?4x?3??x?1,?x2?3x?2?0,?x?2或x?1，又x?1，?x?1，综上：当a?1时，不等式无解；当0?a?1时，不等式的解集为?x|x?1?． 17．（本小题满分12分）已知向量OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3?y)． （Ⅰ）若点A,B,C能构成三角形，求x,y满足的条件；

（Ⅱ）若?ABC为等腰直角三角形，且?B为直角，求x,y的值． [解答]：（Ⅰ） 若点A,B,C能构成三角形，则这三点不共线，

AB?(3,1),

∴x,y满足的条件为3y?x?1（若根据点A,B,CAC?(2?x,1?y), ∴3(1?y)?2?x，

能构成三角形，必须|AB|?|BC|?|AC|，相应给分）；

（Ⅱ）AB?(3,1),BC?(?x?1,?y)，若?B为直角，则AB?BC，∴3(?x?1)?y?0， 又|AB|?|BC|，∴(x?1)2?y2?10，再由y?3(?x?1)，解得??x?0?x??2或?．

?y??3?y?318．（本小题满分12分）若将函数f(x)?sinx的图象按向量a?(??,?3)平移后得到函数

g(x)的图象．

（Ⅰ）求函数g(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数F(x)?f(x)?1的最小值． g(x)[解答]：（Ⅰ）设P(x,y)是函数f(x)?sinx的图象上任意一点，按向量a?(??,?3)平移

''???x?x???x?x??后在函数g(x)的图象上的对应点为P(x,y)，则：?'，∴?，即 '???y?y?3?y?y?3'''y'?3?sin(x??)，所以函数g(x)??sinx?3；

（Ⅱ）

F(x)?f(x)?111?sinx??sinx?3??3，令t?sinx? g(x)sinx?3sinx?3113?[2,4]，而函数?(t)?t?在[2,4]上是增函数，所以当t?2时，?(t)min?2?，即

t21当sinx??1时，F(x)min??．

219．（本小题满分12分）在△ABC中，cosA?（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

3417，tanB?．

517[解答]：（Ⅰ）C?π?(A?B)，cosA?1417?tanA??tanC??tan(A?B)? ，41713?45??1．又0?C?π，?C?3π； ?1341??45（Ⅱ）

C?3????，?AB边最大，即AB?17．又tanA?tanB，A，B??0，?， 4???ABBC41717?，? sinA?．由得：sinCsinA1717?角A最小，BC边为最小边．cosA?BC?ABsinA?2，所以，最小边BC?2． sinC20．（本小题满分13分）“5?12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，

都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处，AB?10km，BC?5km，现要在该矩形的区域内（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y．

（Ⅰ）设?BAO??(rad)，将y表示为?的函数； （Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．

A

D P C

O B

[解答]：（Ⅰ）如图，延长PO交AB于点Q，由题设可知BQ?AQ?1AB?5，AO?BO，2PO?5?OQ，在Rt?ABC中，AO??y?AO?BO?PO??y?5,OQ?5tan?，cos?10??5?5tan?，又0???，cos?410??5tan??5,(0???)； cos?4102?sin?2?sin???5tan??5?5??5，令u?,0???，则 （Ⅱ）y?cos?cos?cos?4ucos??sin??2,?u2?1sin(???)?2,(tan??u)，?sin(???)?，当u?3时，???u?3或u??3（舍）2u?12?1，

?3,????[0,]，所以y最小，即医疗

64?站的位置O满足???6,AO?BO?10353km,PO?5?km，可使得三个乡镇到医疗33站的距离之和最短．

21. （本小题满分14分）已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. （Ⅰ）证明：不论x取何值总有bx?(b2?c2?a2)x?c2?0； （Ⅱ）证明：

22c?1a?b?1?；

a?b?c?12(a?b)?1111??.

a?b?c?1(c?1)(a?b?1)6222（Ⅲ）若c?2，证明：

222222[解答]：（Ⅰ）令y?bx?(b?c?a)x?c，由余弦定理b?c?a?2bccosA，

???(b2?c2?a2)2?4b2c2?4b2c2cos2A?4b2c2?4b2c2(cos2A?1)，在三角形中

cos2A?1，???0，再由b2?0得：不论x取何值总有b2x2?(b2?c2?a2)x?c2?0；

（Ⅱ）要证

c?1a?b?1?，即证[2(a?b)?1](c?1)?(a?b?1)(a?b?c?1)，

a?b?c?12(a?b)?122整理得：a?b?2ab?ac?bc?0，亦即证：(a?b)(a?b?c)?0，因为在三角形中

a?b?c,?a?b?c?0，所以(a?b)(a?b?c)?0成立，则原不等式成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

111?c?11? ?????a?b?c?1(c?1)(a?b?1)c?1?a?b?c?1a?b?1?

?t?1a?b?111?a?b?11?t?a?b? ，令，则?????2(a?b)?1a?b?12t?1c?1?2(a?b)?1a?b?1?1t2??t?12t2?3t?1即原不等式成立.

1?a?b?11?11111所以 ???，?2(a?b)?1a?b?1?c?1?2?6，31c?12??2?(?2)tt

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