北京市朝阳区2024届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试

高三年级数学试卷（理工类） 2017．1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

x1．已知全集U?R，集合A?x2?1，B?xx?2?0，则(eUA)?B?

????A． {x|x?2} B．

?x0?x?2?

C． {x|0?x?2} D． {x|x?2} 2．在复平面内，复数

2对应的点位于 1?iA．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是

xA．y?cosx B．y??x2 C． y?() D． y?|sinx|

12x34．若a?0，且a?1，则“函数y?a在R上是减函数”是“函数y?(2?a)x 在R上

是增函数 ”的

A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A．6 B．8 C．10 D．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为

2 A．

422B．

3 3

1 1 正视图

侧视图

C．2 D．4

俯视图

????7．在Rt?ABC中，?A?90?，点D是边BC上的动点，且AB?3，

????????????????????AC?4,AD??AB??AC(??0,??0)，则当??取得最大值时,AD的值为

A．

7 2B．3 C．

5 2D．

12 58．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是

A．23 B． 20 C． 21 D．19

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

x2y2?2?1(b?0)的一条渐近线方程为3x?2y?0，则b等于 ．9．已知双曲线 4b10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1?2，S2?a3， 则a2= ，S10? ．

11．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为 ．

12．在△ABC中，已知?B?45?,AC?2BC，则?C? ． 开始 S?0,i?1 i?6? 是 否 i?i?2 输出S 结束 S?S?2i ?x?y?0,13．设D为不等式组??x?y?0,表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A(x,y)，

?x+3y?3?则2x?y的最大值是_______；x?yx?y22的取值范围是 ．

14．若集合M满足：?x,y?M，都有x?y?M,xy?M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M?R），f：M?M是从集合M到集合M的一个函数，

①如果?x,y?M都有f(x?y)?f(x)?f(y)，就称f是保加法的；

②如果?x,y?M都有f(xy)?f(x)?f(y)，就称f是保乘法的； ③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的． 在上述定义下，集合

?3m?nm,n?Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数f(x)

?在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f(x)= ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值． 6416．（本小题满分13分）

甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同

学参加较为合适？并说明理由；

（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数

为?（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求?的分布列及数学期望E?．

17．（本小题满分14分）

在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF//BE,AB?BE,平面ABCD?平面ABEF?AB,

E

AB?BE?2AF?2.

（Ⅰ）求证：AC//平面DEF； （Ⅱ）若二面角D?AB?E为直二面角， （i）求直线AC与平面CDE所成角的大小； （ii）棱DE上是否存在点P，使得BP?平面DEF?

D

F

A B

C

若存在，求出

DP的值；若不存在，请说明理由． DE18． （本小题满分13分）

x2y2??1上的动点P与其顶点A(?3,0),B(3,0)不重合． 已知椭圆C:32（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；

（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM//PA,ON//PB时，求?OMN的

面积．

19．（本小题满分14分）

2设函数f(x)?ln(x?1)?ax?x?1，g(x)?(x?1)e?ax，a?R．

x2（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）若函数g(x)有两个零点，试求a的取值范围； （Ⅲ）证明f(x)?g(x)．

20．（本小题满分13分）

设m,n(3?m?n)是正整数，数列Am:a1,a2,L,am，其中ai(1?i?m)是集合

{1,2,3L,,n}j1?i?j?m）中互不相同的元素．若数列Am满足：只要存在i,（使（1?k?m）有ai?aj?ak，则称数列Am是“好数列”． ai?aj?n，总存在k（Ⅰ）当m?6,n?100时，

（ⅰ）若数列A6:11,78,x,y,97,90是一个“好数列”，试写出x,y的值，并判断数列：11,78,90,x,97,y是否是一个“好数列”？

（ⅱ）若数列A6:11,78,a,b,c,d是“好数列”，且a?b?c?d，求a,b,c,d共有多少种不同的取值？

（Ⅱ）若数列Am是“好数列”，且m是偶数，证明：

a1?a2?L?amn?1?．

m2

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试

数学答案（理工类） 2017．1

一、选择题：（满分40分） 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 二、填空题：（满分30分） 题号 答案 9 10 11 12 13 14 是，f(x)?x,x?Q 3 4,110 30 105? 9，[?2,0] 4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1

