2024高考数学复习专题总结

（答：y=3x＋3）；

（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________

（答：18x＋y?51?0）；

（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程

（答：2x?9y?65?0）；

（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______

（答：（5,6））；

（7）已知A?x轴，B?l:y?x，C（2，1），?ABC周长的最小值为______

（答：10）。

提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 九．简单的线性规划：

1．二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y?kx?b或y?kx?b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点P(x1,y1)，

Q(x2,y2)，若Ax1?By1?C与Ax2?By2?C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的

异侧。如

已知点A（—2，4），B（4，2），且直线l:y?kx?2与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________

（答：?－?，－3???1，＋??） 2．线性规划问题中的有关概念：

①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。

②关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数； ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；

3．求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如

（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件|x|?1下，取最小值的最优解是____

|y|?1（答：（－1，1））；

（2）点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________

2（答：t?）；

3（3）不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面区域的面积是_________

（答：8）；

??x?y?2?0（4）如果实数x,y满足?x?y?4?0，则z?|x?2y?4|的最大值_________

??2x?y?5?0（答：21）

4．在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。

十．圆的方程：

?1．圆的标准方程：?x?a???y?b??r2。

220(D＋E－4F?0)特别提醒：只有当2．圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?，

DED2＋E2－4F?0时，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0才表示圆心为(?,?)，半径为

221D2?E2?4F的圆（二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是什2么？ （A?C?0,且B?0且D2?E2?4AF?0））；

3．圆的参数方程：x?a?rcos?（?为参数），其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的参数

y?b?rsin?22?方程的主要应用是三角换元：x2?y2?r2?x?rcos?,y?rsin?；x2?y2?t

?x?rcos?,y?rsin?(0?r?t)。

4．A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆方程?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0如 （1）圆C与圆(x?1)2?y2?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________

（答：x2?(y?1)2?1）；

（2）圆心在直线2x?y?3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （3）已知P(?1,3)是圆x?rcos?（?为参数，0???2?)上的点，则圆的普通方程为

y?rsin?________，P点对应的?值为_______，过P点的圆的切线方程是___________

2?（答：x2?y2＝4；；x?3y?4?0）；

322

（4）如果直线l将圆：x+y-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是__

（答：[0，2]）；

（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____

1（答：k?）；

2（6）若M?{(x,y)|x?3cos?（?为参数，0????)}，N??(x,y)|y?x?b?，若

y?3sin?M?N??，则b的取值范围是_________

?（答：(x?3)2?(y?3)2?9或(x?1)2?(y?1)2?1）；

?（答：－3,32??）

十一．点与圆的位置关系：已知点M?x0,y0?及圆C：?x-a???y?b??r2?r?0?，

（1）点M在圆C外?CM?r??x0?a???y0?b??r2； （2）点M在圆C内?CM?r??x0?a???y0?b??r2； （3）点M在圆C上?CM?r??x0?a???y0?b??r2。如

点P(5a+1,12a)在圆(x－１)＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：|a|?２

?222222221） 13十二。直线与圆的位置关系：

直线l:Ax?By?C?0和圆C：?x?a???y?b??r2?r?0?有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：??0?相交；??0?相离；??0?相切；

22（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则d?r?相交；d?r?相离；d?r?相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如

（1）圆2x2?2y2?1与直线xsin??y?1?0(??R,???2?k?，k?z)的位置关系为____

（答：相离）；

（2）若直线ax?by?3?0与圆x2?y2?4x?1?0切于点P(?1,2)，则ab的值____

（答：2）；

（3）直线x?2y?0被曲线x2?y2?6x?2y?15?0所截得的弦长等于

（答：45）；

（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；

（5）已知M(a,b)(ab?0)是圆O:x2?y2?r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax?by?r2，则

A．m//l，且l与圆相交 B．l?m，且l与圆相交 C．m//l，且l与圆相离 D．l?m，且l与圆相离

（答：C）；

（6）已知圆C：x2?(y?1)2?5，直线L：mx?y?1?m?0。①求证：对m?R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若AB?17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.

