2024年《数学建模》试题 解答要点及部分答案

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阅卷原则：以假设的合理性、建模的创新性、结果的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准.

说明：该套题目分为基本题目和分析题，其中分析题应在仔细分析和深入思考的基础上，发挥自己的创造能力，留下独立思考的痕迹.

这里给出的答题要点是教师个人的想法，鼓励同学们的其它正确合理的解答.

一.（基本题目）

（1）在一个密度为?的流质表面下深 h处的压强P=?gh（g是重力加速度），试检验此公式的量纲是否正确？

（2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为m的物体在外力F(t)的作用下，在 t时刻的位置x(t)满足以下方程：

md2xdt2dx?r?kx?F(t)，

dt其中r是阻尼系数，k是弹簧的弹性系数，试确定r, k的量纲.

解答（1）[p] =L—1MT—2, 公式量纲正确； （2）[ r]= MT—1, [k]= MT—2.

二. （分析题）

一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器

外链代发268seo.com ffgg www. 皿中有100个细菌，每隔5分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t时刻的细菌数量.

解答 关键语句：“仔细分析实际情况”

1．讲义p54的 模型 y?100exp(0.139)t,t?0 是理想化的结果，不合乎实际情况。

2. 结合实际情况可考虑以下因素：细菌的繁殖、死亡、营养、培养器皿的空间大小等. 3．做合理的假设，如：

*1 器皿中的营养足够细菌的繁殖需要；

*2 细菌个数是连续变化的，细菌的增加理解为自然繁殖个数减去自然死亡个数；

*3 培养器皿的空间所限，器皿中存活细菌个数有上限YM（类似于相对于人类生存的地球）。 4. 对理想化模型进行改进：

?100exp(0.139)t,0?t?tM;y(t)?? Y,t?t.?MM其中，有y(tM)?YM。256

注：针对对不同情况的考虑，可做出不同的假设，建立不同的模型.但应考虑马尔萨斯模型是否满足条件“有100个细菌，每隔5分钟细菌个数加倍”.

三．(基本题目) （见概率论教材p41）

许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对1000人进行调查得到以下数据结果矩阵：

有病 无病

外链代发268seo.com ffgg 正确诊断的人数错误诊断的人数www. ?360T???40120? 480??请你为一名诊断有病的人分析一下，他确实患病的

可能性有多大？

解答 该题目考核灵活应用概率论知识的能力，特别注意频率与概率概念的差别.

设 A={诊断有病}，B=｛确实有病｝ 需求概率

p?P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

问题是公式中的各个概率均未知.利用所给数据矩阵，可计算以下频率值：

360?404f(B)??,

100010 受检查者本无病检查呈阳性的频率值为：

4808?,

120?48010 受检查者确有病检查呈阳性的频率值为：

3609?,

360?4010 由贝努里大数定律知，可用频率估计概率，故可以假设：

498P(B)?,P(AB)?,P(AB)?，

101010从而

49?31010p???0.4286

49487??(1?)?10101010外链代发268seo.com ffgg www. 四．（基本题目） 某天晚上23:00时，在一个住宅内发现一具受害者尸体，法医于 23:35分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8oc，一小时以后再次测量体温为29.1oc ，法医还注意到当时室温是28oc，请建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间.

解答 应有以下假设：

*1 房间足够大，室内温度保持不变；

0

*2 人体正常温度为37 C（或其它合理范围值）。

23：35分受害者已死亡约75分钟，死亡时间约为22：20分.

五．（基本题目）

一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系统，需要对现有系统进行分析。现有系统中有5个服务点，当顾客走进银行，他们可能选择5个服务点中任一个。在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是3分钟，为一位顾客服务的平均时间为2.5分钟。

请你为建立模拟模型做以下准备工作：

考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间； 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式； 你认为应怎样模拟顾客们的来到？ 并且根据你的方法给出相应算法.

解答 该题的工作分为两部分，为模拟模型做理论准备，重点是对你的模拟思想进行算法设计.

1.理论准备

（1）假定服务时间T服从平均值为2.5的指数分布（即参数?=0.4）；

外链代发268seo.com ffgg www. 或 假定服务时间T服从平均值为2.5的正态分布N（?,?2），应设定适当的标准差值.

（2）可假定顾客随机选择服务点，或选择排队长最短的服务点.

（3）将顾客的来到看成泊松流，即顾客到达的间隔时间相互独立，都服从参数为1/3的指数分布。 2. 在计算机上实现以上模拟，设计算法. 六．（分析题目）

（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组

?dy?0.001xy?0.9y,??dt??dx?4x?0.02xy. ??dt建立上微分方程的轨线方程；

在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？ 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？

解答 重点考察对数学表达式与数学结果的分析能力，其中（1）和（2）问是为第（3）问题做铺垫.

（1）从微分方程中消去时间变量t，得到轨线方程：

(x0.9e?0.001x)(y4e?0.02y)?S

dydx（2）令?0,?0，解得两个平衡点（0，0）和

dtdt（900，200），当草原上的野兔是900只，狐狸是200

只时，两种动物的数量保持平衡状态.

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