最新2024届天津高三数学理科试题精选分类汇编5：数列

最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编5：数列

一、选择题

1 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知函数

a??(4?)x?4(x?6),f(x)??2?a?0,a?1? 数列?an?满足an?f(n)(n?N*),且?an?是单调递增

?ax?5(x?6).?数 ）

列

,

则

实

数

a的取值范围（

是

A．?7,8? B．?1,8? C．?4,8? D．?4,7?

2 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版））已知等差数列

?a?中,a+a=16,S

n7

9

11

=

99,2是

则 ） A．15

a12的值

（

B．30 C．31 D．64

3 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）数列

{an}的前n项和为

50

项的和为

（

Sn?n2?n?1,bn?(?1)nan(n?N*),则数列{bn}的前

） A．49

B．50 C．99 D．100

4 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）已知正项等比数列{an}满足：

a7=a6?2a5，若存在两项an,am使得

） A．

aman?4a1，则

14?的最小值为mn（

3 2B．

5 325C．6

D．不存在

5 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）等差数列{an}中，如果a1?a4?a7=39，

a3?a6?a9=27

） A．297

，数列{a

n}前9项的和（

为

B．144 C．99

·1·

D．66

6 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）若?ABC的三个内角成等差数列,三边

成等

）

A．直角三角形

比数列,则?ABC

（

是

B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形

7 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知正项等比数列

?an?满足：a7?a6?2a5，

的最小值为

（

若存在两项

） A．

am,an使得

aman?4a1，则

14?mn3 2B．

53C．

25 6D．不存在

8 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设Sn是等差数列{an}的前n项和，

S5?3(a2?a8)

） A．

，

则

a5a3的值

（

为

1 6B．

13C．

35D．

569 ．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）已知等比数列{an}的首项为1，若

4a1,2a2,a3

） A．

成等差数列，则数列

?1????an?的前5项和（

为

31 16B．2 C．

33 16D．

16 33中，若

，

二、填空题

10．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）正项等比数列

则等于______.

11．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某公园设计节日鲜花摆放方案,

其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个

花盆(如图).

·2·

设第n层共有花盆的个数为f(n),则f(n)的表达式为_____________________.

12．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）数列{an}中，若a1=1，an?1?2an?3（n≥1），则该数列的通项an=________。

13．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）等差数列{an}中,a1?1,a7?4,在等

比数列{bn}中,b1?6,b2?a3则满足bna26?1的最小正整数n是____.

14．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）在数列{an}中，an?(n?1)()，则数列{an}78n中的最大项是第 项。

15．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设数列{an}满足an?1?3an?2n，(n∈N﹡)，且a1?1，则数列{an}的通项公式为 . 16．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）若S?111??????，则1?33?5(2n?1)(2n?1)S? . 17．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,?,in)（n是不小于3的正整数），若对任意的p，当p?q时有ip?iq，q?{1,2,3,?,n}，

则称ip,iq是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2,3,1）的逆序数等于2.若数组(i1,i2,i3,?,in)的逆序数为n，则数组(in,in?1,?,i1)的逆序数为_________；

18．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）设{an}是等比数列，公比q?2，Sn

为{an}的前n项和.记Tn?三、解答题

17Sn?S2n，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0=__________； n?N*，

an?119．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题） 已知A(

,)，B(,)是函数

·3·

的图象上的任意两点（可以重合），点M在

直线上，且

+

的值及，当

. +

的值 时，=

，

+为数列{

+

+

，求

；

，

（1）求 （2）已知

（3）在（2）的条件下，设}的前项和，若存在正整数、

使得不等式

成立，求和的值.

20．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设等差数列

的首项及公差d都

为整数，前n项和为Sn. （1）若 （2）若

21．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）设等比数列

，求数列的通项公式；

的通项公式.