（答：②60?或120? ③最长：y?1，最短：x?1）

十三．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为

O1，O2，半径分别为r1,r2，则

（1）当|O1O2??r1?r2时，两圆外离； （2）当|O1O2??r1?r2时，两圆外切； （3）当r1?r2<|O1O2??r1?r2时，两圆相交； （4）当|O1O2???r1?r2|时，两圆内切； （5）当0?|O1O2???r1?r2|时，两圆内含。如

x2y2双曲线2?2?1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别

ab以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为

（答：内切）

十四．圆的切线与弦长：

(1)切线：①过圆x2?y2?R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0?yy0?R2，过圆

22上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：(x?a)(x0?a)?(y?a)(y0?a)?R2，一般(x?a)2?(y?b)?R地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一

定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0（(x?a)2?(y?b)2?R2）外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为

x02?y02?Dx0?Ey0?F（(x0?a)2?(y0?b)2?R2）；如

设A为圆(x?1)2?y2?1上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________

（答：(x?1)2?y2?2）； 1（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半a及圆的半径r所构成

21的直角三角形来解：r2?d2?(a)2；②过两圆C1:f(x,y)?0、C2:g(x,y)?0交点的圆(公共弦)

2系为f(x,y)??g(x,y)?0，当???1时，方程f(x,y)??g(x,y)?0为两圆公共弦所在直线方程.。

十五．解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

集合与简易逻辑

一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异

性，如

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若P?{0,2,5}，Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。

（答：8）

（2）设U?{(x,y)|x?R,y?R}，A?{(x,y)|2x?y?m?0}，B?{(x,y)|x?y?n?0}，那么点P(2,3)?A?(CuB)的充要条件是________

（答：m??1,n?5）；

（3）非空集合S?{1,2,3,4,5}，且满足“若a?S，则6?a?S”，这样的S共有_____个

（答：7）

二．遇到A?B??时，你是否注意到“极端”情况：A??或B??；同样当A?B时，你

是否忘记A??的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合A?{x|ax?1?0}，B??x|x2?3x?2?0?，且A?B?B，则实数a＝___.

1（答：a?0,1,）

2三．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

为2n， 2n?1， 2n?2. 如 2n?1，满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。

（答：7）

四．集合的运算性质： ⑴A?B?A?B?A； ⑵A?B?B?B?A； ⑶A?B?痧uA?uB； ⑷A?痧uB???uA?B；

⑸euA?B?U?A?B； ⑹CU(A?B)?CUA?CUB； ⑺CU(A?B)?CUA?CUB.

如：设全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，(CUA)?B?{4}，(CUA)?(CUB)?{1,5}，则A＝_____，B＝___.

（答：A?{2,3}，B?{2,4}）

五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，如

（1）设集合M?{x|y?x?2}，集合N＝?y|y?x2,x?M?，则M?N?___

（答：[4,??)）；

????)?(3,?4),?R，N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则（2）设集合M?{a|a?(1,2?M?N?_____

（答：{(?2,?2)}）

六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：

已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。

3（答：(?3,)）

2七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如： 在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件； ⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。 其中正确的是__________

（答：⑴⑶）

八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若

﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。 提醒：

（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”； （3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；

（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A?B?B?A”判断其真假，这也是反证法的理论依据。 （5）哪些命题宜用反证法？ 如：

（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________

（答：在?ABC中，若?C?90?，则?A,?B不都是锐角）； x?2（2）已知函数f(x)?ax?,a?1，证明方程f(x)?0没有负数根。

x?1九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的

充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A?B，则A是B的充分条件；若B?A，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如： （1）给出下列命题：

① 实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件；

② 若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件；

③ 已知x,y?R，“若xy?0，则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则

； xy?0”

