2024年1月北京市西城区高三期末考试数学理科试题及答案

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科）2018.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．若集合A?{x|0?x?3}，B?{x|?1?x?2}，则A?B? （A）{x|?1?x?3} （C）{x|0?x?2}

（B）{x|?1?x?0} （D）{x|2?x?3}

2．下列函数中，在区间(0,??)上单调递增的是 （A）y??x?1

（B）y?|x?1|

（C）y?sinx

（D）y?x2

13．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）2 （B）6 （C）30 （D）270

?x?3?cos?,4．已知M为曲线C：?（?为参数）上的动点．设O为原点，则OM的最

y?sin??大值是 （A）1 （C）3

（B）2 （D）4

?x?1≥0,?5．实数x,y满足?x?y?1≥0, 则2x?y的取值范围是

?x?y?1≥0,?（A）[0,2] （C）[?1,2]

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（B）(??,0] （D）[0,??)

6．设a,b是非零向量，且a,b不共线．则“|a|?|b|”是“|a?2b|?|2a?b|”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

x（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

7．已知A，B是函数y?2的图象上的相异两点．若点A，B到直线y?则点A，B的横坐标之和的取值范围是 （A）(??,?1)

（B）(??,?2)

（C）(?1,??)

1的距离相等， 2（D）(?2,??)

8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H?]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH?]）的乘积等于常数10?14．已知pH值的定义为pH??lg[H?]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么

[H?]健康人体血液中的可以为

[OH?]（参考数据：lg2?0.30，lg3?0.48） （A）

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1 2（B）

1 3（C）

1 6（D）

1 10第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数

10．数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn．若a2?

11．在△ABC中，a?3，?C?

12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的

摆法有____种．（用数字作答）

13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的

部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．

2i对应的点的坐标为____． 1?i1，则an?____；S5?____． 2??33，△ABC的面积为，则c?____．

43?x2?x,?2≤x≤c,?14．已知函数f(x)??1若c?0，则f(x)的值域是____；若f(x)的值域

,c?x≤3.??x是[?,2]，则实数c的取值范围是____．

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14三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

π已知函数f(x)?2sin2x?cos(2x?)．

3（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间[0,]上的最大值．

16．（本小题满分13分）

已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．

表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表

日期 1月1日 1月21日 2月10日 3月2日 3月22日 升旗时刻 7:36 7:31 7:14 6:47 6:15 日期 4月9日 4月28日 5月16日 6月3日 6月22日 升旗时刻 5:46 5:19 4:59 4:47 4:46 日期 7月9日 7月27日 8月14日 9月2日 9月20日 升旗时刻 4:53 5:07 5:24 5:42 5:59 日期 10月8日 10月26日 11月13日 12月1日 12月20日 升旗时刻 6:17 6:36 6:56 7:16 7:31 π2表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 2月1日 2月3日 2月5日 2月7日 2月9日 升旗时刻 7:23 7:22 7:20 7:17 7:15 日期 2月11日 2月13日 2月15日 2月17日 2月19日 升旗时刻 7:13 7:11 7:08 7:05 7:02 日期 2月21日 2月23日 2月25日 2月27日 2月28日 升旗时刻 6:59 6:57 6:55 6:52 6:49 （Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X

为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X的分布列和数学期望E(X)． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为731）．记表2中602所有升旗时刻对应数据的方差为s2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s*，2判断s2与s*的大小．（只需写出结论）

17．（本小题满分14分）

?如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?平面AA1C1C，AA1?AB?AC?2，. ?A1AC?60过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F. （Ⅰ）求证：AC1?平面ABC1；

（Ⅱ）求证：四边形AA1EF为平行四边形； （Ⅲ）若

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BF2?，求二面角B?AC1?F的大小. BC318．（本小题满分13分）

ax已知函数f(x)?e?sinx?1，其中a?0．

（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）证明：f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点．

19．（本小题满分14分）

3x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点A(2,0)，且离心率为．

2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线y?kx?3与椭圆C交于M,N两点．若直线x?3上存在点P，使得四边形

PAMN是平行四边形，求k的值．

20．（本小题满分13分）

a1,a2,?,an(n≥4)满足：a1?1，an?m，ak?1?ak?0或1(k?1,2,?,n?1)．数列An：

对任意i,j，都存在s,t，使得ai?aj?as?at，其中i,j,s,t?{1,2,?,n}且两两不相等． （Ⅰ）若m?2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2；②1,1,1,1,2,2,2,2；③1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记S?a1?a2???an．若m?3，证明：S≥20； （Ⅲ）若m?2018，求n的最小值．

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北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2018.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．(?1,1)10．2n?3，

3111．13 412．813．3614．[?,??)；[,1] 注：第10，14题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

1412π解：（Ⅰ）因为f(x)?2sin2x?cos(2x?)