求所有可能的数列

?an?的前n项和为Sn,已知an?1?2Sn?2(n?N). (Ⅰ)求数列?an?的通项公式;

(Ⅱ)在an与an?1之间插入n个数,使这n?2个数组成公差为dn的等差数列, 设数列???15?1?T?的前项和,证明:. Tn?nn16?dn??22．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版））已知数列{an}中,a1=1,若

·4·

2an+1-an=

n-21,bn=an-

n（n?1）（n?2）n（n?1）(1)求证:{ bn }为等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)若Cn=nbn+

23．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知数列{an}的前n项和

1,且其前n项和为Tn,求证:Tn<3.

n（n?1）1Sn??an?()n?1?2(n为正整数)

2(Ⅰ)令bn?2nan,求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

n?15nan,Tn?C1?C2???Cn,试比较Tn与(Ⅱ)令Cn?的大小,并予以证明 n2n?124．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）已知数列

a1?1,a2?3,an?1?4an?3an?1n?N*,n?2,

(1)证明:数列{an?1?an}是等比数列,并求出{an}的通项公式

bbb*(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,且对任意n?N,有1?2???n?2n?1成立,求

a12a2nanSn

25．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））设数列

??{an}满足

?an?的前n项和为Sn.已

知a1?1，an?1?3Sn?1，n?N?．

·5·

（Ⅰ）求数列

T?nan?的前n项和，求Tn． ?an?的通项公式；

（Ⅱ）记n为数列

26．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足

Sn=2-an，n=1，2，3，?

（1）求数列{an}的通项公式；（4分）

（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn?1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；（6分） （3）设Cn=n（3- bn），求数列{ Cn}的前n项和T n。（6分）

27．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）已知数列{an}的前n项和为

Sn,且Sn?2an?2(n?N*),

数列{bn}满足b1?1,且点P(bn,bn?1)(n?N*)在直线y?x?2上. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an?bn}的前n项和Dn; (Ⅲ)设cn?an?sin2n?n??bn?cos2(n?N*),求数列{cn}的前2n项和T2n. 22?

?x?0,28．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）对n∈N不等式?y?0,所表示

??y??nx?2n?的平面区域为Dn,把Dn内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),求xn,yn;(2)数列{an}满足a1=x1,且n≥2时

2

an=yn(1?1???1).证明:当n≥2时,

22y12y2yn?1an?1a11111?n?2;(3)在(2)的条件下,试比较(1?)?(1?)?(1?)???(1?)与4的大小关系. 22(n?1)nna1a2a3an

29．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）数列{an}满足

4a1=1,an-1=[(-1)an-1-2]an(n≥2),(1)试判断数列{1/an+(-1)}是否为等比数列,并证明;(2)设2

an?bn=1,求数列{bn}的前n项和Sn.

·6·

nn

30．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知a1?2,点(an,an?1)在函数

f(x)?x2?2x的图象上,其中n?1,2,3?

(1)证明数列?lg(1?an)?是等比数列;

(2)设Tn?(1?a1)?(1?a2)???(1?an),求Tn及数列?an?的通项; (3)记bn?

31（．天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，

11,求数列?bn?的前n项和Sn. ?anan?2(n=1，2，3，?)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn?1?bn?an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)cn?n(3-bn),求cn的前n项和Tn2

32．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列{an}的前

n项和Sn??an?()n?1?2(n?N*)，数列{bn}满足bn?2nan. （1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设数列?125n?n?1?； an?的前n项和为Tn，证明：n?N*且n?3时，Tn?2n?1?n?（3）设数列{cn}满足an(cn?3n)?(?1)n?1?n（?为非零常数，n?N*），问是否存在整数?，使得对任意n?N*，都有cn?1?cn.

·7·

最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编5：数列参考答案

一、选择题 1. C 2. A 3. A 4. 【答案】A

【解析】因为a7=a6?2a5，所以a5q2=a5q?2a5，即q2?q?2?0，解得q?2。若存在两项

an,am，有

aman?4a1，即aman?16a12，a12qm?n?2?16a12，即2m?n?2?16，所以

，

即

m?n?2?4,m?n?6m?n?16。所以

1?m(4m?1n4?)?(n6m6n)?m14mmn1n4=)即当且仅(?，5?当?6nmnm2n(nn2?4m2,n?2m取等号，此时m?n?6?3m，所以m?2,n?4时取最小值，所以最小值为

3，选A. 25. 【答案】C

【解析】由a1?a4?a7=39，得3a4=39，a4=13。由a3?a6?a9=27，德3a6=27，a6=9。所以S9?9(a1?a9)9(a4?a6)9?(13?9)===9?11=99，选C. 2226. 【答案】C

