一元函数微积分重修班习题册

宁 波 大 红 鹰 学 院

一元函数微积分

习题册

班 级 学 号 姓 名 得 分

（一）极限与连续

一、选择题

1、下列命题正确的是（ ）

A、无穷小是很小的正数 B、无穷小是零 C、无限变小的变量是无穷小量 D、零是无穷小量 2、设f(x)??x，则limf(x)?（ ）

x?0xA、0 B、1 C、-1 D、不存在 3、当x?0时，下列函数为无穷小量的是（ ） A、

x?cosxsinx1 B、 C、xsinx D、x xx2?14、下列等式中成立的是（ ）

?1?A、lim?1??x???x?2x?2??e B、lim?1???e

x???x?x?1x?1??1?C、lim?1???e D、lim?1??x?0x???x??x?11??5、lim?xsin?sinx??（ ）

x??xx??x?e

A、0 B、1 C、2 D、不存在

2n?7n?（ ） 6、limnn??2?7n?1A、1 B、?1 C、7 D、∞ 7、lim?f(x)?A,x?x0x?x0?limf(x)?A，则在点处（ ）

A、一定有定义 B、一定有f(x0)?A C、一定有极限 D、一定连续 8、当x?0时，f(x)?sin?x是（ ）

A、无穷小量 B、无穷大量 C、无界变量 D、有界变量 9、下列各式中正确的是（ ）

2

xx?0 B、lim?1

x???sinxx?0sinxxsinx?1 D、lim?1 C、limx??sinxx??xA、lim10、下列极限存在的是（ ）

1xx2?1x2?1A、lim B、limx C、lim2 D、limex 2x?02?1x?0x??x?1x??x??1二、计算题

1、lim??1?x?1?x??x?0? ?x? ?

x?23、lim?2x?3?x????2x?1??

、lim(x?h)2?x25h?0h 6

x7、lim?x?x????x?1??

2、limx2?6x?8x?4x2?5x?4 4、limx??x??sin(??x) 、lim1?2?3?nn??n2

8、limx?0?1?3x?2x 3

9、limx?42?x3?2x?1 10、limx?0x?4?2

sin5x

x2?ax?b1?cosx?5，求a,b的值。 11、lim 12、已知limx?0xln(1?x)x?11?x

三、综合题

?x2?16?1、函数f(x)??x?4?a?

x?4x?4，a取什么值时，函数f(x)在???,???内连续？

?1?sin?x,x?02、设f(x)??x在点x?0处连续，求a的值.

?x?0?a,

4

?sinmx?2x?3、设f(x)??n?2x?3??x?0x?0 在x?0处连续，求m,n。 x?0

4、设清除污染费用c(x)与污染成分x%的之间的函数模型为 c(x)?（1） 求limc(x)

x?807300x

100?x（2） 求lim?c(x)

x?100（3） 当污染成分达到100%时，能否完全清除污染。

5、证明方程x4?3x?1?0至少有一个根在1和2之间。

5

（二）导数与微分

一、单项选择题

1、设函数y?f(x) 在点x0可导，则limf(x0?2?x)?f(x0)=（ ）

?x?x?0 A、f?(x0) B、?f?(x0) C、2f?(x0) D、?2f?(x0) 2、曲线y?2x2?3x?26上点M处的切线斜率是15，则点M的坐标是（ ） A、( 3 , 15 ) B、( 3 , 1 ) C、( – 3 , 15 ) D、( – 3 , 1 ) 3、曲线y?ex上点（0，1）处的切线方程为 ( )

A、y?x?1 B、y?x?1 C、y?x D、 y??x 4、设f(x) 在?a,b?内连续，且x0?(a,b)，则在点x0处（ ）

A、f(x)极限存在，且可导； B、f(x)的极限存在，但不一定可导； C、f(x)的极限不存在； D、f(x)的极限不一定存在。 5、设f(x)?3lnx，则f'(e)=（ ）

3e A、ln3 B、ln3 C、3eln3 D、eln3

e36、设f(x)?excosx，则f''(0)=（ ）

A、2 B、0 C、– 2 D、不存在

?1?x7、设f(x)??2??asinxx?0x?0 在x?0处可导，则a =（ ）

A、0 B、

1 C、1 D、2 28、若y?x2lnx，则y″=（ ）

A、2lnx B、2lnx?1 C、2lnx?2 D、2lnx?3 9、若函数y?f(x)在x0处可微，则下列结论不正确的是（ ）。 A、y?f(x)在x0处连续 B、y?f(x)在x0处可导 C、y?f(x)在x0处无定义 D、y?f(x)当x?x0时的极限存在

6

10、设y?cosnx，则dy?（ ）

A、?sinnxdx B、 nsinnxdx C、?nsinnx D、?nsinnxdx 二、计算下列各题

1．设y?3xsinx，求 y? 2．y?cosx?3dy，求

x

3．设 y?x2cos(5?4x)，求 y?

5．设 y?x2e5x，求 y'x?1

7．y?ln(5?3x)?ln10，求y?

9、y?5x?e3x，求y??

e?xdx 4．y?sin(3x2?5)，求dy 6．y?x?2xlnx，求y?

