2024年广东省珠海市高三文科二模数学试卷

2016年广东省珠海市高三文科二模数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 已知全集 ??=?? 且 ??= ?? ???1 >2 ，??= ?? ??2?6??+8<0 ，则 ????? ∩?? 等于

?? A. ?1,4

B. 2,3

2i?1i

C. 2,3 D. ?1,4

2. i 是虚数单位，则复数 ??=

A. 第一象限

在复平面内对应的点在 ??

C. 第三象限

D. 第四象限

B. 第二象限

= ??,4 ，若向量 ?? ，则 ??= ?? 3. 已知向量 ?? = 1,2 ，?? ∥??

A. 2

16

B. ?2

5

C. 8

1

D. ?8

1

4. 抛掷两颗质地均匀的骰子，则点数之和为 6 的概率等于 ??

A.

π

B. 364 35

3

π

C.

9

D. 12

5π6

5. 已知 sin ??+3 +sin??=?

A. ?5 4

，?2

C. 5

3

等于 ??

D. 5

4

B. ?5 6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的最短的棱长是 ??

A. 1 A. 2

8. 已知点 ?? 是双曲线 值为 ??

??24

B. 2 B. 4

C. 3 C. 8

D. 2 D. 16

2

7. 已知等比数列 ???? 的公比为正数，且 ??4??8=2??5，??2=1，则 ??10= ??

????? 的最小???2=1 上任意一点，??，?? 分别是双曲线的左右顶点，则 ????B. 0

C. 1

D. 2

π 3 的图象向右平移 个单位 61

π3

A. ?3

??1

9. 定义行列式运算 ??

7π12

3

??2 sin2?? =?????????．将函数 ????= 1423??4 cos2??B. ??= 2π

后，所得函数图象的一个对称轴是 ??

A. ??=

C. ??=

5π12

D. ??= 10. 下列程序框图中，输出的 ?? 的值是 ??

第1页（共12页）

A.

1

2015

B.

1

2016

C.

1

2017

D.

1

2018

11. 如图所示，在棱长为 ?? 的正方体 ???????????1??1??1??1 的面对角线 ??1?? 上存在一点 ?? 使得 ????+

??1?? 取得最小值，若此最小值为 2 2+ 2，则 ?? 的值是 ??

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

?? ?? ??? ?? ?????

12. 定义：如果函数 ?? ?? 在 ??,?? 上存在 ??1，??2 0

??? ??2 =

11

?? ?? ??? ?? ?????

，

，则称函数 ?? ?? 是 ??,?? 上的“双中值函数”．已知函数 ?? ?? =??3???2+?? 是

3

1

1

0,?? 上的“双中值函数”，则实数 ?? 的取值范围是 ??

A. 3,2

B. 2,3

C. 2,1

D. 3,1

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 已知函数 ??=????3+3??2+3??+3 在 ??=1 处取得极值，则 ??= ．

14. 等差数列 ???? 中，??1+??4+??7=33，??3+??6+??9=21，则数列 ???? 前 9 项的和 ??9 等

于 ．

??+2??≥0,

3

15. 设 ??=2??+??，其中 ??，?? 满足 ?????≤0, 若 ?? 的最大值为 6，则 ??=2??+?? 的最小值

0≤??≤??.

3

为 ．

16. 直线 ????????8=0 与抛物线 ??2=8?? 交于 ??，?? 两点，?? 为坐标原点，则 △?????? 面积的取值

范围是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）

17. 在 △?????? 中，??，??，?? 分别为角 ??，??，?? 所对的边，且 ??2+??2???2 tan??= 2????．

（1）求角 ?? 的大小；

（2）若 ??=2，??=2 2，求边 ?? 的值及 △?????? 的面积．

18. 为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调

查，其中女性有 55 名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：

场数

1011121314

人数10182225205

将收看该节目场次不低于 13 场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有 10 名女性．

?? ??2≥?? 0.050.01

??3.8416.635

9

第2页（共12页）

附：??2= ??+?? ??+?? ??+?? ??+?? （1）根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并判断据此资料我们能否有 95% 的把握认为“歌

迷”与性别有关?

非歌迷歌迷合计男女合计

（2）将收看该节目所有场次（14 场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有 2 名女性，

若从“超级歌迷”中任意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概率．

19. 如图，四棱锥 ??????????? 中，四边形 ???????? 是等腰梯形，其中 ????∥????，????=2????=3，且

∠??????=60°；?? 为 ???? 中点，????=????=????=????=4．

1

?? ????????? 2

（1）求证：????⊥????．

（2）求四棱锥 ??????????? 的体积．

=3 ，20. 已知点 ?? 为圆 ??2+??2=25 上任意一点，过 ?? 作 ?? 轴的垂线，垂足为 ??，且满足 ????????5

若 ?? 的轨迹为曲线 ??．

（1）求 ?? ?? =?? ?? ??? ?? 的方程；

（2）设过曲线 ?? 左焦点的两条弦为 ????，????，弦 ????，???? 所在直线的斜率分别为 ??1，??2，当

??1??2=1 时，判断 ???? + ???? 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．

21. 已知函数 ?? ?? =?????ln??，?? ?? =?

