2024届高三数学上册第一次联考试题2

河南省中原名校2019届高三上学期第一次联考 数学（文）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知全集U?R，集合（ ）

??x0?2x?1??，???xlog3x?0?，则??e???U?xx?1? B．?xx?0? C．?x0?x?1?

xx?0??D．

A．

2、下列有关命题的说法错误的是（ ）

22A．命题“若x?1?0，则x?1”的逆否命题为：“若x?1，则x?1?0” 2x?1xB．“”是“?3x?2?0”的充分不必要条件

C．若集合

??xkx2?4x?4?0??中只有一个元素，则k?1

22D．对于命题p:?x?R，使得x?x?1?0，则?p:?x?R，均有x?x?1?0 x??2?1,x?1f?x???2??f?0????4a，则实数a等于（ ）?x?ax,x?1，若f?3、已知函数

1A．9 B．2 C．2 4D．5

4、已知a?log0.80.9，b?log1.10.9，c?1.1，则a，b，c的大小关系为

0.9（ ）

A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c D．c?a?b

5、已知数列?an?为等比数列，满足a4?a7?2，a2?a9??8，则a1?a13的值为（ ）

A．7 B．17 C．

?172

17D．17或?2

6、在???C中，若点D满足?D?2DC，则?D?（ ）

1A．3?C?2523?? B．3???3?C C．2D．3?C?13??

7、已知函数

f?x??x2?x?1x2?1，若f?a??23，则f??a??（ 22A．3 B．?3 ?4D．3

8、函数

f?x??3xcos3x9x?1的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

9、已知sin???????34???5，则sin???2??等于（ ） 77A．

?25 B．25 23?C?13?? 4 C．3 9 C．25 ）

16D．25

13f?x??x2?lnx?22在其定义域内的一个子区间?a?1,a?1?10、已知函数

内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

?13???,?A．?22? B．?3?1,??D．?2?

?35???,??44? C．

?3??1,??2?

?b,a?b?1a?b???a,a?b?1，设11、对任意实数a，b定义运算“?”：

f?x???x2?1???4?x?，若函数y?f?x??k有三个零点，则k的取值范围

是（ ）

A．??2,1? B．?0,1? C．??2,0? D．??2,1?

?x??fx????112、设f?x?是定义在R上的函数，其导函数为f?x?，若f?，f?0??2016，则不等式

f?x??2015ex?1（其中e为自然对数的底数）的

解集为（ ）

A．???,0??0,??? B．?0,??? C．?2015,??? D．???,0??2015,???

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、求值：sin17cos13?sin73sin167? ．

1xxfe?3x?e?1??f?x?0,????214、设函数在内可导，且，则

f??1?? ．

15、已知点???1,1?，??1,2?，C??2,?1?，D?3,4?，则向量??在CD方向上的投影为 ．

?logax?a,x?1?f?x????a?2??x?2,x?1??3???16、若函数为R上的增函数，则实数a的取值

范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分10分）已知Sn是等差数列?an?的前n项和，且S6?8?，

a7?3a2．

???求数列?an?的通项公式；

????设bn?cosan，?n是数列?bn?的前n项和，求?2015的值．

1??f?x??lg?ax2?x?a?16?的值域?18、（本小题满分12分）设命题p:函数

xx为R；命题q:不等式3?9?a对一切x?R均成立．

???如果p是真命题，求实数a的取值范围；

????如果命题“p?q”为真命题，且“p?q”为假命题，求实数a的

取值范围．

3??a??sinx,?4?，b??cosx,?1?． 19、（本小题满分12分）已知向量????当a//b时，求cos2x?sin2x的值；

????设函数f?x??2?a?b??b，已知在???C中，内角?、?、C的对边

分别为a、b、c，若a?3，b?2，

sin???60?x?3时，3，求当

??g?x??f?x2????4cos???6?的取值范围． ?