④“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是假命题 。

其中正确命题的序号是_______

（答：①④）；

（2）设命题p：|4x?3|?1；命题q:x2?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

1（答：[0,]）

2十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax?b的

bb形式，若a?0,则x?；若a?0,则x?；若a?0,则当b?0时，x?R；当b?0时，x??。

aa如

1已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为(??,?)，则关于x的不等式

3(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______

（答：{x|x??3}）

十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当??0和??0时的解集你会正确表示吗？

设a?0,x1,x2是方程ax2?bx?c?0的两实根，且x1?x2，则其解集如下表： ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ??0{x|x?x1或{x|x?x1或{x|x1?x?x2}{x|x1?x?x2} x?x2} x?x2} ??0b{x|x??} R 2aR ??0R 如解关于x的不等式：ax2?(a?1)x?1?0。

? ? {x|x??b} 2a? （答：当a?0时，x?1；当a?0时，x?1或x?当a?1时，

11；当0?a?1时，当a?1时，x??；1?x?；aa1?x?1） a十二．对于方程ax2?bx?c?0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次

若a?0，则一定有??b2?4ac?0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ 如：（1）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立，则a的取值范围是_______

（答：(1,2]）； （2）关于x的方程f(x)?k有解的条件是什么？(答：k?D，其中D为f(x)的值域)，特别地，若在[0,]内有两个不等的实根满足等式cos2x?3sin2x?k?1，则实数k的范围是

2_______.

（答：[0,1)）

十三．一元二次方程根的分布理论。方程f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)在(k,??)上有两根、在

(m,n)上有两根、在(??,k)和(k,??)上各有一根的充要条件分别是什么？

????0?f(m)?0?、f(k)?0）。根的分布理论成立的前提是开?f(n)?0??m??b?n?2a区间，若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)?0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，再令x?n和x?m检查端点的情况．

b?2如实系数方程x2?ax?2b?0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值

a?1范围是_________

1（答：（，1））

4????0?（?f(k)?0、?b???k?2a y (a>0) O k x1 x2 x 十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax2?bx?c?0的两

个根即为二次不等式ax2?bx?c?0(?0)的解集的端点值，也是二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴的交点的横坐标。

3如（1）不等式x?ax?的解集是(4,b)，则a=__________

21（答：）；

8（2）若关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为(??,m)?(n,??)，其中m?n?0，则关于x的不等式cx2?bx?a?0的解集为________

（答：(??,?11； )?(?,??)）

mn（3）不等式3x2?2bx?1?0对x?[?1,2]恒成立，则实数b的取值范围是_______

（答：?）。

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

函 数

一．映射f: A?B的概念。在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中

元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如： （1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合

（答：A）；

（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________

（答：（2，－1））；

（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到B的函数有 个

（答：81,64,81）；

（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，

，这样的映射f有____个 x?f(x)是奇数”

（答：12）；

（5）设f:x?x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A?B一定是_____

（答：?或{1}）.

二．函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图

像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：

（1）已知函数f(x)，x?F，那么集合{(x,y)|y?f(x),x?F}?{(x,y)|x?1}中所含元素的个数有 个

（答： 0或1）；

1（2）若函数y?x2?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝

2（答：2）

三．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和

对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y?x2，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个

（答：9） 四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中x?0,a?0??且a?1，三角形中0?A??, 最大角?，最小角?等。如

33（1）函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是____

(答：(0,2)?(2,3)?(3,4))；

（2）若函数y?kx?7的定义域为R，则k?_______ 2kx?4kx?3?3?(答：?0,?)；

?4?（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域是__________

(答：[a,?a])；

（4）设函数f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围

（答：①a?1；②0?a?1）

2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3．复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当

。如 x?[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）

?1?（1）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义域为__________

?2?（答：x|2?x?4）；

??

