第7章(空间解析几何)之内容方法

第七章(空间解析几何)之内容方法

本章主要介绍空间直角坐标系；平面的点法式与一般式方程；空间直线的对称式与一般式方程及它们间的平行与垂直等相关位置；曲面与空间曲线的方程等。它是以后学习二重积分和三重积分的基础。本章的重点是：平面的点法式方程；直线的对称式方程；球面方程；母线平行于坐标轴的柱面方程。难点是：母线平等于行坐标轴的柱面方程的概念和空间曲线在坐标轴上的投影曲线的概念。

7－1 空间直角坐标系

空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广。每点由三个有序实数确定P（x, y, z）.

两点Pi(xi,yi,zi)(i?1,2)间的距离为：

|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

定比分点公式为：

x?x1??x2,1??y?y1??y2z??z2,z?1.1??1??

其中λ为P分线段P1P2的定比，即P1P＝λPP2?

7－2 方向余弦与方向数

1P2：以P1为始点，P2为终点的线段，它与三个坐标轴正向的夹角称为方向有向线段P角；方程角的余弦值称为方程余弦。其计算公式为：

cos??x2?x1y?y1z?z,cos??2,cos??21.|P1P2||P1P2||P1P2|

222cos??cos??cos??1. 且满足

ABC??,cos? 直线的方向数｛A，B，C｝：cos?cos?其中α，β，γ 是直线上某个有向线段的方向角。若｛A，B，C｝是直线的方向数，则｛kA,

kB, kC｝也是。这时直线的方向余弦为

cos??AA?B?CCA?B?C222222,

cos??BA?B?C222,

cos??.

两直线L1，L2的夹角为：

cos???l1l2?m1m2?n1n2l1?m1?n1222l2?m2?n2222,

其中{l1,m1,n1}和{l2,m2,n2}分别是L1，L2的方向数。

L1?L2?l1l2?m1m2?n1n2?0.

L1平行于L2

?l1m1n1??,l2m2n2其中若分母为0，则相应的分子也为0。

7－3 平面与空间直线

1． 1． 平面的点法式方程：

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0,

其中P0(x0,y0,z0)是平面上一点，｛A，B，C｝是平面的方向数。

由于同时垂直于平面内两相交直线的直线即为平面的法线，所以一般都可以求平面的点法式方程。

2． 2． 平面的一般式方程：Ax?By?Cz?D?0. （A，B，C不同时为0），｛A，B，C｝是平面法线的方向数。

在平面的一般式方程中

平面过原点?Ax?By?Cz?0 平面平行于x轴?By?Cz?D?0 平面过x轴?By?Cz?0 平面平行于xoy坐标面?z?k(k为常数）

其它类似，故从略。 求平面的一般式方程时，可用待定系数法；也可先求其点法式方程，再化为一般式方程。 3． 3． 直线的对称式方程（或点向式）方程：

x?x0y?y0z?z0??,lmn

其中P0(x0,y0,z0)为直线上一定点，{l,m,n}为直线的方向数。

由立体几何知识，直线通常可求其对称式方程；由于点、向的不唯一，所以直线的对称

式方程也不唯一。

?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?B2y?C2z?D2?0两相交平面的交线。

4． 4． 直线的一般方程：?2直线的对称式中只有两个独立的等式（若某分母为0，则分子为0），联立即得一般式方程；反之，由于直线与两相交平面的法线垂直，故可从直线的一般式求得直线的方向数。另外，令直线的一般式中某变量为0，解出另两个变量的值即得直线上一点，故可从直线的一般式方程可求得其对称式方程。

5． 5． 两平面平行的充要条件是其法线的方向数成比例。即

A1:B1:C1?A2:B2:C2.

两平面垂直的条件是其法线垂直。即

A1A2?B1B2?C1C2?0.

直线L与平面?平行的充要条件是直线与平面的法线垂直。即

lA?mB?nC?0.

直线L与平面?垂直的充要条件是

l:m:n?A:B:C.

7－4 曲面与空间曲线

曲面的一般方程：F(x,y,z)?0. 球心在(a,b,c)，半径为r的球面方程为：

(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?r2.