20、（本小题满分12分）已知函数点的切线方程是2x?y?2?0．

f?x??1312x?x?mx?n32以?0,a?为切

???求实数m，n的值；

?3??,3?????若方程f?x??x?b在??2?上有两个不等实根，求实数b的取值范

2围．

21、（本小题满分12分）已知函数

f?x??lnx?1?axx．

???若函数f?x?在?1,???上是单调函数，求实数a的取值范围；

????已知函数

f?x1??g?x2?g?x??x?1x，对于任意x1??1,e?，总存在x2??1,e?，使得

成立，求正实数a的取值范围．

22、（本小题满分12分）已知函数

f?x??a3lnx?12x??a?a2?x2（a?R），

g?x??3x2lnx?2x2?x．

???判断g?x?在区间?2,4?上单调性；

????若a?2，函数f?x?在区间?2,4?上的最大值为G?a?，求G?a?的解析

式，并判断G?a?是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：

0.69?ln2?0.7）．

河南省中原名校2019届高三上学期第一次联考 数学（文）试题参考答案 1．【答案】D

?，CUB??x|x?1?，所以【解析】根据题意可知，A??x|x?0?,B??x|x?1A?(CUB)??x|x?0?，故选D．

考点：集合的运算． 2.【答案】C

【解析】因为命题“若p,则q”的逆否命题为：“若?q,则?p”，所以

2（A）对；因为x?1?x?3x?2?0，所以充分性成立，又

x2?3x?2?0?x?1或x?2，所以必要性不成立，即“x?1 ”是

2x“?3x?2?0”的充分不必要条件，（B）对；k?0也符合题意，故

（C）错；因为命题p:?x?R使得q的否定为?p:?x?R均有?q，因此（D）对．

考点： 1．四种命题关系；2．充分必要条件3．方程的根． 3. 【答案】B

【解析】f(f(0))?f(2)?4?2a?4a ∴a?2 考点：分段函数 4. 【答案】C

【解析】0?log0.81?a?log0.80.9?log0.80.8?1，b?log1.10.9?log1.11?0，

c?1.10.9?1.10?1，所以b?a?c 故选C

考点：1.指、对函数的性质；2.比较大小 5. 【答案】D

【解析】∵a4?a7?2,a2?a9??8 ∴a4?a7?2,a4?a7??8 所以当

?a4??2??a7?4或

?a4?4??a7??2

?a4?4??a7??2?a4??2??a7?4时，a1?a13?17；当

时，

a1?a13??172，故选D。

考点：等比数列的性质和基本量的运算 6. 【答案】D 【解析】由

AD?BD?2DC得D

AD?AB?2AC?AD 所以

3AD?2AC?AB即

21AC?AB33，所以选

考点：1.平面向量的运算 7．【答案】C

xx2?x?1xf?x?1?f?x???1???222x?1， x?1x?1【解析】∵，∴

f?a??23，

∴f（x）+f（﹣x）=2；∵∴f（﹣a）=2﹣f（a）=考点：1．函数奇偶性 8．【答案】D

2?24?33．

【解析】函数的定义域为?x|x?0?， 因为

3xcos3xf(x)?9x?1，所以

3?xcos(?3x)3xcos3xf(?x)????f(x)9?x?11?9x

y?0，∴f?x?为奇函数 所以排除A；当x从大于0的方向接近0时，

排除B；当x无限接近??时，y接近于0，故选D。 考点：1.函数奇偶性；2.函数图象.

9【答案】A 【

解

?2)?2sin2(??析

?37)?1?2?()2?1??4525故选

】A

sin(??2?)??sin2???cos(2??考点：1.三角函数倍角公式；2.化简求值 10．【答案】D 【解析】因为函数所以

13f(x)?x2?lnx?（a?1,a?1)上不单调， 22在区间

14x2?1f?(x)?2x??（a?1,a?1)上有零点， 2x2x在

由

?a?1?0?13?1x?1?a?a?1??a?1f?(x)?0得2?2，则?2所以

，故选D.

考点：1．导数的求导法则；2．函数导数与单调性之间的关系 11. 【答案】A

22x?1?(4?x)?1xx?3x?1【解析】当时，或；当?1?(4?x)?1时，

3?x?1

?x?4,x?3或x?1f(x)??2?x?1,1?x?3 f(x)的图象如图所∴

示：

若函数y?f(x)?k有三个零点可转化为y?f(x)与y??k有三个不同交点，由图可知?1??k?2，所以?2?k?1。故选A 考点：1.函数的零点；2.新概念 12. 【答案】B