①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an

（答：an?111②数列{an}满足a1?2a2???nan?2n?5，求an

222??3,n?1）；

2n,n?2（答：an?14,n?1）

2n?1,n?2f(1),(n?1)??f(n)??an?f(n)求an，用作商法：an??⑶已知a1?a2?。如数列{an}中，a1?1,,(n?2)??f(n?1)对所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，则a3?a5?______

61（答：）

16⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

1?a1(n?2)。如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?(n?2)，则an=________

n?1?n（答：an?n?1?2?1）

aaaa⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。如已知数列{an}中，

anan?1an?2a1a1?2，前n项和Sn，若Sn?n2an，求an

4）

n(n?1)⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如an?kan?1?b、

（答：an?an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，3n?1?1）再求an。如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?；②已知a1?1,an?3an?1?2n，

an?13n?1?2n?1）求an（答：an?5?；（2）形如an?的递推数列都可以用倒数法求通项。如

akn?1b?an?11①已知a1?1,an?，求an（答：an?）；②已知数列满足a1=1，

3an?1?13n?21an?1?an?anan?1，求an（答：an?2）

n注意：（1）用an?Sn?Sn?1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？

（n?2，当n?1时，a1?S1）；（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an?Sn?Sn?1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解。如数列{an}54,n?1满足a1?4,Sn?Sn?1?an?1，求an（答：an?）

3?4n?1,n?23六.数列求和的常用方法：

1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

n(n?1)213?23?33???n3?[].1?2?3???n?1n(n?1)，12?22???n2?1n(n?1)(2n?1)，

226如

222?a3???an（1）等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12?a2＝_____

?4n?1（答：）；

3（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1?23?1?22?0?21?1?20?13，那么将二进制(111?11)2?????2005个1转换成十进制数是_______

（答：22005?1）

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)（答：(?1)n?n） 3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. 如

012n?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)?2n； ①求证：Cnx2111②已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()＝______

1?x22347） 24．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

如（1）设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4，①求数

（答：

列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.（答：①a1?1，q?2；②Tn?2n?1?n?2）；

（2）设函数f(x)?(x?1)2，g(x)?4(x?1)，数列{an}满足：a1?2,f(an)?(an?

an?1)g(an)(n?N?)，①求证：数列{an?1}是等比数列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2

888???(an?1)xn，求函数h(x)在点x?处的导数h?()，并比较h?()与2n2?n的大小。（答：

333888①略；②h?()?(n?1)?2n?1，当n?1时，h?()＝2n2?n；当n?2时，h?()<2n2?n；当n?33338时，h?()>2n2?n）

35．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

1①1?1?1； ②?1(1?1)；

n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k111111111111??2???； ③2?2?(?)，?kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1kkk?12k?1k?1n111111???[?] ；⑤④；

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!22⑥2(n?1?n)??1??2(n?n?1). n?n?1nn?n?1如（1）求和：

111????? 1?44?7(3n?2)?(3n?1)（答：

n）； 3n?1（2）在数列{an}中，an?1n?n?1，且Sｎ＝９，则n＝_____

（答：99）；

6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如 ①求数列1×4，2×5，3×6，?，n?(n?3)，?前n项和Sn=

n(n?1)(n?5)（答：）；

3②求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3???n（答：

2n） n?1七．“分期付款”、“森林木材”型应用问题

1．这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

2．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为：Sn?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)

n(n?1)；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：?p(n?r)（等差数列问题）

2若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分n期还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：p(1?r)n?x(1?r)n?1?x(1?r)n?2???x(1?r)?x（等比数列问题）.

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

直线和圆

一．直线的倾斜角：

1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

2．倾斜角的范围?0,??。如

（1）直线xcos??3y?2?0的倾斜角的范围是____

?5?（答：[0，]?[，?)）；

66?2?（2）过点P(?3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围??[,],那么m值的范围是______

33（答：m??2或m?4）

二．直线的斜率：

1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan?(?≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（

y1?y2?x1?x2?； k?(x,y)P(x,y)2．斜率公式：经过两点P、的直线的斜率为111222x1?x2?3．直线的方向向量a?(1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 4．应用：证明三点共线： kAB?kBC。如

(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件

（答：既不充分也不必要）；

（2）实数x,y满足3x?2y?5?0 (1?x?3)，则

y的最大值、最小值分别为______ x2（答：,?1）

3三．直线的方程：

1．点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴的直线。

2．斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y?kx?b,它不包括垂直于x轴的直线。

y?y1x?x1(x,y)P(x,y)3．两点式：已知直线经过P、两点，则直线方程为，?111222y2?y1x2?x1它不包括垂直于坐标轴的直线。

4．截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为

xy??1，它不包括垂ab直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5．一般式：任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式。如