?3sin2x?cos2x

?2sin(2x??)． 6

所以f(x)的最小正周期为?． ?????????????????????7分

????2??x?,所以-?2x??. 64663??? 当2x??,即x?时，f(x)取得最大值2；

626??? 当2x???,即x??时,f(x)取得最小值?1．??????????13分

666（Ⅱ）因为?16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：

甲

98

8421

53乙78950035025?????????????4分

（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：

x甲?x乙?

1?70?2?80?4?90?2?8?9?1?2?4?8?3?5??85， 81?70?1?80?4?90?3?5?0?0?3?5?0?2?5??85， 8122222 s甲2???78?85???79?85???81?85???82?85???84?85??

8??88?85?222??93?85???95?85???35.5，

?12 s乙2???75?85???8?8?0?85??28??025?8???83?28?5??2 5?858?90?85?

222??92?85???95?85???41.

? 因为 x甲?x乙，s甲2?s乙2，

所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． ??????????8分

注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如 派乙参赛比较合适．理由如下：

3从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为f1?，

8乙获得85分以上（含85分）的频率为f2?因为f2?f1，所以派乙参赛比较合适．

（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，

41?． 82P?A??63?． ????????????????????? 9分 843随机变量?的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3,)．

4?3??1?∴P???k??C?????4??4?k3k3?k

，k?0,1,2,3．

1

2

3

所以变量?的分布列为：

? 0 P 1 649 6427 6427 64?????????????????????11分

???0?1927279?1??2??3??． 64646464439?.） 44??????????????????13分

（或???nP?3?

17．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）连结BD，设AC?BD?O，

因为四边形ABCD为正方形， 所以O为BD中点．

设G为DE的中点，连结OG,FG，

F

G A O D

C

B E

1BE． 21由已知AF//BE，且AF?BE，

2则OG//BE，且OG?所以AF//OG,OG?AF． 所以四边形AOGF为平行四边形． 所以AO//FG，即AC//FG．

因为AC?平面DEF，FG?平面DEF， 所以AC//平面DEF．

????????????????????5分

（Ⅱ）由已知，AF//BE,AB?BE，

所以AF?AB．

因为二面角D?AB?E为直二面角， 所以平面ABCD?平面ABEF． 所以AF?平面ABCD， 所以AF?AD,AF?AB．

四边形ABCD为正方形，所以AB?AD． 所以AD,AB,AF两两垂直．

D C A B yF PzE ． x以A为原点，AD,AB,AF分别为x,y,z轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为AB?BE?2AF?2，

所以A(0，0，0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2，0，0),E(0,2,2),F(0,0,1)，

????????????所以AC?(2,2,0),CD?(0,?2,0),CE?(?2,0,2)．

（i）设平面CDE的一个法向量为n?(x,y,z)，

??????y?0, ??2y?0, ?n?CD?0,由 ???? 得?即? ?x?z?0. ?2x?2z?0. ????n?CE?0 取x?1，得n?(1,0,1)．

设直线AC与平面CDE所成角为?，

????则sin??cos?AC,n??21?，

22?22因为0???90?，所以??30?．

即直线AC与平面CDE所成角的大小为30?．

????????????9分

（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP?平面DEF．

????????DP??(0???1)，则DP??DE． 设DE????设P(x,y,z)，则DP?(x?2,y,z)，

????因为DE?(?2,2,2)，所以(x?2,y,z)??(?2,2,2)．

所以x?2??2?,y?2?,z?2?，所以P点坐标为(2?2?,2?,2?)．

????因为B(0,2,0)，所以BP?(2?2?,2??2,2?)．

??????????????????BP?DF??2(2?2?)?2??0,又DF?(?2,0,1),EF?(0,?2,?1)，所以???? ???????BP?EF??2(2??2)?2??0.2解得 ??．