?解:设三个内角A,B,C为等差数列,则A?C?2B,所以B?60.又a,b,c为等比数列,所以

ac?b2,即b2?a2?c2?2accos60??a2?c2?ac?ac,即a2?c2?2ac?0,所以

,选C. (a?c2)?0a,?,所以三角形为等边三角形c7. 【答案】A

【解析】因为a7=a6?2a5，所以a5q2=a5q?2a5，即q?q?2?0，解得q?2。若存在两项

2an,am，有aman?4a1，即aman?16a12，a12qm?n?2?16a12，即2m?n?2?16，所以

，

即

m?n?2?4,m?n?6m?n?16。所以

·8·

1414m?n14mn14mn34mn=即??(?)()?(5??)?(5+2?)=，当且仅当

nmmnmn66nm6nm2n2?4m2,n?2m取等号，此时m?n?6?3m，所以m?2,n?4时取最小值，所以最小值为

3，选A. 28. 【答案】D

【解析】由S5?3(a2?a8)得，

9. 【答案】A

5(a1?a5)a5?3?2a5，即5a3?6a5，所以5?，选D. 2a36解：因为4a1,2a2,a3成等差数列，所以4a1?a3?4a2，即4a1?a1q2?4aq1，所以，即(q?2q2?4q?4?0)2所以an?a1qn?1?2n?1，所以0?，q2?，

?1?11所以???()n?1，

an2?an?11(1?()5)2?2[1?(1)5]?31，选A. 的前5项和S5?12161?2二、填空题 10. 【答案】16

4aa?aalog(aa)?4aa?2?16，即29840602298298【解析】在等比数列中，，所以由，得

a40a60?16。

11.

f(n)?3n2?3n?1

12. 【答案】an?2n?1?3,n?1

【解析】因为an?1?2an?3，所以an?1?3?2an?3?3?2(，即数列{an?3}是以an?3)a1?3?4为首项，公比q?2的等比数列，所以数列的通项an?3?4?2n?1?2n?1,n?1。所以

an?2n?1?3,n?1

13. 【答案】6

解:在等差数列中,a7?a1?6d?4,所以d?

1

,a?a1?2d?1?1?2.所以在等比数列中23·9·

b2?b1q,即q?25271n?1b221n?1?,bn?b1q?6().则由??.所以a26?a1?25d?1?223b163127bna26?6()n?1??35?n?1,得5?n?0,即n?5,所以n的最小值为6.

3214. 【答案】6或7

【解析】假设an最大，则有??an?an?1?an?an?17n7n?1?(n?1)()?(n?2)()??88，即?，所以

?(n?1)(7)n?n?(7)n?1?88??(n?1?)n(?????(n?17)?n?8?15. 【答案】an7?2)8，即6?n?7，所以最大项为第6或7项。

?3n?2n,n?N?

n?1n【解析】设an?1?x?即an?1?32n?1?3(an?x?2n)，an?3x2??x2??3a?nx2?n，所以x?1，

即an?1?2n?1?3(an?2n)，所以数列{an?2n}是以a1?2?3为首项，公比q?3的等比数列，所以an?2n?3?3n?1?3n，所以an?3n?2n,n?N?.

16. 【答案】

n 2n?1【解析】1111111111?)，?(?)，所以S?(1??????23352n?12n?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?111n?(1?)?。 22n?12n?1n2?3n17.

218. 【答案】4

a1[1?(2n)]a1[1?(2)2n]解：设首项为a1，则Sn?，S2n?，an?1?a1(2)n，所以

1?21?2Tn?17Sn?S2nan?117a1[1?(2)n]a1[1?(2)2n]?1?21?2 ?na1(2)·10·

1(2)2n?17(2)n?16??1?2(2)n?11?[(2)n??17]n1?2(2)，因为

(2)n?161616nn，当且仅当(2)?，即(2)n?4，n?4时?2(2)??8nnn(2)(2)(2)111?[(2)n??17]??(8?17)?1?2(2)n1?29,有最大值，所以2?1取等号，此时Tn?n0?4.

三、解答题

19. 解：（Ⅰ）∵点M在直线x=

上，设M.

，

，

又 ∴

+

＝=1. =

，即

① 当 ② 当

+

=

时，时，

=，，

+=；

+===

综合①②得， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 ∴ n≥2时，

①＋②得，2

++

. =1时, ，k=+

+

++

.

， ① ， ②

=-2(n-1),则=1-n.

·11·

当n=1时， （Ⅲ）

=

=

=0满足，

=1+

=1-n. ∴+

=1-n.

=

.

.

∴

=2-，=-2+=2-，

，、m为正整数，∴c=1，

当c=1时，，

∴1<<3， ∴m=1.

