高考数学一轮复习(热点难点)专题51 圆的方程以及直线与圆的位置

专题51 圆的方程以及直线与圆的位置关系

考纲要求:

1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离)． 3. 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离)． 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题, 初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 基础知识回顾: 一、圆的定义和圆的方程

二、直线与圆的位置关系与判断方法 三、圆

＋(y－b1)＝r1(r1>0)，圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0).

2

2

2

2

2

与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)

2

应用举例:

类型一、直线与圆位置关系 （1）判断直线与圆的位置关系

【例1】【2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考】在?ABC中，若asinA?bsinB?csinC?0，则圆

C:x2?y2?1与直线l:ax?by?c?0的位置关系是（ ）

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】A

【例2】已知不等式?x?2x?ax?a恒成立，则a的取值范围是 ．

解析：由题意直线y?a(x?1)恒在半圆(x?1)2?y2?1(y?0)上方（可相切），当a?23时，直线3y?a(x?1)与半圆(x?1)2?y2?1(y?0)，所以a的取值范围是[3,??)

3点评：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．

（2）直线与圆相交

【例3】【2018届陕西省榆林市第二中学高三上期中】圆长为2，则实数等于（ ） A. 2 B. 【答案】D

C. 4 D.

截直线

所得弦

【例4】如图，已知圆B，

（1）求的取值范围； （2）求

面积的最大值及此时a的值. 的圆心为C，此圆和直线

在轴上方有两个不同交点A、

【答案】（1）

（2）

时取得最大值

【解析】试题分析：（1）由圆心到直线距离与半径关系确定交点个数,再根据直线斜率得交点位置,求交集得的取值范围；（2）由垂径定理得

,再根据三角形面积公式以及基本不等式求最值

试题解析：(1)由得解得或，又,

即a的取值范围是

(2),当且仅当即

即时取得最大值.(或利用二次函数的最值也可以). 点评：计算直线被圆截得的弦长的常用方法

(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式|AB|＝＋k2

1＋k|xA－xB|＝

2

xA＋xB2

－4xAxB].

（3）直线与圆相切

【例5】【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知直线

l:?m?2?x??m?1?y?4?4m?0上总存在点M，使得过M点作的圆C： x2?y2?2x?4y?3?0的

两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是（ ）

A. m?1或m?2 B. 2?m?8 C. ?2?m?10 D. m??2或m?8 【答案】C

【例6】已知抛物线C：y?8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x?y?4x?3?0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为____________．

解析：设P(x,y)，圆心D(2,0)为抛物线的焦点，半径r?DA?1，抛物线的准线方程为x??2，所以PD?x?2，又因为PA为圆D的切线，所以PD?AD，在Rt?PAD中，

222PA?PD?r2?(x?2)2?1，所以四边形PADB面积为S?PAr?(x?2)2?1，又x?0，所以

2当x?0时面积有最小值，且Smin??0?2?2?1?3. 【例7】【2018届广西河池市高级中学高三上第三次月考】圆心在直线x?2y?0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为__________． 【答案】?x?2???y?1??4

22点评：求过点P(x0，y0)的圆x＋y＝r的切线方程

(1)若P(x0，y0)在圆x＋y＝r上，则以P为切点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r.

(2)若P(x0，y0)在圆x＋y＝r外，则过P的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解． 说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．

总之，在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．

类型二、与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题．

【例8】已知实数x，y满足方程x＋y－4x＋1＝0.求的最大值和最小值．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

yx

图3

2

2

解析：原方程可化为(x－2)＋y＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设＝k，即y＝kx.如图3所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，

yxyx

|2k－0|y此时＝ 3，解得k＝±3.所以的最大值为3，最小值为－3.

xk2＋1(2)截距型最值问题．

【例9】已知实数x，y满足方程x＋y－4x＋1＝0.求y－x的最大值和最小值；

解析：方法一，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时－2－6.

方法二，设x－2＝3cosθ，则y＝3sinθ，故x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ，

π??则y－x＝3sinθ－3cosθ－2＝6sin?θ－?－2

4??