1+????

1

1

??∈?? ．

（1）设函数 ?? ?? =?? ?? ??? ?? ，当 ??>0 时，求函数 ?? ?? 的单调区间；

（2）若在 1,e e=2.718? 上存在一点 ??0，使得 ?? ??0

交 ⊙?? 于点 ??，连接 ???? 与 ???? 交于点 ??．

（1）判断 ???? 是否平分 ∠??????，并说明理由；

（2）若 ????=6，????=8，求 ???? 的长．

第3页（共12页）

23. 在平面直角坐标系 ?????? 中，以 ?? 为极点，?? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ?? 的极坐标

??=cos??,π

方程为 ??=4 ??∈?? ，曲线 ?? 的参数方程为 （?? 为参数）．

??=sin??

（1）写出直线 ?? 与曲线 ?? 的直角坐标方程；

（2）过点 ?? 平行于直线 ?? 的直线与曲线 ?? 交于 ??，?? 两点，若 ???? ? ???? =3，求点 ?? 轨迹

的直角坐标方程．

24. 已知函数 ?? ?? = 2????? + 2??+3 ，?? ?? = ???1 +2．

（1）解不等式 ?? ?? <5；

（2）若对任意 ??1∈??，都有 ??2∈??，使得 ?? ??1 =?? ??2 成立，求实数 ?? 的取值范围．

第4页（共12页）

答案

第一部分 1. B

2. A

【解析】复数 ??=

2i?1i

=

?i 2i?1 ?i2

=2+i 在复平面内对应的点为 2,1 ，而 2,1 在第一

象限内． 3. A

= ??,4 ，向量 ?? ， 【解析】因为向量 ?? = 1,2 ，?? ∥??

所以 4?2??=0，??=2．

4. B 【解析】掷两颗均匀的骰子，共有 36 种基本事件，点数之和为 6 的事件有 1,5 ， 2,4 ， 3,3 ， 4,2 ， 5,1 五种，因此所求概率为 ． 365. A

π

sin ??+ +sin??

33 3=sin??+cos??22π

= 3sin ??+

64 3=?,

5【解析】因为

5

所以利用互补角的诱导公式可知：

π4

sin ??+ =?

65π

=sin π? +??

6 5π

=sin ???

65π

=sin ???+ ,

6因此所求的值为 ?．

5

4

6. B 【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，其直观图如下图所示：

利用勾股定理可得：????= 2，????=????=2，????= 5，????=????=????=3，????= 6． 7. D

222

【解析】由 ??4??8=??6=2??5，得 ??62=2，故 ??=2，而 ??>0，所以 ??= 2，

5

??2

所以 ??10=??2??8= 2 =16． 8. B

【解析】设 ?? ??,?? ，则

??2

??24

8

???2=1，可得 ??2=

??24

?1，

由双曲线 4???2=1，可得 ??=2， 即有 ?? ?2,0 ，?? 2,0 ，

= ?2???,??? ，???? = 2???,??? ， 可得 ????

第5页（共12页）

????? = ?2??? 2??? +??2????

=??2+??2?4

??22 =??+?5

452=???5,

4由双曲线的性质可得， ?? ≥2， 即有 4??2?5≥4×4?5=0， 当 ??=±2 时，取得最小值 0． 9. A

【解析】由题意得，?? ?? =sin2??? 3cos2??=2sin 2??? ，向右平移 后得到 ??=

36

2π3

π

π

5

5

2sin 2??? ．

23

2π3

所以函数 ??=2sin 2???π 图象的对称轴为 2???解得 ??=

??π2

=??π+，

2

π

+

7π12

??∈?? ．

7π12

当 ??=0 时，??=10. C

．

【解析】根据题意有，??=1，??=1， ??=，??=2，满足条件 ??≤672，

41

??=??=??=

1

474171071101310

=7，??=3，满足条件 ??≤672， =

1101

1

，??=4，满足条件 ??≤672，

=13，??=5，满足条件 ??≤672，

1

以此类推，就可以得出输出的 ?? 分子为 1，分母是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，输出的是第 673 项，所以输出的结果为

2017

．

11. B 【解析】把对角面 ??1?? 绕 ??1?? 旋转，使其与 △????1?? 在同一平面上，连接 ????1，

则在 △????1?? 中，????1= ??2+??2?2??2cos135°=?? 2+ 2， 因为 ?? 2+ 2=2 2+ 2， 所以 ??=2．

12. C 【解析】由题意可知，因为 ?? ?? =??3???2+?? 在区间 0,?? 存在 ??1，??2 ??

?? ?? ??? 0

??

