第六讲：二次函数测试题及答案

专题 二次函数练习（1）

一、选择题：

1.抛物线y?(x?2)2?3的对称轴是（ ）

A. 直线x??3

B. 直线x?3

C. 直线x??2

D. 直线x?2 y 2.二次函数y?ax2?bx?c的图象如右图，则点M(b,A. 第一象限 C. 第三象限

B. 第二象限 D. 第四象限

c)在（ ） a3、已知二次函数y?ax2?bx?c，且a?0，a?b?c?0，则一定有（ ）

A. b2?4ac?0

B. b2?4ac?0

C. b2?4ac?0

O x D. b2?4ac≤0

4.把抛物线y?x2?bx?c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y?x2?3x?5，则有（ ）

A. b?3，c?7 5.已知反比例函数y?

y B. b??9，c??15 C. b?3，c?3 D. b??9，c?21

k

的图象如右图所示，则二次函数y?2kx2?x?k2的图象大致为（ ） x

y y y x y O x O x O B x O C x O D

A

6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y?ax2?(a?c)x?c与一次函数y?ax?c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

y y y y O x O B x O C x O D x

A

7.抛物线y?x2?2x?3的对称轴是直线（ ）

A. x??2

B. x?2

C. x??1

D. x?1

8.二次函数y?(x?1)2?2的最小值是（ ）

A. ?2

B. 2

C. ?1

D. 1

y 9.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，若M?4a?2b?cN?a?b?c，

P?4a?b，则（ ）

-1 O 1 2 x A. M?0，N?0，P?0 B. M?0，N?0，P?0 C. M?0，N?0，P?0 D. M?0，N?0，P?0 二、填空题：

1.将二次函数y?x2?2x?3配方成y?(x?h)2?k的形式，则y=______________________.

2.已知抛物线y?ax2?bx?c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2?bx?c?0的根的情况是__ __ 1

3.已知抛物线y?ax2?x?c与x轴交点的横坐标为?1，则a?c=_________. 4.请你写出函数y?(x?1)2与y?x2?1具有的一个共同性质：_______________.

5.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线x?4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

6、已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.

7.如图，抛物线的对称轴是x?1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则A点的坐标是_________ .

y 1 A O 1 16题图 B x

三、解答题：

1.已知函数y?x2?bx?1的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当x?0时，求使y≥2的x的取值范围.

2.如右图，抛物线y??x2?5x?n经过点A(1,0)，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

O A （2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试

1 求点P的坐标. -1 B

3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

y x 2

提高题

1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽 是10m.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

2.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）.

（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； （2）求y与x之间的二次函数关系式；

（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；

b24ac?b2)?（4）请把（2）中所求的二次函数配方成y?(x?的形式，并据此说明：当x为何值时，2a4a租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

3．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

3

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式 (2)求点Q的坐标（用含m的式子表示） （3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由

（4）抛物线y=a1 x+b1x + c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，直接写出此时m的值．

2

2

5.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）

的关系为

（1）用x的代数式表示t为：t= ；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为： ；当 时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

4

参考答案

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D A A D D D B D 二、填空题： 1. y?(x?1)2?2

2. 有两个不相等的实数根 3. 1

4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值） 5. y?15x2?85x?3或y??15x2?85x?3或y?18187x2?7x?1或y??7x2?7x?1 6. y??x2?2x?1等（只须a?0，c?0） 7. (2?3,0)

8. x?3，1?x?5，1，4 三、解答题：

1. 解：（1）∵函数y?x2?bx?1的图象经过点（3，2），∴9?3b?1?2. 解得b??2. ∴函数解析式为y?x2?2x?1.

（2）当x?3时，y?2.

根据图象知当x≥3时，y≥2.

∴当x?0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.

2. 解：（1）由题意得?1?5?n?0. ∴n??4. ∴抛物线的解析式为y??x2?5x?4.

（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为(0,?4). ∴OA=1，OB=4.

在Rt△OAB中，AB?OA2?OB2?17，且点P在y轴正半轴上. ①当PB=PA时，PB?17. ∴OP?PB?OB?17?4. 此时点P的坐标为(0,17?4).

②当PA=AB时，OP=OB=4 此时点P的坐标为（0，4）.