ππππ

∴当θ－＝2kπ－，(k∈Z)时，y－x有最小值－6－2，当θ－＝2kπ＋(k∈Z)时，y－x有

4242最大值6－2. (3)距离型最值问题．

【例10】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】已知C的方程为x2?2x?y2?0，直线

|2－0＋b|

＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为2

2

2

l:kx?y?x?2k?0与C交于两点，当AB取最大值时k? __________， ?ABC面积最大时，

k?__________．

【答案】 2 1或7

(4)利用对称性求最值

【例11】【2018届黑龙江省大庆中学高三上学期开学】过动点P作圆： ?x?3???y?4??1的切线PQ，其中Q为切点，若PQ?PO（O为坐标原点），则PQ的最小值是__________. 【答案】2212 5

（5）建立目标函数求最值问题

【例12】【2018届江苏省南京市高三数学上学期期初】在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)＋(y－2)＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为______． 【答案】－【解析】

2

2

4 3M在?x?2???y?2??1， ?可设M?2?cos?,2?sin??，可得N?2?cos?,?2?sin??，

22将N的坐标代入kx?y?3?0，可得sin??kcos??2k?1， 2k?1?k2?1，化为得3k2?4k?0,?44?k?0， k的最小值为? 33点评：求解与圆有关的最值问题的两大规律 1．借助几何性质求最值

处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．

2．建立函数关系式求最值

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的． 类型三、求圆的方程

【例13】【2018届西城161高三上期中】已知圆C与直线x?y?0及x?y?4?0都相切，圆心在直线

x?y?0上，则圆C的方程为__________．

【答案】?x?1???y?1??2

22

点评：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．在使用用待定系数法时：

（1）若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．

(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值． 类型四、两圆的位置关系

2【例14】【届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷（1）】已知圆C1:?x?2a??y?4和圆

2C2:x2??y?b??1只有一条公切线，若a,b?R且ab?0，则A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D

211?的最小值为（ ） 22ab

【例15】【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】在平面直角坐标系

及其上一点

.

上，求圆N的标准方程； ，求直线的方程；

中，已知以为圆心的圆

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线（2）设平行于【答案】(1)【解析】试题分析：

(1)利用待定系数法求得圆心半径，则圆的标准方程为

的直线与圆相交于

(2)

两点，且

.

.

(2)首先求得直线l的斜率，然后结合题意整理可得直线的方程是试题解析：

（1）由圆心N在直线x=6上，可设所以

.因为N与x轴相切，与圆M外切，

，解得

.

.

.

，于是圆N的半径为，从而

因此，圆N的标准方程为

(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0， 则圆心M到直线l的距离因为所以

，解得

而

.

故直线l的方程为.

点评：(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 类型五、与圆有关的轨迹方程

求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程．常用求法：(1)定义法(2)相关点代入法

0?，则这个动圆圆心的轨迹方程【例16】已知一个动圆与圆C:?x?4??y2?100相内切，且过点A?4，是 .

2

点评：平面内与两个定点F1,F2的距离的比值等于常数（大于零且不等于1）的点的轨迹是圆.此轨迹也称为阿波罗尼斯圆.如果比值等于1，则轨迹为垂直平分线.常见圆锥曲线的定义要熟记，如椭圆的定义是动点到两个定点的距离只和是常数；双曲线是到两个定点距离之差的绝对值是常数；圆锥曲线的统一定义是动点到定点和定直线的距离之比是常数.

方法、规律归纳:

1、直线与圆的位置关系的判断方法

（1）几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断． 若d>r，则直线与圆相离；

若d＝r，则直线与圆相切； 若d

（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．

如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；

如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交． 2、与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法： (1)形如u＝

y－b型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题． x－a(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．

(3)形如(x－a)＋(y－b)型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题. 实战演练:

1.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知圆：关于直线A. C. 【答案】B

对称，则圆的方程为（ ） B. D.

，圆与圆

2

2

2.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】过点A?1,?1?、B??1,1?，且圆心在

x?y?2?0上的圆的方程是（ ）

A. ?x?3???y?1??4 B. ?x?3???y?1??4 C. ?x?1???y?1??4 D. ?x?1???y?1??4 【答案】C

【解析】AB中垂线方程为y?x ，所以由y?x， x?y?2?0的交点得圆心?1,1? ，半径为2 ，因此圆的方程是?x?1???y?1??4，选C.

22222222223．【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知圆（ ）

A. 8 B. 16 C. 12 D. 13 【答案】D

【解析】由圆的标准方程可知圆心为

，即

. 故选D.

的圆心坐标为，则

4.【2018届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】已知圆C：的圆心在直线值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C

上，且圆C上的点到直线

的距离的最大值为

，则

（a<0）

的

5．【2018届黑龙江省大庆市大庆实验中学高三上学期期初考】若圆?x?a???y?b??1?a?R,b?R?关于直线y?x?1对称的圆的方程是?x?1???y?3??1,则a?b等于（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】A

【解析】圆心(1,3)关于直线y=x+1的对称点为（2,2）a?2,b?2,a?b?4，选A. 5．【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期入门诊断】已知圆

有两个交点，则正实数的值可以为（ ）

A.

