2024年中考数学精品专题8一元二次方程

2018年中考数学备考精品 考点八：一元二次方程

聚焦考点☆温习理解 一、一元二次方程及有关概念

1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.学+科网

2. 一般形式:ax+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.

3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.

【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.

4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 二、一元二次方程的解法：

解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解. 直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法. 三、一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)b－4ac＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)b－4ac＝0?方程有两个的实数根； (3)b－4ac＜0?方程没有实数根． 四、一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝?2

222

2

2

2

bc，x1x2＝． aa五、一元二次方程的应用

1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验

答五步.

2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容： (1)增长率等量关系: A.增长率＝

增长量×100%；

基础量[来源:学科网ZXXK]

n

B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)=b. (2)利润等量关系:

[来源:Zxxk.Com]n

A.利润＝售价-成本； B.利润率＝利润成本×100%. (3)面积问题

名师点睛☆典例分类 考点典例一、解一元二次方程

【例1】（2017江苏省句容市初中崇明片合作共同体月考）解下列方程：（有指定方法必须用指定方法）

22（1）2x?3x?1?0（配方法）；（2）3x?4x?1?0（公式法）

（3）?x?3??4x?x?3??0．（4）?x?3??x?4??8．

2【答案】（1）x1=1，x2=

132?72?7；（2）x1=, x2=；（3）x1=3，x2=；（4）x1=-5，x2=4.2533[来源:Z.xx.k.Com]

【解析】试题分析：（1）利用配方法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可；

（4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可.

2试题解析：（1）2x?3x?1?0，

2x2?3x??1，

x2?231x??， 222231?3??3?x?x????????，

22?4??4?

3?1?， x????416??31??， 441∴x1=1，x2=；

2x?2

（3）?x?3??4x?x?3??0， （x-3）(x-3+4x)=0， x-3=0或5x-3=0， ∴x1=3，x2=

23； 5（4）?x?3??x?4??8， 整理得：x+x-20=0， （x+5）（x-4）=0， x+5=0或x-4=0 ， ∴x1=-5，x2=4. 考点：解一元二次方程.

【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法. （1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解; （2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;

[来源:学科网ZXXK]2

（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解. 【举一反三】

1. （2017天津市宁河区联考）方程2x（x-3）=7（3-x）的根是（ ）

A. x=3 B. x=

777 C. x1=3，x2= D. x1=3，x2=- 2222. （2017山东德州第15题）方程3x(x-1)=2(x-1)的根是

考点典例二、配方法

【例2】用配方法把代数式3x－2x－2化为a(x＋m)＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大． 【答案】证明见解析；【解析】

2

2

37，-. 48327327）-，再根据非负数的性质得到-2（x-）-＜0，484832

即不论x取何值，3x-2x-2的值总是负数，易得当x=时，这个代数式的值最大．

4试题分析：先利用配方法得到3x-2x-2=-2（x-2

试题解析：3x-2x-2 =-2x+3x-2

2

2

3x）-2 29923=-2（x-x+-）-2 21616327=-2（x-）-，

4832

∵（x-）≥0，

432

∴-2（x-）≤0，

4327∴-2（x-）-＜0，

48=-2（x-2

∴不论x取何值，3x-2x-2的值总是负数， 且当x=

2

37时，这个代数式的值最大，最大值为-． 48考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别． 【举一反三】

（2017山东省临沂市郯城县五校联考）用配方法解下列方程，配方正确的是（ ）

A. 2y﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）=4 B. x﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）=8 C. x+8x﹣9=0可化为（x+4）=16 D. x﹣4x=0可化为（x﹣2）=4

2

2

2

2

2

2

2

2

考点典例三、一元二次方程根的判别式

【例3】（2017贵州遵义第9题）关于x的一元二次方程x+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A．m≤

2

9 4B．m<

94 C．m≤ 49D．m<

4 9【答案】B. 【解析】

试题分析：根据题意得△=3﹣4m＞0， 解得m＜

2

9． 4故选B．学+科网 考点：根的判别式．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 【举一反三】

1. （2017湖南常德第3题）一元二次方程3x?4x?1?0的根的情况为（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根 2. （2017江苏省镇江市质量调研）已知关于x的方程