8．y?x2?10?x2，求dy|x?1 10、y?ln(1?x)，求y(n) 7

11． 在括号内填入适当的函数，使等式成立：

(1) d( )＝costdt (2) d( )＝sin2xdx (3) d( )＝(5) d( )＝(7) d( )＝

1dx (4) d( )＝e?2xdx； 1?x11dx dx (6) d( )＝2cosxx1dx (8) d( )＝5dx x12．试求曲线y?x2在x?2处的切线方程与法线方程。

13、设函数y?y(x)由方程xy?ex?ey?0所确定，试求y?x?0。

14、设函数y?y(x)由方程 ex?y?x?y2?1 确定，求

15、求曲线y3?y2?2x在点（1,1）处的切线方程。

16、求曲线y?xe?1在点?0,1?处的切线方程和法线方程。

xdydy 和 。 dxdxx?0

8

（三）导数与微分应用

一、选择题

?1、若f(x0)?0，则x0一定是（ ）

A、极大值点 B、极小值点 C、最大值点 D、不一定是极值点 2、函数y?(x?1)3在区间(?1,2)内（ ）

A、单调增加 B、单调减少 C、不增不减 D、有增有减 3、若两个函数f(x)，g(x)在区间?a,b?内各点的导数相等，则该二函数在区间

?a,b?内（ ）

A、不相等 B、相等 C、仅相差一个常数 D、均为常数 4、f'(x0)?0,f''(x0)?0是函数y?f(x)在点x?x0处有极值的一个（ ）

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件

?5、函数y?sin(x?)在x????,??上的极大值点x0?（ ）

2?A、? B、?? C、 D、0

26、下列极限中能使用洛必达法则的是（ ）

tan5xsinxx?sinxln(1?ex)A、lim B、lim C、lim D、lim ?sin3xx??x??x?sinxx???xxx?27、当x?x0时f'(x)?0；当x?x0时f'(x)?0，则x0必定为函数f(x)的（ ） A、驻点 B、极大值点 C、极小值点 D、以上都不对 8、函数f(x)有连续二阶导数且f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)??2，则limx?0f(x)?x?x2（ ）

A、不存在 B、0 C、-1 D、-2

?1?9、设f?(x)?(x?1)(2x?1)，x?(??,??)，则在?,1?内曲线f(x)（ ）。

?2?A、 单调增凹的 B、单调减凹的 C、单调增凸的 D、单调减凸

310、方程x?3x?1?0在区间(??,??)内（ ）。

A．无实根 B、有唯一实根 C、有两个实根 D、有三个实根

9

二、求下列极限

e5x?11?cosx1、lim 2、 lim

x?0sin2x

3、limx?sinxx?0x3

5、ex?xlim50???x2?3x

19、 limx(exx???1)

三、解答题

1、求下面函数的单调区间与极值(1)f(x)?2x3?6x2?18x?7

x?0x(ex?1)4、 limex?x?1x?0xsinx

6、ln(1?x2)xlim???2x?3

10、limex 1x?0(x?ex?1)

10

（2）f(x)?(x2?2x)ex

（3）y?x?ln(1?x)

x2（4）f(x)?

1?x

2、求曲线y =x－x的凹凸区间及曲线的拐点。

23

3、当a，b为何值时，点(1，3)为曲线y?ax3?bx2的拐点。

11

4、某工厂每天生产x台收音机的总成本为C(x)?12x?x?100（元），该种收音9机独家经营市场规律为：x?75?3P，其中P是收音机的单价（元），问每天生产多少台时，获利润最大？此时每台收音机的价格为多少元？

5、假设某中空窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径2r与矩形的一条边长相等。设窗子的周长为10。

（1）将窗子的面积S表示为半径r的函数。（2）当r为何值时，窗子的面积最大？

6、现要做一个容积为100立方厘米的圆柱形无盖容器，假设底面单位造价是侧面的两倍，问：容器底面半径和高各位多少时可使得造价最低。

12

（四）积分及应用

一、单项选择题

1、如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则（ ）

A、?F(x)dx?f(x)?C B、?F?(x)dx?f(x)?C C、?f(x)dx?F(x)?C D、?f?(x)dx?F(x)?C 2、[?f(x)dx]'?（ ）