B.

C. 1 D.

与直线

2222【答案】D 【解析】圆

化为标准方程即

，结合选项，可得D正确，故选D.

6.【2018届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】已知圆C：的圆心在直线值为（ ）

上，且圆C上的点到直线

的距离的最大值为

，则

（a<0）

的

，由题意，圆心到直线的距离

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C

7.【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】圆长为2，则实数【答案】-4 【解析】圆圆心到直线的距离为由垂径定理得：答案为：-4.

8. 【2018届天津市实验中学高三上学期期中】已知直线l:y?x?m,m?R .若以点M?2,0?为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．

2【答案】?x?2??y?8

2截直线所得弦

__________．

，化简得：

.

，解得

.

.圆心为：.

【解析】由题意可得，点P?0,m?，且MP的斜率为?1，即2m?0??1，求得m?2，可得点P?0,2?，0?2222故圆的半径MP?22，故圆的方程为?x?2??y?8，故答案为?x?2??y?8.

9.【2018届河南省新乡市延津县高级高三9月月考】动直线l： mx?y?1,则直线l被圆C：

x2?2x?y2?8?0截得的最短弦长为_______.

【答案】27 【解析】因为直线l:y?mx?1恒过点A?0,?1?，圆C： x?2x?y?8?0的圆心为C:?1,0?，半径为

223，由平面几何知识，得当直线l与线段AC垂直时，所截得的弦长最短，最小值为

232?|AC|2?29?2?27；故填27. 10.【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】已知直线：

与圆：

交于，

两点（其中是坐标原点），则圆心到直线的距离为__________，点的横坐标为__________． 【答案】 1 3 【解析】圆：

，得

,

,由点到直线的距离公式可得到直线的距离为，的横坐标为 ，故答案为 1，3.

，由

11.【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次检测】已知圆O1和圆O2都经过点A?0,1?，若两圆与直线

4x?3y?5?0及y?1?0均相切，则OO12?__________.

【答案】5

12．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】已知直线：于不同的两点【答案】

、，

，数列

满足：

，

与圆：，则数列

交

的通项公式为________ .

13.【2017届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟一】L?{l|l 与直线y?x相交，且以交点的横坐标为斜率

?，若直线l'?L，点P??1,2?到直线l'的最短距离为r，则以点P为圆心， r为半径的圆的标

22准方程为 _________.

【答案】?x?1???y?2??4

【解析】设直线l'的斜率为k，直线方程为l?:y?kx?t，由题意方程组{y?kx?t 的解为?k,k?，则

y?xt?k?k2，即l?:kx?y?k?k2?0，点P??1,2?到直线l'的距离

d??k?2?k?k21?k2?2k2?21?k2?k2?1?21k?12?2（当且仅当k?0取等号），则所求圆的半径r?2，

22圆的标准方程为?x?1???y?2??4，应填答案?x?1???y?2??4.

14.【2017届北京市大兴区第一次综合练习】已知圆O:x2?y2?1的弦AB长为2，若线段AP是圆O的直径，则AP?AB?____；若点P为圆O上的动点，则AP?AB的取值范围是_____．

1?2? 【答案】 2 ?1?2，??0【解析】因为圆O:x2?y2?1的弦AB长为2，且线段AP是圆O的直径，所以?PAB?45，则

AP?AB?2?2??22??22?2, P?x,y?，且?1?y?1，则，,B，??2；不妨设A????????2?2?22??2?22?AP?AB??x?,y??0,?2??2y?1???2?1,2+1?；故填2,??2?1,2?1?. ???????22????15.【2018届四川省成都市双流中学高三11月月考】已知曲线上任意一点到的距离之比均为

.

的距离与到点

（1）求曲线的方程； （2）设点求线段

，过点作两条相异直线分别与曲线相交于

两点，且直线

和直线

的倾斜角互补，

的最大值．

；（2）

.

【答案】（1）

（2）由题意知，直线

，由

和直线的斜率存在，且互为相反数，因为消去得 ，因为

，故可设直线的方程为

在圆上，所以点的横坐标一定是该方程的解，

故可得，同理，，

所以 ,

故直线的斜率为定值,设直线

的方程为

，

，则圆的圆心到直线的距离，所以

所以当时，.

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