实数完备性的证明及其应用

实数完备性的证明及其应用

摘要

一、实数完备性定理 1、闭区间套定理

如果{[an,bn]}形成一个闭区间套，即满足(i)[an,bn]?[an?1,bn?1],n?N，

(ii)lim(an,bn)=0，则存在惟一的实数?属于所有的闭区间[an,bn]，且

n???=liman?limbn。

n??n??2、聚点定理（又称维尔斯特拉斯聚点定理） 如果S为有界无限点集，则S必有聚点。 3、柯西收敛准则

数列{xn}收敛的充分必要条件是：{xn}是基本数列，即{xn}满足：对于任意给定的??0，存在正整数N，使得当n,m?N时成立xn?xm??。 4、单调有界定理

单调递增（减）有上（下）界数列必有极限。 5、有限覆盖定理

闭区间[a,b]的任意开覆盖H都含有一个有限子覆盖，即H中可找出有限个开集覆盖[a,b]。

6、确界存在定理

非空有上界的数集必有上确界；非空有下届的数集必有下确界。 二、实数完备性基本定理的证明

1、由闭区间套定理出发，推其余五个定理 1）闭区间套定理?聚点定理

证 设数列{xn}有界，于是存在实数a1,b1，成立a1?xn?b1,n?1,2,3,? 将闭区间[a1,b1]等分为两个小区间[a1,a1?b1a?b]与[11,b1]，则其中至少有一个含22有数列{xn}中的无穷多项，把它记为[a2,b2]。再将闭区间[a2,b2]等分为两个小区间[a2,a2?b2a?b]与[22,b2]，同样其中至少有一个含有数列{xn}中的无穷多项，22把它记为[a3,b3]??这样的步骤可以一直做下，于是得到一个闭区间套

{[ak,bk]}，其中每一个区间套[ak,bk]中都含有数列{xn}中的无穷多项。 根据区间套定理，存在实数?，满足?=limak?limbk。

k??k??现在证明数列{xn}必有一子列收敛于实数?。首先在[a1,b1]中选取{xn}中某一项，记它为xn1。然后，因为在[a2,b2]中含有{xn}中无穷多项，可以选取位于xn1后的某一项，记它为xn2，n2?n1。继续这样做下去，在选取xk?[ak,bk]后，因为在

[ak?1,bk?1]中仍含有{xn}中无穷多项，可以选取位于xnk后的某一项，记它为xnk?1，这样就得到了数列{xn}的一个子列{xnk}，满足ak?xnk?bk,k?1,2,3,?。 nk?1?nk。

由limak?limbk??，利用极限的夹逼性，得到limxnk??。

k??k??k??2）闭区间套定理?柯西收敛准则

3）闭区间套定理?单调有界定理 4）闭区间套定理?有限覆盖定理 5）闭区间套定理?确界存在定理 设S是非空有上界的实数集合，又设T是有S的所有上界所组成的集合，现正T含有最小数，即S有上确界。

取a1?T,b1?T，显然a1?b1。现按下述的规则一次构造一列闭区间：

a1?b1a1?b1a2?b2a2?b2??[a,],若?T，[a,],若?T，2???12?222[a2,b2]??[a3,b3]??由此得到

a?ba?ba?ba?b?[11,b],若11?T；?[22,b],若22?T；12???22?22一个闭区间套{[an,bn]}，满足an?T,bn?T,n?1,2,3,?。

由闭区间套定理，存在惟一的实数?属于所有的闭区间[an,bn]，且

liman?limbn??。

n??n??现在只需说明?是集合T的最小数，也就是集合S的上确界。

若??T，即?不是集合S的上界，则存在x?T，使得??x。由limbn??，可

n??知当n充分大时，成立bn?x，这就与bn?T发生矛盾，所以??T。

若存在??T，使得??x，则由liman??，可知当n充分大时，成立??an。由

n??于an?T，于是存在y?S，使得??an?y，这样就与??T发生矛盾。从而得出

?是集合S的上确界的结论。

2、由聚点定理出发，推其余五个定理 1）聚点定理?闭区间套定理 证 设S是由[an,bn]的一切端点所组成的点集。由条件(n?1,2,??3,)n(i)[an,bn]?[an?1,bn?1],n?N可得a1???na??1an?bna??nb????nb??1和b又an?bn?0(n??因而S是一有界的无穷点集。(n?1,2,3??)，)，