?（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________

（答：y?1??3(x?2)）；

（2）直线(m?2)x?(2m?1)y?(3m?4)?0，不管m怎样变化恒过点______

（答：(?1,?2)）；

（3）若曲线y?a|x|与y?x?a(a?0)有两个公共点，则a的取值范围是_______

（答：a?1）

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点。如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）

四．设直线方程的一些常用技巧：

1．知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b；

2．知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(它不适用于斜率为0的直线)；

3．知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y?k(x?x0)?y0，当斜率k不存在时，则其方程为x?x0；

4．与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0；

5．与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：

Ax0?By0?C（1）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离d?；

22A?BC?C2（2）两平行线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0间的距离为d?1。

22A?B六．直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0的位置关系：

1．平行?A1B2?A2B1?0（斜率）且B1C2?B2C1?0（在y轴上截距）；

2．相交?A1B2?A2B1?0；

3．重合?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0。

ABCABABC提醒：（1） 1?1?1、1?1、1?1?1仅是两直线平行、相交、重合的充

A2B2C2A2B2A2B2C2分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0垂直?A1A2?B1B2?0。 如（1）设直线l1:x?my?6?0和l2:(m?2)x?3y?2m?0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝________时l1?l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合

1（答：－1；；m?3且m??1；3）；

2（2）已知直线l的方程为3x?4y?12?0，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______

（答：3x?4y?9?0）；

（3）两条直线ax?y?4?0与x?y?2?0相交于第一象限，则实数a的取值范围是____

（答：?1?a?2）；

（4）设a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA?x?ay?c?0与bx?sinB?y?sinC?0的位置关系是____

（答：垂直）；

（5）已知点P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)?0上一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程

f(x,y)?f(x1,y1)?f(x2,y2)＝0所表示的直线与l的关系是____

（答：平行）； （6）直线l过点（１，０），且被两平行直线3x?y?6?0和3x?y?3?0所截得的线段长为9，则直线l的方程是________

（答：4x?3y?4?0和x?1）

七．到角和夹角公式：

1．l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角?，???0,??且tan?=

k2?k1(k1k2??1)；

1?k1k2k?k1?（2）l1与l2的夹角是指不大于直角的角?,??(0,]且tan?=︱2︱(k1k2??1)。

1?k1k22提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如

已知点M是直线2x?y?4?0与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______

（答：3x?y?6?0）

八．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如

（1）已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x?y?0对称，则点Q的坐标为_______

（答：(b,a)）

（2）已知直线l1与l2的夹角平分线为y?x，若l1的方程为ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________

（答：bx?ay?c?0）；

（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________

（4）求值：

31??64sin220??________ 22sin20?cos20?(答：32)

14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y?sinx和余弦函数y?cosx图象的作图方法：

?3?五点法：先取横坐标分别为0，,?,,2?的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就

22得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质： （1）定义域：都是R。

（2）值域：都是??1,1?，对y?sinx，当x?2k??x?2k???2?k?Z?时，y取最大值

1；当

3??k?Z?时，y取最小值－1；对y?cosx，当x?2k??k?Z?时，y取最大值1，2当x?2k????k?Z?时，y取最小值－1。如

?31（1）若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为，最小值为?，则a?__，b?＿

2261（答：a?,b?1或b??1）；

2（2）函数f(x)?sinx?3cosx（x?[?,]）的值域是____

22（答：[－1, 2]）；

（3）若2?????，则y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是____ 、_____

（答：7；－5）； （4）函数f(x)?2cosxsin(x?__________

（答：2；k??（5）己知sin?cos??1，求t?sin?cos?的变化范围 21（答：[0,]）；

2???3?)32sinx?sinxcosx的最小值是_____，此时x＝

?12； (k?Z)）

（6）若sin2??2sin2??2cos?，求y?sin2??sin2?的最大、最小值

（答：ymax?1，ymin?22?2）

。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ （3）周期性：①y?sinx、y?cosx的最小正周期都是2?；②f(x)?Asin(?x??)和

