湖南省湘东五校2024下学期高三联考文数试题

湖南省湘东五校2017年下期高三联考

文科数学试题

总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2017年12月8日 姓名_______________ 考号_______________

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知全集U=R,A=?x|x?0?,B??x|x?1?,则集合CU(A?B)=

A.?x|x?0? B.?x|x?1? C.?x|0?x?1? D.?x|0?x?1? 2.若复数(m2?m)?mi为纯虚数，则实数m的值为[来源:学_科_网]

A.?1 B.0 C.1 D.2 3．下列说法中正确的是

A．“a?1，b?1”是“ab?1”成立的充分条件 B．命题p:?x?R，2x?0,则?p:?x0?R，2x0?0 C．命题“若a?b?0，则

11?”的逆命题是真命题 ab D．“a?b”是“a2?b2”成立的充分不必要条件 4.已知x?0,y?0,a?(x,1),b?(1,y?1),若a?b,则

14?的最小值为 xyA.4 B.9 C.8 D.10 5．已知直线m,l，平面?,?,且m??,l??,给出下列命题： ①若?∥?，则m?l； ②若???，则m∥l；

③若m?l，则???； ④若m∥l，则???. 其中正确的命题是 A．①④ B．③④ C．①② D．①③

6．已知在等比数列?an?中，a3?7，前三项之和S3?21，则公比q的值是

A．1 B.?111 C.1或? D. ?1或 2227.将函数f?x??sin?x??????的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象6?的一条对称轴方程可能是

A．x???12

B．x??12

C．x?

?3

D．x?2? 38.程序框图如下图所示，当A?24时，输出的k的值为 25S?A开始k?1,S?01S?S?k(k?1)是输出 k结束 否k?k?1A．23 B．24 C．25 D．26

9.已知正三棱锥P—ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外 接球的表面积为

16? 3100?C．

3 A．

B．

64? 3D．12?

10．已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C，其中OA?OB?0，存在实数?,?满足OC??OA?uOB?0，则实数?,?的关系为 A．?2??2?1 B．

1??1??1 C．???1 D．????1

?7?x?0?|x?1|,f(x)?11．已知函数，g(x)?x2?2x，设a为实数，若存在实数m，??2e?x?e?1nx,使f(m)?2g(a)?0，则实数a的取值范围为

A．[?1,??) B．(??,?1]?[3,??) C．[?1,3] D．(??,3] 12．已知点且满足离心率为

是抛物线

，当

的对称轴与准线的交点，点取最大值时，点

恰好在以

为抛物线的焦点，

在抛物线上

为焦点的双曲线上，则双曲线的

A．

B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

?y?x?13. 已知满足x,y不等式组?x?y?2,则z?2x?y的最大值为_____________

?x?2?14. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1,a2,a3,a4,a5的方差为8, 则d的值为 __． 15. 圆心在抛物线y?12x(x?0)上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为 21?(3?m)lnx,若对任意的m?(4,5),x1,x2?[1,3],恒有x__________________． 16．已知函数f(x)?3mx?(a?ln3)m?3ln3?f(x1)?f(x2)成立,则实数a的取值范围是 __________________

三.解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?32sin2x?cos2x?12.

(Ⅰ)求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合； (Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且c?若sinB?2sinA，求a，b的值．

18.(本小题满分12分)

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:

日期 雅创教育网 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x(°C) 10 11 13 12 8 6 3，f(C)?0，

就诊人数y(个) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.

(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程?y?bx?a；

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式: b??xy?nxy?(x?x)(y?y)iiiii?1nnn?xi?12i?nx2?i?1?(x?x)ii?1n,a?y?bx)

2参考数据：11?25?13?29?12?26?8?16?1092， 112?132?122?82?498

19．（本小题满分12分） 如图，在多面体

中，四边形

．

（I）求证：

；

是正方形，

是等边三角形，

A1C1B1（II）求多面体ABC?A1B1C1的体积.

20. （本小题满分12分）

ACBx2y23已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点P(2,?1)．

ab2（I）求椭圆C的方程；

（II）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于两点

A(x1,y1),B(x2,y2)，若直线PQ平分?APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?(lnx?k?1)x(k?R)． （I）当x?1时，求f(x)的单调区间和极值；

2（II）若对于任意x?[e,e]，都有f(x)?4lnx成立，求k的取值范围；

(Ⅲ)若x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明：x1x2?e2k．

请考生在第(22)题、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中曲线C的极坐标方程为?sin???cos???，点M(?，). 以极点O为原点，

??以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为-?的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点. （Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积.

23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)?x?a,其中a?1

（Ⅰ）当a?2时,求不等式f(x)?4?x?4的解集.