根据聚点定理，则S至少有一个聚点。

先证S的聚点?具有如下性质：?点的右边没有[an,bn]的左端点an；?点的左边没有[an,bn]的右端点bn。

事实上，假定?点的右边有某一个左端点aN，则又{an}的单调递增性知：当n?N时，aN?an，即在aN的左边至多只有有限个左端点，从而至多只有S中的有限个点。这显然与?时S的聚点发生矛盾。所以?点的右边没有[an,bn]的左端点。同理，?点的左边没有[an,bn]的右端点。

根据这个性质得到：凡S的聚点?，必有??[an,bn](n?1,2,3??)。 其次证明S的聚点是惟一的：假定S有两个聚点?与?'，不妨设???'。根据上述性质知：an????'?bn(n?1,2,3,4??)

于是bn?an??'??，当n??时，bn?an不趋于零。这与闭区间套的性质发生矛盾。所以S的聚点是惟一的。

最后证明：属于一切区间[an,bn]的点是惟一的：

设有??属于[an,bn]的一切区间。因为n??时，bn?an?0，所以对???0，必有充分打的N存在，当n?N时，[an,bn]?U(??,?)，从而U(??,?)包含有S的无穷多个点。这就是说。而S的聚点是惟一的。所以一切区间[an,bn]??是S的聚点。的点是惟一的。

2）聚点定理?柯西收敛准则

证 先证必要性。设收敛于a，按照定义，

???0,?N,?n,m?N:xn?a??2,xm?a??2，于是xm?xn?xm?a?xn?a??。

再证充分性。

先证明基本数列必定有界。取?0?1，因为{xn}是基本数列，所以

?N0,?n?N:xn?xN0?1?1。

令M?maxx1,x2,?xN0,xN0?1?1,则对一切n，成立xn?M。 由聚点定理，在?xn?中必有收敛子列：limxnk??。

k????因为?xn?是基本数列，所以???0,?N,?n,m?N:xn?xm?3）聚点定理?单调有界定理

证 只就单调增有界的情况进行证明。

设道?an?是单调增有界的数列，即存在M?0，使得

?2。

?M?an?M(n?1,2,3,4??)且an?an?1(n?1,2,3,4??)

如果?an?是常数数列，极限显然存在，定理立即得证。如果?an?不是常数数列，那么由点an(n?1,2,3,4??)所组成的集合(仍用?an?表示)是一有界的无穷点

集。根据聚点原理知?an?至少有一个聚点。 先证?an?的聚点是唯一的：

假定?an?有两个聚点?1与?2，设?1??2，依聚点定义，对于0???1(?2??1)，在2领域U(?1,?)与邻域U(?2,?)内必都有?an?中的无穷多个点。设某一，由?an?单调性知：当a?N时，总有aN?an，这就是说，在aN??an???(?2,?)点aN的左边至多只有?an?中的有限多个点。从而U(?1,?)??an?至多只有有限多个点。这与?1是?an?的聚点相矛盾。所以?an?的聚点是惟一的。记这个聚点为?。 再证：?的任意??0邻域U(?,?)之外，最多只有?an?的有限多个点： 假如不然，根据聚点原理，?an?又有异于?的聚点，这与?an?的聚点是唯一的结论相矛盾。 最后证：liman??

n??因为对任意??0，在U(?,?)内有?an?的无穷多个点，而在U(?,?)之外，至多只有?an?的有限多个点。故必存在N，使当n?N时，恒有an?U(?,?)即an????， 所以liman??。

n??4）聚点定理?有限覆盖定理 5）聚点定理?确界存在定理

证 只证明非空有上界数集的情况进行证明。

设设S=?xn?是非空有上界的数集。不妨假设S是无穷集合，(若S是有限集合，那么其中最大数就是它的上确界，定理显然成立)。又设M是E的一个上界。 如果M?S，或者M是S的聚点(如果S有聚点的话)，则M?supS，定理立即成立。因此，下面假设M?S且M不是S的聚点。 在E中任取一x0，总有x0?M，考虑区间[x0,M]： 或者[x0,M]上只有S的有限多个点，这时定理显然成立。