【解析】构造函数

F(x)?f(x)?1ex，则

f?(x)ex?(f(x)?1)exf?(x)?f(x)?1f(x)?1F?(x)??F(x)?(ex)2exex>0，故知函数在

f(x)?1f(0)?1??2015x0F(x)?F(0)eeR上是增函数，所以，即 ，

xf(x)?2015e?1 所以

故x的取值范围是(0,??)；故选B．

113. 【答案】2

【解析

12

】

sin17?cos13??sin73?sin167??cos73?cos13??sin73?sin13??cos60??714. 【答案】2

【解析】令t?e，则x?lnt

13117f(t)?3lnt?t?1f?(t)??f?(1)?3??2t2 ∴22 ∴ 所以

x3215．【答案】2

【解析】

易得AB?(2,1),CD?(5,5)，则向量AB在CD方向上的投影为

ABcos??AB?CD|CD|?1552?32232 ，故答案为2

考点：1.向量的坐标运算；2.投影的求法 16．【答案】3?a?6

【解析】由分段函数

?logax?a，x?1?f(x)??a(2?)x?2，x?1?3?为R

上的增函数，得

??a?1??a?2??0?a?1?3??a?6a?(2?)?1?2?a??3?即?3?a，所以3?a?6

考点：分段函数的单调性．

17．解：（Ⅰ）∵数列?an?是等差数列，∴由S6?8?，a7?3a2得

8??2a?5d??13???a1?6d?3a1?3d

??a???12?n??d??a????3 ∴n36……………………………………5分 ∴?n?bn?cos（??)36 （Ⅱ）数列?bn?的通项公式为

∴数列?bn?为周期为6的周期数列，且前6项分别为b1?b4?0，

b2?b3??33b5?b6?2，2

∴T6?0 所

T2015?T2016?b2016?336T6?以

33??22 ……………………………………

10分

考点：1．等差数列的基本运算；2．周期性；3.数列求和

18．解：（Ⅰ）若命题p为真命题，则有⑴当a?0时，符合题意；┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分

?a?0??a?01?1?4a?a?0??16⑵?，即??2?a?2 ∴0?a?2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄

┄┄4分

∴所求实数a的取值范围为0?a?2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分

（Ⅱ）若命题q 为真命题，则┄7分

“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，即p，q一真一假 ┄┄┄┄┄┄8分

?0?a?2??11a??0?a??4；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（1）若p真，q假，则?43x?9x?a?a?14；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

?a?0或a?2??1a???a?2；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（2）若p假，q真，则?4┄┄11分

综上，得实数a的取值范围为┄┄┄┄ 12分

考点：1、命题；2、逻辑连结词；3、集合的运算． 19. 解：（1）∵a//b ∴

tanx??34……………………2分

3cosx?sinx?040?a?14或a?2。 ┄┄┄┄┄┄┄┄

∴

cos2x?2sinxcosx1?2tanxcosx?sin2x?sin2x?cos2x=1?tan2x…………………………4分

2

?85…………………………………………5分

(2) f(x)?2(a?b)?b=

（2sinx?cosx)?cosx?112sinxcosx?2cos2x?2=2

?2sin(2x??4)?32………………………………7分

3b2??sinAsinB26sinA?2 3，可得由正弦定理得

∴

A??4或

A?3?4 A??4……………………………………10分

∵b?a ∴所以因为

g(x)?f(x)?4cos(2A??6=

)2sin(2x??4)?12

0?x???3， 所以4?2x??4?11?12…………………………11分

3?11?1?2sin(2x?)??2?422 ∴231?1?g(x)?2?2…………………………………………12分 即2f(x)?1312x?x?mx?n32， 20. 解：（Ⅰ）∵2∴f(x)的定义域是(??,??)，且f?(x)?x?x?m．

在切线方程2x?y?2?0中，令x?0，得y?2，即a?2． ∴n?f(0)?2．

∵切线斜率为f?(0)??2，

∴m??2．…………………………………………4分

11f(x)?x3?x2?2x?232（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 3[?,3]2f(x)?x?b2所以方程在上有两个不等实根可化为方程1312x?x?2x?2?b32在

3[?,3]2上有两个不等实

根…………………………………………………………5分 令

g(x)?1312x?x?2x?232

23x?[?,3]2………………………………6∴g?(x)?x?x?2?(x?2)(x?1)，

分

当x变化时，函数f(x)、f?(x)变化情况如下表：

x ?32 3(?,?1)2 ?1 (?1,2) 2 (2,3) 3 g(3) g?(x) g(x) 3g(?)2 + ↗ 0 极大— ↘ 0 极小+ ↗ 值 值 193131311g(x)极大值?g(?1)?g(?)??(?)3??(?)2?5?6； 4；所以23222g(x)极小值?g(2)??43；

g(3)?12…………………………………………………………9分

313123x?x?2x?2?b[?,3]g(?)2又2>g(3)所以方程3在2上有两个不等实根

111941?b???b?6或32…………………………………………11分 则43[?,3]故方程f(x)?x?b在2上有两个不等实根时，实数b的取值范围

2111941?b???b?6或32．………………12分 为4考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数图象；4.函数与方程 21