（Ⅱ）已知关于x的不等式f(2x?a)?2f(x)?2的解集为?x|1?x?2?,求a的值

湖南省湘东五校

2017年下期高三联考

文科数学试题答案

总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2017年12月8日 姓名_______________ 考号_______________

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. D 2. C 3． A 4. B 5． A 6． C 7. D 8. B 9. B 10． A 11． C 12． C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 6 14. ?2

15. (x?1)2?(y?122)?1

16． [376,??)

三.解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）f(x)?32sin2x?1?cos2x13cos2x2?2?2sin2x?2?1 ????2分 ??sin(2x?)?1． ????????????????4分

6当2x?????2k??，即x?k??（k?Z）时，f(x)的最小值为?2． 626?，k?Z}． ????????6分 6此时自变量x的取值集合为{x|x?k??（或写成{x|x?k????，k?Z}）． 6?6（2）因为f(C)?0，所以sin(2C?)?1?0，又0?C??， 所以2C?????，即C?． ???????????8分 6233， ??9分

在△ABC中， sinB?2sinA，由正弦定理知b?2a，又c?由余弦定理知(3)2?a2?b2?2abcos?，即a2?b2?ab?3， 3?a2?b2?ab?3,联立?

?b?2a,解得a?1,b?2． ?????????????????12分

18解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ， 所以P(A)?51? 153 ?????????????????.4分

(Ⅱ)由数据求得x?11,y?24 由公式求得b?再由a?y?bx??18 7

30 7

所以y关于

x的线性回归方程为?y?

1830x? ??8分 77y?(Ⅲ)当x?10时,?150150?22|?2； , |7778, 7y?同样, 当x?6时,?78?12?2 7所以,该小组所得线性回归方程是理想的.??????????????????.12分 19.

证明及解：

（Ⅰ）取BC中点D，连AD,B1D,C1D，

?B1C1∥BC,BC?2B1C1

?BD∥B1C1,BD?B1C1，CD∥B1C1,CD?B1C1 ?四边形BDC1B1,CDB1C1是平行四边形

A1C1B1ADCB?C1D∥B1B,C1D?B1B，CC1∥B1D

又B1D?平面A1C1C，C1C?平面A1C1C

?B1D∥平面A1C1C

在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1,BB1?AA1，?C1D∥AA1,C1D?AA1，

?四边形ADC1A1为平行四边形

?AD∥A1C1

又AD?平面A1C1C，A1C1?平面A1C1C

?AD∥平面A1C1C

?B1D?AD?D，?平面ADB1∥平面A1C1C

又AB1?平面ADB1

?AB1∥平面A1C1C. ?????6分

（Ⅱ）在正方形ABB1A1中，AB1?22，又?A1BC是等边三角形，所以A1C?BC?2，

所以AC2?AA1?A1C2,AB2?AC2?BC2 于是AA1?AC,AC?AB

又AA1?AB，?AA1?平面ABC，?AA1?CD 又CD?AD,AD?AA1?A，?CD?平面ADC1A1

于是多面体ABC?A1B1C1是由直三棱柱ABD?A1B1C1和四棱锥C?ADC1A1组成的. 又直三棱柱ABD?A1B1C1的体积为

1?11????1?1??1?， 2?24?四棱锥C?ADC1A1的体积为?故多面体ABC?A1B1C1的体积为

13221?1??， 226115??.?????12分 4612a2?b23c3?，即a2?4b2， 20．解：（1）因为椭圆C的离心率为?，所以2a4a2222所以椭圆C的方程可化为x?4y?4b，

又椭圆C过点P(2,?1)，所以4?4?4b2，解得b2?2,a2?8， 所以所求椭圆C的标准

x2y2??1. ????????????????4分 方程为82（2）由题意，设直线PA的方程为y?1?k(x?2)，

?x2?4y2?8,联立方程组?

?y?k(x?2)?1,2222消去y得：(1?4k)x?8(2k?k)x?16k?16k?4?0， ??????6分

16k2?16k?48k2?8k?2所以2x1?，即x1?，

1?4k21?4k2因为直线PQ平分?APB，即直线PA与直线PB的斜率为互为相反数，

28k?8k?2设直线PB的方程为y?1??k(x?2)，同理求得x2?. ????9分

1?4k2?y1?1?k(x1?2),又?所以y1?y2?k(x1?x2)?4k，

y?1??k(x?2),2?216k16k2?48k?4k??x?x?即y1?y2?k(x1?x2)?4k?k，. 122221?4k1?4k1?4k所以直线AB的斜率为kAB8k2y1?y211?4k????. ????????12分 16kx1?x2221?4k?