2?。如 f(x)?Acos(?x??)的最小正周期都是T?|?|?x(1)若f(x)?sin，则f(1)?f(2)?f(3)???f(2003)＝___

3（答：0）；

(2) 函数f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x的最小正周期为____

（答：?）； (3) 设函数f(x)?2sin(x?)，若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立，则

25??|x1?x2|的最小值为____

（答：2）

（4）奇偶性与对称性：正弦函数y?sinx(x?R)是奇函数，对称中心是?k?,0??k?Z?，对称轴是直线x?k???2??R是)偶函数，对称中心是k?Z?；余弦函数y?cosx(x???k??,0??k?Z?，对称轴是直线x?k??k?Z?（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最?2??低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。如

?5??（1）函数y?sin??2x?的奇偶性是______、

?2?（答：偶函数）；

（2）已知函数f(x)?ax?bsin3x?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5)?______

（答：－5）；

（3）函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______

k??k??（答：(； ?,1)(k?Z)、x??(k?Z)）

2828（4）已知f(x)?sin(x??)?3cos(x??)为偶函数，求?的值。

（答：??k???6(k?Z)）

????（5）单调性：y?sinx在?2k??,2k????k?Z?上单调递增，在

22???3???2k??,2k???k?Z?单调递减；y?cosx在?2k?,2k?????k?Z?上单调递减，在??22???2k???,2k??2???k?Z?上单调递增。特别提醒，别忘了k?Z！

16、形如y?Asin(?x??)的函数：

1倒数）；（1）几个物理量：A―振幅；f?―频率（周期的

TY?x??―相位；?―初相； 22?（2）函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确3定；?由周期9确定；?由图象上的特殊点确定，如X?则f(x)＝f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0，|?|?)的图象如图所示，-223题图215?_____（答：f(x)?2sin(x?)）；

23（3）函数y?Asin(?x??)图象的画法：①“五点法”――设X??x??，令X＝0，?3?,?,,2?求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是22作函数简图常用方法。

（4）函数y?Asin(?x??)?k的图象与y?sinx图象间的关系：①函数y?sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移|?|个单位得y?sin?x???的图象；②函数y?sin?x???图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1?象；③函数y?sin??x???图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数

，得到函数y?sin??x???的图

y?Asin(?x??)的图象；④函数y?Asin(?x??)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k?0）

或向下（k?0），得到y?Asin??x????k的图象。要特别注意，若由y?sin??x?得到

y?sin??x???的图象，则向左或向右平移应平移|?|个单位，如 ?（1）函数y?2sin(2x?)?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的图象？

4????（答：y?2sin(2x?)?1向上平移1个单位得y?2sin(2x?)的图象，再向左平移个

448单位得y?2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y?2sinx的图象，最后将纵坐标缩小

1到原来的即得y?sinx的图象）；

2x?x(2) 要得到函数y?cos(?)的图象，只需把函数y?sin的图象向___平移____个单

242位

?（答：左；）；

2?7?（3）将函数y?2sin(2x?)?1图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这

3样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量

???（答：存在但不唯一，模最小的向量a?(?,?1)）；

6（4）若函数f?x??cosx?sinx?x??0,2???的图象与直线y?k有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是

（答：[1,2)）

（5）研究函数y?Asin(?x??)性质的方法：类比于研究y?sinx的性质，只需将y?Asin(?x??)中的?x??看成y?sinx中的x，但在求y?Asin(?x??)的单调区间时，要特别注意A和?的符号，通过诱导公式先将?化正。如

（1）函数y?sin(?2x??3)的递减区间是______

（答：[k??x?（2）y?log1cos(?)的递减区间是_______

3425?； ?,k??](k?Z)）

121233?（答：[6k???,6k??； ](k?Z)）

44（3）设函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,??????)的图象关于直线x?2?对称，它的周