没有实数解，则实数m的取值范围是____．

22

2

考点典例四、一元二次方程根与系数的关系

22【例4】（2017青海西宁第15题）若x1,x2是一元二次方程x?3x?5?0的两个根，则x1的值是． x2?x1x22【答案】15 【解析】

试题分析：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根， ∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，

∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15. 考点： 根与系数的关系．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-2

bc，x1?x2= aa【举一反三】

1.（2017内蒙古呼和浩特第5题）关于x的一元二次方程x2?(a2?2a)x?a?1?0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ） A．2

B．0

C．1

2

D．2或0

2

2

2. （2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模）若方程x﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则ab+ab的值为___．

考点典例五、一元二次方程的应用

【例5】（2017辽宁营口大石桥中考数学模拟）为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某市钢铁生产量为9700万吨，计划到2015年钢铁生产量设定为5000万吨，设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 9700（1﹣2x）=5000 B. 5000（1+x）=9700 C. 5000（1﹣2x）=9700 D. 9700（1﹣x）=5000 【答案】D

【解析】分析：本题考查的是一元二次方程的应用中的平均降低率.

解析：设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，根据题意得 ，9700（1﹣x）=5000. 故选D.

考点：一元二次方程的应用.

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据“2015年钢铁生产量=2013年钢铁生产量×（1+年平均增长率）”得出方程是解题关键． 【举一反三】

1. （2017四川宜宾第14题）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．学￥科网

2. （2017广东省中山市教研基地学校学业水平考试）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．

（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？

2

2

22

（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？

课时作业☆能力提升 221. （2017山东烟台第10题）若x1,x2是方程x?2mx?m?m?1?0的两个根，且x1?x2?1?x1x2，

则m的值为（ ）

A．?1或2 B．1或?2 C.?2 D．1 2.（2017天津市红桥区九年级数学 中考预测）y=根的情况为（ ）

A. 没有实数根 B. 有一个实数根

C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

3.a，b，c为常数，且（a-c）>a+c，则关于x的方程ax+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根

B．有两个不相等的实数根

D．有一根为0

22

2

2

2

x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx+2x+1=0

2

C．无实数根

4.（2017湖北咸宁第6题）已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于x的方程ax?bx?c?0根的情况是（）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D．无法判断 5.（2017浙江嘉兴第8题）用配方法解方程x?2x?1?0时，配方结果正确的是（ ） A．(x?2)2?2

B．(x?1)2?2

C．(x?2)2?3

D．(x?1)2?3

的两个实

26．（2017届四川省眉山市华兴联谊学校初中中考适应性考试）设x1，x2是方程数根，则

( ) .

A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019 7. （2017贵州六盘水第12题）三角形的两边的长是( ) A.

B.

2的夹角为且满足方程，则第三边长

C. D.

8. （2017黑龙江齐齐哈尔第6题）若关于x的方程kx?3x?9?0有实数根，则实数k的取值范围是（ ） 4

A．k?0 B．k??1或k?0 C．k??1 D．k??1

9.（2017辽宁大连第13题）关于x的方程x?2x?c?0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为． 10.（2017湖南张家界第12题）已知一元二次方程x?3x?4?0的两根是m，n，则m?n=． 11. （2017安徽省淮南市潘集区九年级上学期第一次联考）方程x+3x+1=0的解是x1=______,x2=______． 12. （2017苏科版南京栖霞区期末模拟）如果

2

2222121－－8=0，则的值是________． x2xx2

13. （2018届江苏省灌云县西片九年级上学期第二次月考）已知关于x的方程 x﹣2x+k=0. （1）若原方程有实数根，求k的取值范围？

（2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程．

14. （2017湖北孝感第21题） 已知关于x的一元二次方程x?6x?m?4?0有两个实数根x1,x2 . （1）求m的取值范围；

（2）若x1,x2满足3x1?x2?2，求m的值.

15. （2017山东烟台第21题）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.

（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案：

2

试问去哪个商场购买足球更优惠？

16. （2017黑龙江绥化第24题）已知关于x的一元二次方程x?(2m?1)x?m?4?0． （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．

17.（2017浙江衢州第20题）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如

22

图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）；

（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几（精确到1%）？

[来源:Z+xx+k.Com]

（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率（精确到1%）。

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