=??2???，

第6页（共12页）

因为 ?? ?? =??3???2+??， 所以 ??? ?? =3??2?2??，

所以方程 3??2?2??=??2??? 在区间 0,?? 有两个不相等的解． 令 ?? ?? =3??2?2?????2+??， 00,

?? 0 =???2+??>0,

则 ?? ?? =2??2???>0,

0<1

21

1

所以实数 ?? 的取值范围是 2,1 ． 第二部分 13. ?3

【解析】因为 ???=3????2+6??+3，所以 ??? 1 =3??+9=0，解得：??=?3，经检验 ??=?3 符合题意． 14. 81

【解析】等差数列 ???? 中，??1+??4+??7=33，??3+??6+??9=21， 所以 3??4=33，3??6=21， 所以 ??4=11，??6=7， 数列 ???? 前 9 项的和：??9=15. ?5 【解析】如图，

24

9 ??1+??9

2

=

9 ??4+??6

2

=81．

32

??+??=6 过点 ?? 时取得最大值，

??=??,可得 ?? ??,?? ，所以 3??+??=6，解得 ??=12． 由 25?????=0??=??+?? 在点 ?? 处取得最小值，

23

12

??=5,可得：?? ?24,12 ， 由 55??+2??=0所以 ??min=2??+??=?5．

3

24

第7页（共12页）

16. 64,+∞

??=????+8,【解析】联立方程 2 得 ??2?8?????64=0，??>0，??1+??2=8??，??1??2=?64，

??=8??,因为 ????????8=0 过定点 8,0 ， 所以

??△??????

1

?????2 ?821

=4 ??1+??2 2?4??1??2 =

=4 64??2+4×64,

当 ??=0 时，??min=64． 第三部分

17. （1） 由已知得，则 cos???tan??=所以 sin??=

π4

??2+??2???2

2????

tan??=

2， 2

2， 2

2， 2

3π4

所以 ??= 或 ??=

π4

．

（2） 因为 ??=2，??=2 2， 所以 ??=，

由余弦定理 ??2=??2+??2?2????cos?? 得 ??2=??2+ 2 2 ?2???2 2?cos，

4

2

π

整理得 ??2?4??+4=0，解得 ??=2， △?????? 面积为 ??=2????=2×2×2=2．

18. （1） 由统计表可知，在抽取的 100 人中，“歌迷”有 25 人，从而完成 2×2 列联表如下：

非歌迷歌迷合计男女合计

304575

2

1

1

151025

4555100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算，得：??=

100× 30×10?45×15 2

75×25×45×55

=

10033

≈3.030．

因为 3.030<3.841，所以我们没有 95% 的把握认为“歌迷”与性别有关．

（2） 由统计表可知，“超级歌迷”有 5 人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 ??= ??1,??2 , ??1,??3 , ??2,??3 , ??1,??1 , ??1,??2 , ??2,??1 , ??2,??2 , ??3,??1 , ??3,??2 , ??1,??2 其中 ???? 表示男性，??=1,2,3，???? 表示女性，??=1,2，

?? 由 10 个等可能的基本事件组成，用 ?? 表示“任选 2 人中，至少有 1 个是女性”这一事件，则 ??= ??1,??1 , ??1,??2 , ??2,??1 , ??2,??2 , ??3,??1 , ??3,??2 , ??1,??2 ，事件 ?? 由 7 个基本事件组成， 所以 ?? ?? =

710

．

19. （1） 连接 ????，

第8页（共12页）

因为 ???????? 为等腰梯形，?? 为 ???? 中点， 所以 ????=????=????， 所以 △?????? 为等腰三角形，

又 ∠??????=60°，故 △?????? 为等边三角形．

所以 ????=????，????=????，?? 为 ???? 的中点，????⊥????， 由 ????=????，????=????，????=????， 得 △??????≌△??????，

所以 ????⊥????，????∩????=??， 所以 ????⊥面????????， 因为 ?????面????????， 所以 ????⊥????．

（2） 因为 ????=4，????=3， 所以 ????= 7，??????????= 3+6 ? 3=

22

1

3

274

3，

274

所以四棱锥 ??????????? 的体积 ?????????????=3? 7?

1

3=4 21．

9

20. （1） 设 ?? 点坐标为 ??0,??0 ，?? 点坐标为 ??,?? ， ??=??0,223 而 ?? 点在 ??2+??2=25 上，代入得 ??+??=1． =???? 得， 3由 ??????=??,

5

50

25

9

（2） 由题设知，??1 ?4,0 ，则 ????:??=??1 ??+4 ，????:??=??2 ??+4 ，

222

将 ???? 与 ?? 的方程联立消 ?? 得 25??1+9 ??2+200??1??+400??1?225=0，

设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，则 ??1，??2 是该方程的二根， 则 则

???? = ??1???2 2+ ??1???2 22 = 1+??1??1???2 2

2 = 1+??1??1+??2 2?4??1??2

??1+??2=???1??2=

2?225400??12+925??1

2+925??1

2200??1

,

,

422

400??1?4 400??1?225 25??1+9 2

= 1+??1 ?2 25??1+9 22 90 1+??1=.225??1+9

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