3?1?cos2x?(cos2x?cosππ?sin2x?sin) [ 4分] 33?33sin2x?cos2x?1[5分] 22π?3sin(2x?)?1， [ 7分]

3所以f(x)的最小正周期T?（Ⅱ）因为0≤x≤2π?π． [ 8分] 2π， 2所以?≤2x?当2x?π3π2π．[10分] ≤33ππ5π时， [11分]?，即x?3212f(x)取得最大值为3?1． [13分]

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16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，

[1分]

在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，

所以P(A)?153?．[3分] 204（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2．[4分]

记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，

512?，P(B)?1?P(B)?．[5分] 15331144()(1?)?； P(X?0)?P(B)?P(B)?；P(X?1)?C1233991P(X?2)?P(B)?P(B)?．[8分]

9则P(B)?所以X 的分布列为：

X P 0 4 91 4 92 1 94412E(X)?0??1??2??．[10分]

9993121注：学生得到X~B(2,)，所以E(X)?2??，同样给分．

3332（Ⅲ）s2?s*．[13分]

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为AB?平面AA1C1C，所以A1C?AB．[1分]

因为三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AC，所以四边形AA1C1C为菱形， 所以 A1C?AC1．[3分]

所以AC1?平面ABC1．[4分]

（Ⅱ）因为A1A//B1B，A1A?平面BB1C1C，所以A1A//平面BB1C1C．[ 5分] 因为平面AA1EF?平面BB1C1C?EF，所以A1A//EF．[ 6分] 因为平面ABC//平面A1B1C1，

平面AA1EF?平面ABC?AF，平面AA1EF?平面A1B1C1?A1E，

所以A1E//AF．[7分]

所以四边形AA1EF为平行四边形．[8分] （Ⅲ）在平面AA1C1C内，过A作Az?AC．

因为AB?平面AA1C1C，

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如图建立空间直角坐标系A-xyz．[9分]

由题意得，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,1,3)，C1(0,3,3)．

????2??44BF2BF?BC?(?,,0)， ，所以?因为

333BC324所以 F(,,0)．

33由（Ⅰ）得平面ABC1的法向量为A1C?(0,1,?3)． 设平面AC1F的法向量为n?(x,y,z)，

??3y?3z?0,???n?AC?0,??1则?即?2 4???x?y?0.??n?AF?0,3?3????令y?1，则x??2，z??3，所以n?(?2,1,?3)．[11分]

???所以|cos?n,A1C?|?|n?A1C||n||A1C|???????2．[13分] 2由图知二面角B?AC1?F的平面角是锐角， 所以二面角B?AC1?F的大小为45?．[14分]

18．（本小题满分13分）

x解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?e?sinx?1，

x所以f?(x)?e(sinx?cosx)．[ 2分]

因为f?(0)?1，f(0)??1，[ 4分]

所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x?1．[5分]

ax（Ⅱ）f?(x)?e(asinx?cosx)．[6分]

由 f?(x)?0，得asinx?cosx?0．[7分] 因为a?0，所以f?()?0．[8分]

当x?(0,)?(,π)时，由asinx?cosx?0，得tanx??所以存在唯一的x0?(,π)，使得tanx0??．[9分]

π2π2π21． aπ21a第8页共11页

f(x)与f?(x)在区间(0,π)上的情况如下：

x f?(x) f(x) (0,x0) x0 0 (x0,π) + ↗ ? 极大值 ↘ 所以f(x)在区间(0,x0)上单调递增，在区间(x0,π)上单调递减．[11分]

aπ因为f(x?f(π0)2)?e2?1?e0?1?0，[12分]

且f(0)?f(π)??1?0，

所以f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点．[13分]

19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得a?2，e?ca?32，所以c?3．[2分] 因为a2?b2?c2，[3分] 所以b?1，[4分]

C的方程为x2所以椭圆4?y2?1．[5分]

（Ⅱ）若四边形PAMN是平行四边形，

则 PA//MN，且 |PA|?|MN|.[6分] 所以 直线PA的方程为y?k(x?2)， 所以 P(3,k)，|PA|?k2?1．[7分] 设M(x1,y1)，N(x2,y2)．

由???y?kx?3,2?2?4y?4, 得(4k?1)x2?83kx?8?0?x2，由??0，得 k2?12． 且x83k1?x2??4k2?1，x1x82?4k2?1．[9分] 第9页共11页

8分] [所以|MN|?(k2?1)[(x1?x2)2?4x1x2].