A、f'(x) B、?f'(x)dx C、f(x)?C D、f(x) 3、?cos(1?2x)dx?（ ）

11A、?sin(1?2x)?C B、sin(1?2x)?C

22C、?sin(1?2x)?C D、sin(1?2x)?C 4、由定积分的几何意义知，定积分?1?x2dx?（ ）

?11?A、0 B、? C、1 D、

25、以下定积分其值为负数的是（ ）

?20A、?sinxdx B、?sinxdx C、?xdx D、??sinxdx

2??1300?26、下列各式正确的是（ ）

A、?x2dx??x4dx B、?lnxdx??ln2xdx

00111122C、?e?xdx??e?xdx D、4??(6x?x3)dx?42

00111227、设某产品总产量的变化率为P?P(t)，则从t?a时刻到t?b时刻的总产量P?（ ）

A、?P(t)dt B、?P(t)dt C、?P(t)dt D、?P(t)dt

00ababba?x28、设f(x)???x0?11x?0，则?f(x)dx（ ）

?1x?02 A、 ?xdx??xdx D、2?xdx B、2?xdx C、?xdx??xdx

121201000?10?1 13

dxxcostdt，则f(x)等于（ ） 9、若函数f(x)?dx?0A、xsinx B、xcosx C、sinx?xcosx D、0 10、

d22(1?t)dt?（ ） 3dx?x A、5 B、1?x6 C、?(1?x6) D、?3x2(1?x6) 二、计算下列积分

（1）?(x3?33?3)dx

（3）??0(2?3sinx)dx

（5）?xcos(x2?3)dx （7）?lnxxdx

（2）?(5cosx?5x)dx

（4）?2?0sinxdx

（6）?xx2?5dx （8）?x1?2x2dx 14

ln3x?3dx （10）?xsin3xdx （9）?x （11） ?10xexdx

（13）?cosxdx

?15、求?230(x?cosx)dx 17、求?e1lnxdx

（12）?x2cosxdx

（14）?41exdx

16、??0cosx(1?sin3x)dx 18、求?211x2sin1xdx

15

19、?edx 20、?0???x??e1dx xln2x 21、?

19、已知f(x)的原函数是

三、应用题

1、求由曲线y?x2与直线y?3x?2所围成图形的面积。

2、求由曲线y?x2与y?2x?x2所围成图形的面积。

sinx，求?xf?(x)dx。 x??0??1xdxdx 22、23?11?xx 16

3、求由曲线y?x2,x?2及y?0所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

4、设平面图形是由曲线y?1与直线x?1,x?2及x轴所围成。（1）求此平面图形的面积；x（2）求此平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

四、证明题

1a31、?xf(x)dx??xf(x)dx

030a53

2、?f(x)dx??f(a?b?x)dx

aabb

3、设函数f(x)在[0,1]上连续，若f(1)?a,f?(1)?3a,(a?0)并且试求证：

?10f(x)dx?0.

?10xf?(x)dx?a?10x2f??(x)dx?a

17

（五）微分方程

一、求解下列微分方程的通解

dy?3x 1、dx

2、y??2y?3

3、y??2y?x2． 4、y?? 5、

二、求方程xdy?2ydx?0,yx?2?1的特解。

三、求微分方程y??

xsinx?满足初始条件y(?)?1的特解． yxdy?2xy?4x dxy?x. x

18

模拟测试

一、单选题（每小题3分，共18分）

1、函数y?3?x?ln(x?1)的定义域是（ ）

A、(?1,3) B、[?1,3) C、 (?1,3] D、 (3,??) 2、lim?f(x)?A,x??x0x??x0?limf(x)?A，则f(x)在点x0处（ ）

A、一定有定义 B、一定有f(x0)?A C、一定有极限 D、一定连续 3、设f(x) 在?a,b?内连续，且x0?(a,b)，则在点x0处（ ）

A、f(x)极限存在，且可导 B、f(x)的极限存在，但不一定可导 C、f(x)的极限不存在 D、f(x)的极限不一定存在 4、设

?10f(x)dx?2, ?f(x)dx?5.2, 则 ?f(x)dx?（ ）

0331A、2 B、 ?3 C、3.2 D、?3.2 5、设函数f(x)的一个原函数为x，则f'(x)?（ ）

2x3x4A、2 B、2x C、 D、

31226、f(x)??0ln(t?1)dt，则f?(x)?（ ）

x2A、ln(x?1) B、ln(x?1) C、2xln(1?x) D、2xln(1?x)

4224二、填空题（每题3分，共12分）

1、设f(x)?cosx,则

??0f(x)dx? 。

322、如果点(1,3)为曲线y?ax?bx的拐点，则a? 。 3、设y?5，则y2x(n)? 。

34、设函数z?xy?2xy，则

?z? 。

?x(2,1)

19

三、计算题（每题6分，共54分。要有详细步骤）

e?11??lim1、lim?1?? 2、 2x5xx???6x?

3、设 y?cos(lnx)?x2e3x，求y?及dy。 5、?(lnx)3xdx 7、?41exdx

20

x?0sin3x4、方程y3?3yx?5x2?6，求dydx。6、?xcosxdx

x28、试求函数f(x)?的单调区间和极值。

1?x

9、求微分方程xy??y?ex的通解．

四、综合题（本大题共4个小题，限选2小题，每小题8分，共16分）

p1、设某商品在销售单价为p（元）时，每天的需求量为x?18?。某工厂每天生产该商

4品的成本函数为C(x)?120?2x?x2。现若工厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时，可使利润最大？这时价格为多少？

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2、做一个容积给定为V的无盖有底的圆柱形容器，问底面半径R为多少时，能使其表面积最小?

3、设平面图形是由曲线y?x与直线y?0,x?4所围成。

请求:（1）此平面图形的面积；

（2）此平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积；

4、若f''(x)在[0,?]上连续，f(0)?2,f(?)?1, 证明：

??0[f(x)?f''(x)]sinxdx?3.

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