．

解

：（

Ⅰ

）

11ax2?x?1f?(x)??2?a?xxx2，

x?[1,??)…………………………1分

∵函数f(x)在[1,??)上是单调函数 ∴f?(x)?0或f?(x)?0对任意

x?[1,??)恒成立

22即ax?x?1?0或ax?x?1?0对任意x?[1,??)恒成立

∴

a?11?2xx或

a?11?2xx对任意

x?[1,??)恒成

立……………………………………3分 令所

?t?111h(t)?t2?t?(t?)2?x，x?[1,??) ∴t?(0,1] 设24

以

1?h(t)?04 ………………………………………………………………

…………5分

所以满足条件的实数a的取值范围为a?0或

a??14。……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a?0时，函数f(x)在[1,e]上为增函数， 故

1?a?f(x)?1?ae?f(1)?f(x)?f(e) 即

1e………………………………………………7分

1x2?1g?(x)?1?2?xx2 ∴当x?[1,e]时，g?(x)?0 ∵

所以函数g(x)在[1,e]上是单调递增函数 ∴

g(1)?g(x)?g(e) 即

2?g(x)?e?1e………………………………………………9分

对于任意x1?[1,e]，总存在x2?[1,e]，使得f(x1)?g(x2)成立， 可

知

af(x1)m?g(x2)m． …………………………………………………

………………10分 所

a?1?以

1?ae?11?e?ee，即

1e……………………………………………………………11分分

故所求正实数

a的取值范围为

0?a?1?1e。………………………………………………12分

考点：1．函数的导函数；2．函数应用；3．恒成立问题．

22g(x)?3xlnx?2x?x， 22．解：（Ⅰ）∵

∴g?(x)?6xlnx?x?1，……………………………………………………1分

设h(x)?6xlnx?x?1，则h?(x)?6lnx?5，

∴当2?x?4时，h?(x)?0，∴h(x)在区间(2,4)上单调递增． ∵h(2)?3(4ln2?1)?0， ∴当2?x?4时，h(x)?h(2)?0．

∴g(x)在区间[2,4]上单调递增．…………………………………………4分 （Ⅱ）∵f(x)?a3lnx?12x?(a?a2)x2（a?R），

a32f?(x)??x?(a?a)x，∴f(x)的定义域是(0,??)，且

(x?a)x(?a2f?(x)?x2即

)．……5分

∵a≥2，∴a?a，

当x变化时，f(x)、f?(x)变化情况如下表：

x (0,a)?f?(x) 0 a(a,a2)? a2 0 (a2,??)? f(x)↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 2∴当2?a?4时，a?4，f?x?在区间[2,4]上的最大值是

1f?a??a3lna?a3?a22．

32f(4)?2aln2?4a?4a?8． f(x)[2,4]a?4当时，在区间上的最大值为12?33?alna?a?a(2?a?4),G(a)??232?2aln2?4a?4a?8(a?4).………………………………8分 ?即

22?G(a)?3alna?2a?a． 2?a?4（1）当时，由（Ⅰ）知，G?(a)在(2,4)上单调递增．

又G?(2)?2(6ln2?5)?0，G?(4)?12(8ln2?3)?0， ∴存在唯一a0?(2,4)，使得G?(a0)?0，且当2?a?a0时，G?(a)?0，G(a)单调递减，当a0?a?4时G?a??0，G(a)单调递增．

?∴当2?a?4时，G(a)有最小值G(a0)．………………………………10分

（2）当a?4时，G?(a)?6a2ln2?8a?4?6ln2(a?228)??43ln23ln2， ∴G?(a)在(4,??)单调递增． 又G?(4)?12(8ln2?3)?0，

∴当a?4时，G?(a)?0． ∴G(a)在(4,??)上单调递增． 综合（1）（2）及G(a)解析式可知，G(a)有最小值，没有最大值．………………12分

考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.分段函数的单调性与最值；3.分类讨论.

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