20.解：（Ⅰ）由

的通项公式是

1，2，3，?，

又 故解得 因此，

（Ⅱ）由 得

即

由①+②得－7d<11，即

由①+③得, 即,

于是 又，故

·12·

.

将4代入①②得 又

，故

的通项公式是 1，2，3，?.

所以，所有可能的数列

21.设等比数列

?an?的前n项和为Sn,已知an?1?2Sn?2(n?N?). (Ⅰ)求数列?an?的通项公式;

??1?(Ⅱ)在an与an?1之间插入n个数,使这n?2个数组成公差为dn的等差数列,设数列??的前

??dn?n项和Tn,证明:Tn?15. 16**

【D】18．解(Ⅰ)由an?1?2Sn?2(n?N)得an?2Sn?1?2(n?N,n?2),

*

两式相减得:an?1?an?2an, 即an?1?3an(n?N,n?2),

∵{an}是等比数列,所以a2?3a1,又a2?2a1?2, 则2a1?2?3a1,∴a1?2, ∴an?2?3n?1

(Ⅱ)由(1)知an?1?2?3n,an?2?3n?1

4?3n?1∵an?1?an?(n?1)dn , ∴dn?,

n?1令Tn?则Tn?1111????, d1d2d3dn234n?1???+ ①

4?3n?14?304?314?32123nn?1Tn????? ② n?1n124?34?334?34?322111n?1?????①-②得Tn? 012n?1n34?34?34?34?34?3·13·

11(1?n?1)11n?152n?53 ???3???nn1244?388?31?3152n?515?Tn??? n?11616?316bn?1?bnan?1?an1n?21??(n?1)(n?2)22n(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)1 ??112an?an?n(n?1)n(n?1)----6

22.解:(1)

?{bn}为等比数列, 又?b1 =

(2)由(1)可知

111, q=?bn?()n---------------------7 222Cn?n1 ?2nn(n?1)123n111 ?2?3?????n???????22221?22?3n(n?1)n?21??3------------------------13 n2n?1?Tn?1??Tn?3?

11Sn??an?()n?1?2a1?S??an?1?2?a1,即22 23.解:(I)在中,令n=1,可得111Sn?1??an?1?()n?2?2，?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?122当n?2时,, 1?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?12.

?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1.

又

b1?2a1?1,?数列?bn?是首项和公差均为1的等差数列.

bn?1?(n?1)?1?n?2nan,?an?n2n.

于是

(II)由(I)得

cn?n?11an?(n?1)()nn2,所以

·14·

①

②

由①-②得

11[1?()n?1]13n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?112221?2n?3?Tn?3?n2

5nn?35n(n?3)(2n?2n?1)Tn??3?n??2n?122n?12n(2n?1)

Tn与5nn2n?1 的大小关系等价于比较2与2n?1的大小

n于是确定由

2?2n?1.证明如下: 可猜想当n?3时，证法1:(1)当n=3时,由上述验算显示成立. (2)假设n?k?1时

所以当n?k?1时猜想也成立

n综合(1)(2)可知,对一切n?3的正整数,都有2?2n?1.

证法2:当n?3时,

综上所述,当n?1,2时24.解:(1)由an?1Tn?5n5nTn?2n?1,当n?3时2n?1

?4an?3an?1可得an?1?an?3(an?an?1),a2?a1?2,

·15·

?{an?1?an}是以2为首项,3为公比的等比数列 ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1

2(1?3n?1)??1?3n?1

1?3(2)n?1时,

b1?3,b1?3,S1?3 a1n?2时,

bn?2n?1?(2n?1)?2,bn?2nan?2n?3n?1 nanSn?3?2?2?3?2?3?32???2?n?3n?1 ?2(1?30?2?31?3?32???n?3n?1)?1

设x?1?3?2?3?3?3???n?3123012n?1

n?1则3x?1?3?2?3?3?3???(n?1)?3?n?3n

2x?n?3?(3nn?1?3n?23n?1???3)?n?3?

20n1?3?Sn??n???3n?

2?2?综上,Sn??n???1?n3??3? 2?2n?125.解：（Ⅰ）由题意，a?3Sn?1，则当n?2时，an?3Sn?1?1.