?F1(x,y,z)?0?F(x,y,z)?0 。即它作为两曲面的交线。

空间曲线的方程：?2F(x,y)?0表示：母线平行于z轴，

?F(x,y)?0?准线为?z?0 的柱面。同样，G(y,z)?0,H(z,x)?0

分别表示母线平行x轴和y轴的柱面。

?F1(x,y,z)?0?F(x,y,z)?0在xoy坐标面上的射影曲线求法：

空间曲线?2?G(x,y)?0?G(x,y)?0从空间曲线方程中消去变量z得，，再与z?0联立，?z?0即为所

求。它就是空间曲线对xoy面的射影柱面与xoy面的交线。

7－5 二次曲面

x2y2z2?2?2?1,a?b?c2bc椭球面：a时为球面。

x2y2z2x2y2z2?2?2?1?2?2?2?12abcabc单叶双曲面：， ，

x2y2z2?2?2?12abc。

x2y2z2x2y2z2?2?2??1?2?2??122abcabc双叶双曲面：，－，

x2y2z2????1a2b2c2。

x2y2z2y2?2?2z?2?2x22bb椭圆抛物面：a，c，

x2z2?2?2y2ac。

x2y2?2??2(z?c)2ab注意：顶点坐标的变化，如：表

顶点在(0,0,c)开口向下的椭圆抛物面。

x2y2z2y2x2z2?2?2z?2?2x?2?2y222abcbac双曲抛物面：，，等。 x2y2z2x2z2y2y2z2x2?2?2?2?2?2?2222bc，acb，bca。 锥面：a以上均为各类曲面的标准方程，应熟练准确地画出其大致图形并触类旁通。另外，上述

各方程左端正项的两系数相等时，表旋转曲面。

第七章（空间解析几何）之例题解析

1(1,0,?1),P2(1,1,0)。求 例7.1 已知空间中两点P?????12的方向余弦； 1．｜P1P2｜； 2. PP12的方向数。 3. 直线PP12|?解：1. |PP(1?1)2?(0?1)2?(?1?0)2?2.

cos??2.

1?11?02?0,cos???,|PP|PP2. 12|12|cos??

0?(?1)2?|PP2 12|,1}. 12方向数为{(x2?x1),(y2?y1),(z2?z1)}?{0,1 3. PP例7.2 已知平面过(1,0,?1)，与平面x?z?0垂直且与直线

x?1y?2z??1?2?1平行。求该平面的方程。

解：方法一：先求法式方程

设该平面的法线的方向数为{A,B,C}，则由题意得，

?A?C?0??A?2B?C?0，解得A:B:C?1:0:1。

所以所求平面的点法式方程为1(x?1)?0(y?0)?1(z?1)?0， 化为一般式为：x?z?0.

方法二：待定系数法

设平面的一般方程为Ax?By?Cz?D?0(A,B,C不全为0）。 由平面过点(1,0,?1)得：A?C?D?0 （1）

由另两条件得： A?C?0 （2）

A?2B?C?0 （3） 联立（1），（2），（3）并解得A:B:C:D?1:0:1:0。 故所求平面的方程为：x?z?0.

注：因平面的一般式方程中x,y,z的系数为其法线的方向数，所以这两种方法实质上是一样的。

?x?2y?z?1?(1,0,?1)例7.3 求过点且与直线?x?y?3z?2平行的直线的标准方程。

解：先从一般式方程中求已知直线的方向数。 设其方向数为{l,m,n},则

?l?2m??n?054?l:m:n??n:n:n?5:?4:?333 ?l?m?3n?0 ，解得。

x?1yz?1??.?4?3 故所求直线的对称式方程为：5注：在已知直线的一般式方程中，令z?0得，

51x?,y??.x?2y?1,x?y?2，解得33从而求得直线上一点为

51(,?,0).33故可化已知直线的一般式方程为标准方程为：

x?51y?3?3?z.5?4?3

例7.4 已知球面的球心在(1,0,?1)且过点(1,2,?1).求 1． 1． 该球面的方程；

2． 2． 该球面与x?1的交线对yoz坐标面的射影柱面的方程； 3． 3． 该球面与x?1的交线对yoz坐标面上的射影曲线的方程。 解：1. 设球面的方程为(x?1)?y?(z?1)?r.

2222因球面过点(1,2,?1)，所以r?2。故所求球面的方程为：

(x?1)2?y2?(z?1)2?22.

?(x?1)2?y2?(z?1)2?22?x?1 2．球面与的交线方程为：?x?1，

从中消去x得该交线对坐标面yoz的射影柱面的方程为：

y2?(z?1)2?4.

3．将射影柱面的方程与yoz面的方程联立即得所求射影曲线的方程为

?y2?(z?1)2?4??x?0。

51(,?,0).33故可化已知直线的一般式方程为标准方程为：

x?51y?3?3?z.5?4?3

例7.4 已知球面的球心在(1,0,?1)且过点(1,2,?1).求 1． 1． 该球面的方程；

2． 2． 该球面与x?1的交线对yoz坐标面的射影柱面的方程； 3． 3． 该球面与x?1的交线对yoz坐标面上的射影曲线的方程。 解：1. 设球面的方程为(x?1)?y?(z?1)?r.

2222因球面过点(1,2,?1)，所以r?2。故所求球面的方程为：

(x?1)2?y2?(z?1)2?22.

?(x?1)2?y2?(z?1)2?22?x?1 2．球面与的交线方程为：?x?1，

从中消去x得该交线对坐标面yoz的射影柱面的方程为：

y2?(z?1)2?4.

3．将射影柱面的方程与yoz面的方程联立即得所求射影曲线的方程为

?y2?(z?1)2?4??x?0。

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