223期是?，则

1A、f(x)的图象过点(0,)

25?2?B、f(x)在区间[,]上是减函数

123C、f(x)的图象的一个对称中心是(5?,0)

12D、f(x)的最大值是A

（答：C）；

???（4）对于函数f?x??2sin?2x??给出下列结论：

3??①图象关于原点成中心对称；

?②图象关于直线x?成轴对称；

12?③图象可由函数y?2sin2x的图像向左平移个单位得到

3?；④图像向左平移个单位，即得到函数y?2cos2x的图像。

12其中正确结论是_______

（答：②④）；

（5）已知函数f(x)?2sin(?x??)图象与直线y?1的交点中，距离最近两点间的距

离为

?，那么此函数的周期是_______ 3（答：?）

17、正切函数y?tanx的图象和性质： （1）定义域：{x|x??2?k?,k?Z}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定

义域了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是?，它与直线y?a的两个相邻交点之间的距离是一个周期?。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如y?sin2x,y?sinx的周期都是?, 但y?sinx

?cosx的周期为

?2?函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

????（5）单调性：正切函数在开区间???k?,?k???k?Z?内都是增函数。但要注意在整

2?2?个定义域上不具有单调性。如下图：

三角函数图象几何性质三角函数图象几何性质 ?x??)y=ωx+φyA?tan(Atan(?x?)?)yy?Asin(y=Asin(ωx+φ)y xO xOx3x4x4 x3 x=x2x=x=x1x=x2Tx1邻中心轴相距 4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2 无对称轴无穷对称轴:无穷对称中心:无穷对称中心: 任意一条y轴的垂线与正切由y=0确定由y=A或-A确定由y=0或y无意义确定函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！??1?，而y?|2sin(3x?)?|,y?|2sin(3x?)?2|，y?|tanx|的周期不变； 2626?k??（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是?,0??k?Z?，特别提醒：正(余)切型

18. 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为?，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：a?b?c?2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理

sinAsinBsinCab的一些变式：?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?,sinB?,sinC

2R2Rc；?iii?a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，?2R若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

222(3)余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA,cosA?b?c?a等，常选用余弦定理鉴定三角形

2bc的形状.

(4)面积公式：S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)（其中r为三角形内切圆半径）.如

222。 ?ABC中，若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C，判断?ABC的形状（答：直角三角形）

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A?B?C??这个特殊性：

A?BC；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题A?B???C,sin(A?B?)sinC,sin?cos22时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如

=60 ?,a6 ?,b4?， b，（1）?ABC中，A、B的对边分别是a、且A那么满足条件的?ABC

A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定

（答：C）；

（2）在?ABC中，A＞B是sinA?sinB成立的_____条件

（答：充要）；

（3）在?ABC中， (1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____

1（答：?）；

2(4)在?ABC中，a,b分别是角A、B、C所对的边，若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则?C＝____

（答：60?）；

a2?b2?c2（5）在?ABC中，若其面积S?，则?C=____

43（答：30?）；

（6）在?ABC中，A?60?, b?1，这个三角形的面积为3，则?ABC外接圆的直径是_______

239（答：）；

31B?C（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a?3,cosA?,则cos2= ，

32b2?c2的最大值为

19（答：;）；

32（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是

6（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若?C?75?，且?AOB,?BOC,?COA的面积满足

（答：0?C??）；

关系式S?AOB?S?BOC?3S?COA，求?A（

答：45?）．

19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这

????个角的正弦值为a,且这个角在??,?内(?1?a?1)。(2)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、

?22?反正切arctanx的取值范围分别是[??,?],[0,?],(??,?).

2222在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？

(0,],[0,],[0,?]，?0,??， [0,?),[0,),[0,?]． 22220、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如

（1）若?,??(0,?)，且t则求???的值______ an?、tan?是方程x2?5x?6?0的两根，

3?（答：）；

4（2）?ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1，则?C＝_______

?（答：）；

3（3）若0???????2?且sin??sin??sin??0，cos??cos??cos??0，求???的值

2?（答：）.