21. 解：（1）f?(x)?1?x?lnx?k?1?lnx?k， x①k≤0时，因为x?1，所以f?(x)?lnx?k?0，

函数f(x)的单调递增区间是(1,??)，无单调递减区间，无极值； ②当k?0时，令lnx?k?0，解得x?ek， 当1?x?ek时，f?(x)?0；当x?ek，f?(x)?0．

kk所以函数f(x)的单调递减区间是(1,e)，单调递增区间是(e,??)，

kkk在区间(1,??)上的极小值为f(e)?(k?k?1)e??e，无极大值． ???4分

（2）由题意，f(x)?4lnx?0，

2即问题转化为(x?4)lnx?(k?1)x?0对于x?[e,e]恒成立，

即k?1?令g(x)?(x?4)lnx2对于x?[e,e]恒成立， x(x?4)lnx4lnx?x?4，则g?(x)?， xx24?1?0， x2令t(x)?4lnx?x?4,x?[e,e]，则t?(x)?2所以t(x)在区间[e,e]上单调递增，故t(x)min?t(e)?e?4?4?e?0，故g?(x)?0， 2所以g(x)在区间[e,e]上单调递增，函数g(x)max?g(e2)?2?8． e2要使k?1?(x?4)lnx2对于x?[e,e]恒成立，只要k?1?g(x)max， x88(1?,??)． ?????8分 ，即实数k的取值范围为

e2e2所以k?1?2?

kk（3）证法1 因为f(x1)?f(x2)，由（1）知，函数f(x)在区间(0,e)上单调递减，在区间(e,??)k?1上单调递增，且f(e)?0．

kk?1不妨设x1?x2，则0?x1?e?x2?e，

e2ke2kk要证x1x2?e，只要证x2?，即证e?x2?．

x1x12ke2k因为f(x)在区间(e,??)上单调递增，所以f(x2)?f()，

x1ke2k又f(x1)?f(x2)，即证f(x1)?f()，

x1e2ke2ke2k?k?1)构造函数h(x)?f(x)?f()?(lnx?k?1)x?(ln，

xxx即h(x)?xlnx?(k?1)x?e2k(2klnxk?1?)，x?(0,ek)． xx1?lnxk?1(x2?e2k）?2)?(lnx?k) h?(x)?lnx?1?(k?1)?e(， x2xx2k因为x?(0,e)，所以lnx?k?0,x2?e2k，即h?(x)?0， kk所以函数h(x)在区间(0,e)上单调递增，故h(x)?h(e)，

e2k而h(e)?f(e)?f(k)?0，故h(x)?0，

ekke2ke2k2k所以f(x1)?f()，即f(x2)?f(x1)?f()，所以x1x2?e成立． ???12分

x1x12k （3）证法2 要证x1x2?e成立，只要证：lnx1?lnx2?2k.

因为x1?x2，且f(x1)?f(x2)，所以(lnx1?k?1)x1?(lnx2?k?1)x2，

即x1lnx1?x2lnx2?(k?1)(x1?x2)，x1lnx1?x2lnx1+x2lnx1?x2lnx2?(k?1)(x1?x2)， 即(x1?x2)lnx1?x2lnx1?(k?1)(x1?x2)， x2x1xx1ln1x2，同理x2，

k?1?lnx1?k?1?lnx2?x1?x2x1?x2x2lnx1xx1ln1x2x2从而，

2k?lnx1?lnx2???2x1?x2x1?x2x2lnx1xx1ln1x2x2要证lnx1?lnx2?2k，只要证， ??2?0x1?x2x1?x2x2ln令不妨设x1?x2，则0?x1?t?1， x2lntlnt??2?0(t?1)lnt?2， 1即证t?1，即证

1?t?1t即证lnt?2t?1对t?(0,1)恒成立， t?114(t?1)2t?1??0， (0?t?1)，h'(t)??设h(t)?lnt?222t(t?1)t(t?1)t?12k所以h(t)在t?(0,1)单调递增，h(t)?h(1)?0，得证，所以x1x2?e. ???12分

请考生在第(22)题、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.

22.解由?sin???cos???得

?2sin2???cos??y2?x即为曲线C的直角坐标方程.

3??x?tcos??4(t为参数) 直线l的参数方程为??y?1?tsin3??4??2x??t??2(t为参数) ???????????????5分 即??y?1?2t?2??2x??t??2(t为参数)代入曲线C的方程得 (2) 直线l的参数方程??y?1?2t?2?t2?32t?2?0,

设A,B对应的参数为t1,t2,则

?t1?t2??32,由t的几何意义知 ?tt?2?12MAMB?t1t2?t1t2?2 ?????????????10分

??2x?6,x?2??2?x?4 23解(1)当a?2时,f(x)?x?4??2,?2x?6,x?4?当x?2时,由?2x?6?4?x?1

当?2?x?4时,由2?4,不成立. 当x?4时,由2x?6?4?x?5

综上:当a?2时,不等式的解集为x|x?1,或x?5 ?????????????5分 ??(2)记h(x)?f(2x?a)?2f(x)

??2a,x?0则h(x)???4x?2a,0?x?a?[

?2a,x?a由h(x)?2得a?1a?12?x?2 又已知h(x)?2的解集为?x|1?x?2? 所以

a?1a2?1且?12?2,所以a?3 ??????????10分

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