3. 解：（1）设s与t的函数关系式为s?at2?bt?c，

5

1?a?,??a?b?c??1.5,?a?b?c??1.5,2?1?? 由题意得?4a?2b?c??2,或?4a?2b?c??2, 解得?b??2, ∴s?t2?2t.

2?25a?5b?c?2.5；?c?0.?c?0.????（2）把s=30代入s?121t?2t，得30?t2?2t. 解得t1?10，t2??6（舍去） 22 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把t?7代入，得s? 把t?8代入，得s?1?72?2?7?10.5. 21?82?2?8?16. 2 16?10.5?5.5. 答：第8个月获利润5.5万元.

4. 解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为y?ax2? 因为点A(?9. 10555918. ,0)或B(,0)在抛物线上，所以0?a·(?)2?，得a??22210125 因此所求函数解析式为

182955x?（?≤x≤）.

2212510991895（2）因为点D、E的纵坐标为，所以???，得x??2.

20201251045959 所以点D的坐标为(?2,)，点E的坐标为(2,).

420420555 所以DE?2?(?2)?2.

4425 因此卢浦大桥拱内实际桥长为2?1100?0.01?2752?385（米）.

2y??5. 解：（1）∵AB=3，x1?x2，∴x2?x1?3. 由根与系数的关系有x1?x2?1.

∴x1??1，x2?2. ∴OA=1，OB=2，x1·x2?m??2. aOCOC??1. OAOB∵tan?BAC?tan?ABC?1，∴∴OC=2. ∴m??2,a?1.

y N ∴此二次函数的解析式为y?x?x?2.

（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.

解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.

∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6.

2P A O C B M x 6

由（1）有OA=1，OC=2. ∴

12?AM?2?12?CN?1?6. ∴AM=6，CN=12. ∴M（5，0），N（0，10）.

∴直线MN的解析式为y??2x?10.

由??y??2x?10, 得??y?x2?x?2,?x1?3??y?x2??4,（舍去） 1?4；?y2?18∴在 第一象限，抛物线上存在点P(3,4)，使S△PAC=6. 解法二：设AP与y轴交于点D(0,m)（m>0） ∴直线AP的解析式为y?mx?m.

??y?x2?x?2, ?y?mx?m.∴x2?(m?1)x?m?2?0. ∴xA?xP?m?1，∴xP?m?2. 又S△PAC= S△ADC+ S12CD·AO?1△PDC=2CD·x1P=2CD(AO?xP). ∴

12(m?2)(1?m?2)?6，m2?5m?6?0 ∴m?6（舍去）或m?1.

∴在 第一象限，抛物线上存在点P(3,4)，使S△PAC=6.

提高题

1. 解：（1）∵抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个交点，

∴方程x2?bx?c?0有两个相等的实数根，即b2?4c?0. ① 又点A的坐标为（2，0），∴4?2b?c?0. ② 由①②得b??4，a?4.

（2）由（1）得抛物线的解析式为y?x2?4x?4. 当x?0时，y?4. ∴点B的坐标为（0，4）.

在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得AB?OA2?OB2?25. ∴△OAB的周长为1?4?25?6?25.

2. 解：（1）S?10?(?x210?710x?710)?(4?3)?x??x2?6x?7.

7

4?(?1)?7?626?3时，S最大??16. 当x??2?(?1)4?(?1) ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.

（2）用于投资的资金是16?3?13万元.

经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为5?2?6?13（万元），收益为

0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；

另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6

（万元）.

23. 解：（1）设抛物线的解析式为y?ax，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则D(5,?h)，B(10,?h?3).

1??25a??h,?a??, ∴? 解得?25

100a??h?3.???h?1.12 ∴抛物线的解析式为y??x.

25 （2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x千米/时， 当4x?40?1?280时，x?60.

∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为

（2）y?(40? ∴y??x?270套，所有未出租设备的支出为(2x?540)元. 10x?2701)x?(2x?540)??x2?65x?540. 101012x?65x?540.（说明：此处不要写出x的取值范围） 10（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁

公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.

因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占

有率，应选择出租37套. （4）y??121x?65x?540??(x?325)2?11102.5. 1010 ∴当x?325时，y有最大值11102.5. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，

故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.

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