两式相减，得an?1?4an（n?2）. ?????????????????2分 又因为a1?1，a2?4，

a2?4，?????????????????4分 a1所以数列?an?是以首项为1，公比为4的等比数列，????????5分 所以数列?an?的通项公式是an?4n?1（n?N?）. ????????????6分

·16·

（Ⅱ）因为Tn?a1?2a2?3a3???nan?1?2?4?3?4???n?4所以4Tn?4?1?2?4?3?4???(n?1)?4两式相减得，?3Tn?1?4?4???4整理得，Tn?2n?12n?1，

23n?1?n?4n， ????????8分

1?4n?n?4??n?4n， ???11分

1?4n3n?1n1?4? (n?N?). ????????????13分 9926. （1）a1=S1=1

1分 n≥2时，Sn=2-an

1分

Sn?1=2-an?1

1分

an=an+an?1 2an= an?1

∵a1=1 ana=1

1分

n?12∴a1n?n=(

2)1 1分

（2）bn?1n?1-bn=（

12)

1分

b?(1)0?2?b12??b11?3?b2?(2)?

1分

bb1?n?2?n?n?1?(2)??1?1∴b(1)+??+（1)n?2n?1n-b1==

2221?12=2-

12n?2

∴b1n=3-

2n?2 1分

1分

17·

·∵b1=1 成立 1分

∴b1n=3-（

2)n?2 （3）C1n?2n=n（2) 1分

T1?1101n?2n=1×（2)+2（2)+??+n（2)

12 T=1×（12)0+??+(n-1) （12)n?2+n（1n?1n2) 1?1=2+

2n?1-n（1)n?11?12 2=2+2-（1n?21n?12)-n（2)

∴T1nn?2n=8-2n?3-2n?2=8-2n?2

27. 【解】(Ⅰ)当n?1,a1?2

当n?2时,an?Sn?Sn?1?2an?2an?1

∴ an?2an?1(n?2),∴{an}是等比数列,公比为2,首项a1?2 ∴an?2n

又点P(bn,bn?1)(n?N*)在直线y?x?2上,∴ bn?1?bn?2, ∴{bn}是等差数列,公差为2,首项b1?1,∴bn?2n?1 (Ⅱ)∴an?bn?(2n?1)?2n

∴D1234n?1?2?3?2?5?2?7?2???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n2D2n?1?2?3?23?5?24?7?25???(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1 ①—②得

?D14n?1?2?2?22?2?23?2?2???2?2n?(2n?1)?2n?1

4(1?2n?1?2?2?)1?2?(2n?1)?2n?1?2n?1(3?2n)?6

·18·

①

②

Dn?(2n?3)2n?1?6

?2nn为奇数(Ⅲ)cn??

n为偶数?(2n?1)?T2n?(a1?a3???a2n?1)?(b2?b4??b2n)

?2?2???232n?122n?1?2?[3?7???(4n?1)]??2n2?n

328.解:(1)当n=1时,(x1,y1)=(1,1)

n=2时,(x2,y2)=(1,2) (x3,y3)=(1,3) n=3时,(x4,y4)=(1,4)

?xn?1(n?N*) n时 (xn,yn)=(1,n)??y?n?n1111?an?(?????)2?n2122232(n?1)aa1?(2)由? ?n?12?n?22n?an?1?(1?1?1???1)(n?1)n2?122232n2?(n?1)(3)当n=1时,1?1115?2?4,n?2时,(1?)(1?)?2??4成立 a1a1a24an?1an?1an?1n2?2即由(2)知当n≥3时, ?22(n?1)nan?1(n?1)(1?1?a11?a21?a31?an1111 )(1?)(1?)?(1?)????a1a2a3ana1a2a3an=

11?a11?a21?a31?an?1?????(1?an) aa2a3a4an12232(n?1)2n2=2??2?2???an?1 22434n(n?1)=2?an?11111?2[1??????] 22222(n?1)23(n?1)n11111?2[1?(1?)?(?)???(?)]

223n?1n·19·

?1111???(n?2)n2n(n?1)n?1n

=2(2?)?4?