64k2?32?(k?1)2．[10分]

(4k?1)2

264k2?322?k?1． 因为 |PA|?|MN|， 所以 (k?1)(4k2?1)2242整理得 16k?56k?33?0， [12分]

解得 k??113，或 k??．[13分]

223时不满足PAMN是平行四边形，舍去． 2经检验均符合??0，但k??所以 k?

20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）②③．[3分]

113，或 k??．[14分]

22注：只得到 ②或只得到 ③给[ 1分]，有错解不给分．

（Ⅱ）当m?3时，设数列An中1,2,3出现频数依次为q1,q2,q3，由题意qi≥1(i?1,2,3)． ①假设q1?4，则有a1?a2?as?at（对任意s?t?2），

与已知矛盾，所以q1≥4．

同理可证：q3≥4．[5分]

②假设q2?1，则存在唯一的k?{1,2,?,n}，使得ak?2．

那么，对?s,t，有a1?ak?1?2?as?at（k,s,t两两不相等）， 与已知矛盾，所以q2≥2．[7分]

综上：q1≥4,q3≥4,q2≥2，

所以S??iqi≥20．[8分]

i?13

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（Ⅲ）设1,2,?,2018出现频数依次为q1,q2,...,q2018．

同（Ⅱ）的证明，可得q1≥4,q2018≥4，q2≥2,q2017≥2，则n≥2026．

取q1?q2018?4,q2?q2017?2，qi?1,i?3,4,5,?,2016，得到的数列为：

Bn:1,1,1,1,2,2,3,4,??,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018．[10分]

下面证明Bn满足题目要求．对?i,j?{1,2,?,2026}，不妨令ai≤aj，

①如果ai?aj?1或ai?aj?2018，由于q1=4,q2018=4，所以符合条件； ②如果ai?1,aj?2或ai?2017,aj?2018，由于q1=4,q2018=4，q2=2,q2017=2， 所以也成立；

③如果ai?1,aj?2，则可选取as?2,at?aj?1；同样的，如果ai?2017,aj?2018， 则可选取as?ai?1,at?2017，使得ai?aj?as?at，且i,j,s,t两两不相等；

④如果1?ai≤aj?2018，则可选取as?ai?1,at?aj?1，注意到这种情况每个数最多被选取

了一次，因此也成立．

综上，对任意i,j，总存在s,t，使得ai?aj?as?at，其中i,j,s,t?{1,2,?,n}且两 两不相等．因此Bn满足题目要求，所以n的最小值为2026．[13分]

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（Ⅲ）设1,2,?,2018出现频数依次为q1,q2,...,q2018．

同（Ⅱ）的证明，可得q1≥4,q2018≥4，q2≥2,q2017≥2，则n≥2026．

取q1?q2018?4,q2?q2017?2，qi?1,i?3,4,5,?,2016，得到的数列为：

Bn:1,1,1,1,2,2,3,4,??,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018．[10分]

下面证明Bn满足题目要求．对?i,j?{1,2,?,2026}，不妨令ai≤aj，

①如果ai?aj?1或ai?aj?2018，由于q1=4,q2018=4，所以符合条件； ②如果ai?1,aj?2或ai?2017,aj?2018，由于q1=4,q2018=4，q2=2,q2017=2， 所以也成立；

③如果ai?1,aj?2，则可选取as?2,at?aj?1；同样的，如果ai?2017,aj?2018， 则可选取as?ai?1,at?2017，使得ai?aj?as?at，且i,j,s,t两两不相等；

④如果1?ai≤aj?2018，则可选取as?ai?1,at?aj?1，注意到这种情况每个数最多被选取

了一次，因此也成立．

综上，对任意i,j，总存在s,t，使得ai?aj?as?at，其中i,j,s,t?{1,2,?,n}且两 两不相等．因此Bn满足题目要求，所以n的最小值为2026．[13分]

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