3

???概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

数列

一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）的

特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如

n（1）已知an?2(n?N*)，则在数列{an}的最大项为__________

n?1561（答：）；

25an（2）数列{an}的通项为an?，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为

bn?1_________

（答：an?an?1）；

（3）已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围

（答：???3）；

（4）一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是

（ ）

（答：A）

A B C D 二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。

设{an} 是等差数列，求证：以bn=

a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为等差

n

数列。

2．等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。

(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an?

（答：2n?10）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______

8（答：?d?3）

3n(a1?an)n(n?1)3．等差数列的前n和：Sn?，Sn?na1?d。

221315（1）数列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，则a1＝＿，

222n＝＿

（答：a1??3，n?10）；

（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn

2*??12n?n(n?6,n?N)（答：Tn??2）. *??n?12n?72(n?6,n?N)a?b4．等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?。

2提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其

中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差为2d） 三．等差数列的性质：

1．当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且

n(n?1)dd斜率为公差d；前n和Sn?na1?d?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项

222为0.

2．若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

3．当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

（1）等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____

（答：27）；

（2）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则 A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0

（答：B）

4．若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N*)、

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an?0，

则{lgan}是等差数列.

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。

（答：225）

S偶－S奇?nd；S奇?S偶?a中，5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，项数为奇数2n?1时，

S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）；S奇:S偶?(k?1):k。

（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______

（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数

（答：5；31）.

A6．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且n?f(n)，则

Bna(2n?1)anA2n?1 n???f(2n?1).

bn(2n?1)bnB2n?1S3n?1设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若n?，那么

Tn4n?3an?___________ bn6n?2（答：）

8n?77．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数

an?0??an?0?确列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组??或?????a?0a?0?n?1??n?1?定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转

化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N*。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如

（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，

a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是

（答：4006）

8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm. 四．等比数列的有关概念：

1．等比数列的判断方法：定义法an?1?q(q为常数），其中q?0,an?0或an?1?an

ananan?1(n?2)。如

（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1为____

5（答：）；

6（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

2．等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。如

设等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.

1（答：n?6，q?或2）

2a1(1?qn)a1?anq3．等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?。如 ?1?q1?q（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99

（答：44）；

k)的值为__________ （2）?(?Cnn?1k?010n（答：2046）；

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。

4．等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个?ab。如已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3

aa求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?，2,,a,aq,aq2?

qqaa（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为?3,,aq,aq3，?，因公比不一定为正数，

qq只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比数列的性质：

（1）当m?n?p?q时，则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?ap2.如

（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___

（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2???log3a10?

（答：10）。

{bn}成(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N*)、{kan}成等比数列；若{an}、等比数列，则{anbn}、{Sn,S2n?Sn,S3n?S2nan}成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列bn ，?也是等比数列。当q??1，且n为偶数时，数列

Sn,S2n?Sn,Sn ，?是常数数列0，它不是等比数列. 如 3?Sn2（1）已知a?0且a?1，设数列{xn}满足loagx?n1??1x1?x2???x100?100，则x101?x102???x200? .

，且lx(nn?N*)aog（答：100a100）；

（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______

（答：40）

(3)若a1?0,q?1，则{an}为递增数列；若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；若

a1?0,0?q?1 ，则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列；若q?0，则{an}为摆动数列；若q?1，则{an}为常数列.

?a1naq?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，这是等比1?q1?q数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。如若{an}(4) 当q?1时，Sn?是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝

（答：－1）

(5) Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为_____

（答：－2）

(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，

S奇?a1?qS偶.

(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列

{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设

数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若

b?R?，则?an?既是等差数列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、则?an?是an?an?1(n?N)，

等差数列；③若Sn?1???1?n，则?an?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

（答：②③）

五.数列的通项的求法：

1111⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列3,5,7,9,?481632试写出其一个通项公式：__________

1（答：an?2n?1?n?1）

2S,(n?1)⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?1。如

Sn?Sn?1,(n?2)?

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