32DP2?． 因为?[0,1]，所以DE上存在点P，使得BP?平面DEF，且

3DE3（另解）假设棱DE上存在点P，使得BP?平面DEF．

????????DP??(0???1)，则DP??DE． 设DE????设P(x,y,z)，则DP?(x?2,y,z)，

????因为DE?(?2,2,2)，所以(x?2,y,z)??(?2,2,2)．

所以x?2??2?,y?2?,z?2?，所以P点坐标为(2?2?,2?,2?)．

????因为B(0,2,0)，所以BP?(2?2?,2??2,2?)．

设平面DEF的一个法向量为m?(x0,y0,z0)，

??????????????m?DF?0,则 ???? 由DF?(?2,0,1),EF?(0,?2,?1)， ???m?EF?0 得???2x0?z0?0,

??2y0?z0?0. 取x0?1，得m?(1,?1,2)．

????由BP??m，即(2?2?,2??2,2?)??(1,?1,2)，

?2?2???, 2?可得?2??2???, 解得??．

3?2??2?. ?因为

2DP2?[0,1]，所以DE上存在点P，使得BP?平面DEF，且?． 3DE3

????????????????????????14分

18．（本小题满分13分）

x02y02??1． 解：（Ⅰ）设P(x0,y0)，则3222y06?2x02所以直线PA与PB的斜率乘积为．??4分 ??2???23x0?3x0?3x0?33(x0?3)y0y0（Ⅱ）依题直线OM,ON的斜率乘积为?2． 3①当直线MN的斜率不存在时，直线OM,ON的斜率为?6，设直线OM的方程 3?2x2?3y2?6,66?是y?得，y??1． x，由?x??632x,?y?3?取M(666． ,1)，则N(,?1)．所以?OMN的面积为222②当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程是y?kx?m,

由??y?kx?m,22?2x?3y?6?0得(3k?2)x?6kmx?3m?6?0．

222因为M，N在椭圆C上，

所以??36km?4(3k?2)(3m?6)?0，解得3k2?m2?2?0．

22223m2?66km设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1?x2??2，x1x2?．

3k?23k2?2?6km23m2?6MN?(k?1)[(x1?x2)?4x1x2]?(k?1)[(2)?4?2]

3k?23k?22226(k2?1)(3k2?m2?2)． ?222(3k?2)设点O到直线MN的距离为d，则d?mk?12．

所以?OMN的面积为S?OMN16m2(3k2?m2?2)??????①． ??d?MN?222(3k?2)2yy2，所以12??． 3x1x23因为OM//PA,ON//PB，直线OM,ON的斜率乘积为?y1y2(kx1?m)(kx2?m)k2x1x2?km(x1?x2)?m22m2?6k2?所以． ??3m2?6x1x2x1x2x1x22m2?6k22??由，得3k2?2?2m2．??????② 23m?63由①②，得S?OMN6m2(3k2?m2?2)6m2(2m2?m2)6． ???224(3k?2)4m26． ?????????????13分 2 综上所述，S?OMN?19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是(1,??)，f?(x)?x(2ax?2a?1)．

x?1 当a?1时，f?(2)?4a?2?6，f(2)?4a?3?7．

所以函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?7?6(x?2)．

即y?6x?5． ?????????????4分

（Ⅱ）函数g(x)的定义域为R，由已知得g?(x)?x(e?2a)．

①当a?0时，函数g(x)?(x?1)e只有一个零点； ②当a?0，因为e?2a?0，

当x?(??,0)时，g?(x)?0；当x?(0,??)时，g?(x)?0． 所以函数g(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增． 又g(0)??1，g(1)?a，