29.解:(1)由

1n2?4 得证 n12 ?(?1)n?anan?1[11?(?1)n]??2[?(?1)n?1] anan?11?(?1)nan??2(n?N*且n?2) 即

1?(?1)n?1an?1(?1)nan?1?21n?(?1)?(?1)nanan?12(?1)nan?1?2另:????2 n11(?1)an?1?1?(?1)n?1?(?1)nan?1an?1?1????(?1)n?是首项为3公比为-2的等比数列 ?an?11?(?1)n?3(?2)n?1??3(?2)n?1?(?1)n?1 anan(2)由an2bn?1

?bn?1n?1n?1?9?4?6?2?1 2an9(4n?1)6(2n?1)Sn???n

4?12?1=3?4?6?2?n?9(n?N*)

30. (Ⅰ)由已知an?12?an?2an,

nn?an?1?1?(an?1)2

?a1?2 ?an?1?1,两边取对数得 lg(1?an?1)?2lg(1?an),即

lg(1?an?1)?2

lg(1?an)·20·

?{lg(1?an)}是公比为2的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知lg(1?an)?2n?1?lg(1?a1)?2n?1?lg3?lg32 ?1?an?32(*)

n?1n?1?Tn?(1?a1)(1?a2)…(1+an)?32?32?32?…?32?31?2?2由(*)式得an?32n?1012n-12?…+2n-1=32n-1

?1

1111?(?) an?12anan?22(Ⅲ)?an?1?an?2an?an?1?an(an?2) ?

?112 ??an?2anan?11111??bn?2(?) anan?2anan?111111111????…+?)?2(?) a1a2a2a3anan?1a1an?1n又bn??Sn?b1?b2?…+bn ?2(?an?32?1,a1?2,an?1?32?1?Sn?1?31.解: (Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2

n?123?12n.

∴a1=1

∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an ∵an≠0 ∴

an?11?(n∈N*) an211n?1

的等比数列.an=()(n∈N*) 22

所以，数列{an}为首项a1=1，公比为

·21·

11?(1)n?1?(1)2?(1)3???(1)n?22222?2?2?2(1)n?11?12

2又∵b11=1，∴bn=3-2(

2)n-1

(n=1，2，3，…) cn

(3)n?2n-1所以T1n?2Tn?Tn?2?1?2???1n1nn?22n?2?2n?1?4?2n?2?2n?1?4?2n?1 32.解：（1）在Sn??a1n?1n?(2)?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?12当n?2时，S12n?1??an?1?()n??2，∴an?S1n?12n?Sn?1??an?an?1?(2)， ∴2a1n?an?1?(2)n?1，即2nan?2n?1an?1?1.

∵bnn?2an，∴bn?bn?1?1，即当n?2时，bn?bn?1?1. 又b1?2a1?1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 于是bnn?1?(n?1)?1?n?2nan，∴an?2n. （2）由（1）得cn?1n?nan?1)(1n?(2)n，所以 Tn?2?12?3?(12)2?4?(112)3???(n?1)(2)n ① ·22·

bn-b1=1+

11111Tn?2?()2?3?()3?4?()4???(n?1)()n?1 ② 22222由①－②得Tn?1?()2?()3???()n?(n?1)()n?1

121212121211[1?()n?1]13n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?1

12221?2∴Tn?3?n?3 n25nn?35n(n?3)(2n?2n?1) Tn??3?n??n2n?12n?122(2n?1)于是确定Tn与

5nn的大小关系等价于比较2与2n+1的大小 2n?12345由2?2?1?1;2?2?2?1;2?2?3?1;2?2?4?1;2?2?5;? 可猜想当n?3时，2n?2n?1.证明如下： 证法1：①当n=3时，由上验算显示成立. ②假设n=k+1时

2k?1?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1

所以当n=k+1时猜想也成立

综合①②可知，对一切n?3的正整数，都有2n?2n?1. 证法2：当n?3时

012n?1n01n?1n2n?(1?1)n?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1

综上所述，当n=1,2时Tn?n5n5n，当n?3时Tn? 2n?12n?1(?1)n?1??nn3?(?1)n?1??2n （3）∵cn?3?an∴cn?1?cn?[3n?1?(?1)n??2n?1]?[3n?(?1)n?1??2n]

?2?3n?3?(?1)n?1?2n?0

?3?∴(?1)n?1??????2?n?1 ①

·23·

?3?当n=2k－1，k=1,2,3,??时，①式即为?????2?依题意，②式对k=1,2,3??都成立，∴??1

2k?2 ②

?3?当n=2k,k=1,2,3,??时，①式即为??????2?依题意，③式对k=1,2,3??都成立， ∴???2k?1 ③

33 ∴????1，又??0 22∴存在整数???1，使得对任意n?N*有cn?1?cn.

·24·

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