或者[x0,M]上有S的无穷多个点，那么，S在[x0,M]上的无穷多个点组成一有 界的无穷点集。根据聚点原理，S在[x0,M]上必有聚点。 (一)若S在[x0,M]上的聚点惟一，定理一定成立。

事实上，若这个唯一聚点是x0，任取一个x1?[x0,M]?S，则在[x0,M]上只能有S的有限多个点，(否则，S在[x0,M]上还有聚点。这与S在[x0,M]上的聚点惟一相矛盾)这时定理成立；若这个惟一聚点是[x0,M]的内点?，要么?点的右边没有S中的点，这时??supS，要么?点右边还有S中的点x2，那么在[x2,M]上只能有E的有限多个点，其中最大者就是supS。定理成立。 (二)若S在[x0,M]上的聚点不是唯一的：

我们先证明下列结论成立：在[x0,M]内总存在一点x，使得S在[x,M]上的聚点有且仅有一个。

假定这个结论不成立，那就是说对[x0,M]内的任意一点x，或者在[x,M]上总没有S的聚点；或者在[x,M]上总有S的多个聚点。如果前种情况发生，则根据

x?[x0,M]的任意性知[x0,M]内的任何内点都不是S的聚点(因为假定有

??[x0,M]是S的聚点，则总有x0?x'???M，于是[x',M]上就有S的聚点，

这与在[x0,M]内的任意一点x，[x,M]上总没有S的聚点相矛盾。)这与S在

[x0,M]上的聚点不是惟一的提前相矛盾；如果后种情况发生，根据x的任意性推知M必是S的聚点，这又与前面“M不是S的聚点”的假设相矛盾。所以，上述结论必成立。

既然在[x0,M]内总存在一点x，使得S在[x,M]上的聚点惟一，那么根据已经证明的(一)的结论，定理成立。

3、由柯西收敛准则出发，推其余五个定理 1）柯西收敛准则?闭区间套定理

证 设?[an,bn]?是一列闭区间，满足条件(i)[an,bn]?[an?1,bn?1],n?N，

(ii)lim(an,bn)=0，设m?n，则0?am?an?bn?an?0n??(n??)，所以数列

从而有liman=?，并由此得到limbn=lim(bn-an)+liman=?。?an?是一列基本数列，n??n??n??n??由于数列?an?单调增加，数列?bn?单调减少，可以知道?是属于所有闭区间

[an,bn]的惟一实数。

2）柯西收敛准则?聚点定理 3）柯西收敛准则?单调有界定理 4）柯西收敛准则?有限覆盖定理 5）柯西收敛准则?确界存在定理

4、由单调有界定理出发，推其余五个定理 1）单调有界定理?闭区间套定理

证 由条件(i)[an,bn]?[an?1,bn?1],n?N可得

a1???an?1?an?bn?bn?1???b1。显然{an}单调增加而有上界b1，{bn}单调减少而有下界a1，由单调有界定理可知{an}与{bn}都收敛。

[(bn?an)?an]?lim(bn?an)?liman??。由于?是设liman??，则limbn?limn??n??n??n??n??{an}所构成的数集的上确界，也是{bn}所构成的数集的下确界，于是有an???bn,n?1,2,3,?，即?属于所有闭区间[an,bn]。

若另有实数?'属于所有闭区间[an,bn]，则也有an??'?bn,n?1,2,3,?，令

n??，由极限的夹逼性得到?'?liman?limbn??，此即说明满足定理结论的

n??n??实数?是惟一的。

2）单调有界定理?聚点定理 3）单调有界定理?柯西收敛准则 4）单调有界定理?有限覆盖定理 5）单调有界定理?确界存在定理

5、由有限覆盖定理出发，推其余五个定理 1）有限覆盖定理?闭区间套定理 2）有限覆盖定理?聚点定理 3）有限覆盖定理?柯西收敛准则 4）有限覆盖定理?单调有界定理 5）有限覆盖定理?确界存在定理

6、由确界存在定理出发，推其余五个定理 1）确界存在定理?闭区间套定理 2）确界存在定理?聚点定理 3）确界存在定理?柯西收敛准则 4）确界存在定理?单调有界定理 5）确界存在定理?有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的应用

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