因为x?0，所以x?1?0,ex?1，所以ex(x?1)?x?1，所以g(x)?ax2?x?1

xxx取x0??1?1?4a，显然x0?0且g(x0)?0

2a所以g(0)g(1)?0，g(x0)g(0)?0．

由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当a?0时，由g?(x)?x(e?2a)?0，得x?0，或x?ln(?2a)．

ⅰ) 当a??x1，则ln(?2a)?0． 2当x变化时，g?(x),g(x)变化情况如下表：

x g?(x) g(x) (??,0) + ↗ 0 (0,ln(?2a)) － ↘ ln(?2a) 0 (ln(?2a),??) + ↗ 0 ?1 注意到g(0)??1，所以函数g(x)至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当a??1，则ln(?2)a?0，g(x)在(??,??)单调递增，函数g(x)至多有一个零点，2不符合题意． 若a??1，则ln(?2a)?0． 2当x变化时，g?(x),g(x)变化情况如下表：

x g?(x) g(x) (??,ln(?2a)) + ↗ ln(?2a) 0 x(ln(?2a),0) － ↘ 20 (0,??) + ↗ 0 ?1 注意到当x?0,a?0时，g(x)?(x?1)e?ax?0，g(0)??1，所以函数g(x)至多有一个零点，不符合题意．

综上，a的取值范围是(0,??). ????????????????9分 （Ⅲ）证明：g(x)?f(x)?(x?1)e?ln(x?1)?x?1．

设h(x)?(x?1)e?ln(x?1)?x?1，其定义域为(1,??)，则证明h(x)?0即可．

x因为h?(x)?xe?xxx1x?x(e?)，取x1?1?e?3，则h?(x1)?x1(ex1?e3)?0，且x?1x?1h?(2)?0．

又因为h??(x)?(x?1)e?x1?0，所以函数h?(x)在(1,??)上单增． 2(x?1)x0所以h?(x)?0有唯一的实根x0?(1,2)，且e?1． x0?1当1?x?x0时，h?(x)?0；当x?x0时，h?(x)?0． 所以函数h(x)的最小值为h(x0)．

所以h(x)?h(x0)?(x0?1)e0?ln(x0?1)?x0?1

x?1?x0?x0?1?0．

所以f(x)?g(x). ????????????????????14分

20．（本小题13分）

解：（Ⅰ）（ⅰ） x?89,y?100，或x?100,y?89；

数列：11,78,90,x,97,y也是一个“好数列”． ?????????????3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89,100两项，

2若剩下两项从90,91,L,99中任取，则都符合条件，有C10?45种；

若剩下两项从79,80,L,88中任取一个，则另一项必对应90,91,L,99中的一个，

有10种；

若取68?a?77，则79?11?a?88，90?22?a?99，“好数列”必超过6项，不符合；

若取a?67，则11?a?78?A6，另一项可从90,91,L,99中任取一个，有10种； 若取56?a?67，则67?11?a?78，78?22?a?89，“好数列”必超过6项，不符合；

若取a?56，则b?67，符合条件，

若取a?56，则易知“好数列”必超过6项，不符合；

综上，a,b,c,d共有66种不同的取值． ???????????????7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”a1,a2,L,am各项互不相同，所以，不妨设a1?a2?L?am． 把数列配对：a1?am,a2?am?1,L,am?am，

22?1只要证明每一对和数都不小于n?1即可． 用反证法，假设存在1?j?m，使aj?am?1?j?n， 2因为数列单调递增，所以am?j?1?a1?am?j?1?a2?am?j?1?L?aj?am?j?1?n， 又因为“好数列”，故存在1?k?m，使得ai?am?1?j?ak(1?i?j)，

?j，显然ak>am?1?j，故k?m?1所以ak只有j?1个不同取值，而ai?am?1?j有j

个不同取值，矛盾．

所以，a1?am,a2?am?1,L,am?am每一对和数都不小于n?1，

22?1故a1?a2?L?am?

a?a?L?amn?1m(n?1)，即12?．???????13分 2m2

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