2024初中数学一轮复习课时导学案30讲：2024初中数学中考一轮复习

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2016年初中数学中考一轮复习 第23课 矩形、菱形、正方形 导学案

【考点梳理】：

1.几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．21教育名师原创作品【出处：21教育名师】

（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．

（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．

（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；

② 一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．

（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形． 2．几种特殊四边形的有关性质

（1）矩形： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．

（2）菱形：①边：四条边都相等； ②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． （3）正方形：①边：四条边都相等； ②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45； ④对称性：轴对称图形（4条）． （4）等腰梯形：

①边：上下底平行但不相等，两腰相等； ②角：同一底边上的两个角相等；对角互补 ③对角线：对角线相等； ④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）． 3．几种特殊四边形的判定方法

0

思考与收获 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com

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（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等

（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等．

（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．

思考与收获 ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形； （4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形

① 同一底两个底角相等的梯形； ② 对角线相等的梯形． 4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）识别矩形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角． ② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD的四条相等． （3）识别正方形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．③ 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④ 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．212cn2jy2com21世纪教育网版权所有 （4）识别等腰梯形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③ 先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题

① 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．

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② 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，思考与收获 则S菱形=

1ab．【版权所有：21教育】 2③ 设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=

12a． 21(a?b)h． 2④ 设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=【思想方法】 方程思想，分类讨论

【考点一】：矩形的性质和判定 【例题赏析】

(1) （2015，广西玉林，11，3分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则

等于（ ）

A．

B． 2

C． 1.5

D．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，从而AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，得到∠CAB=30°，∠ACB=60°，进一步得到∠BCE=所以BE=得到BE=

，，再证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，所以四边形AECF为菱形，所以AE=CE，，即可解答．

解答： 解：∵ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠B=90°，

∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上， ∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°， ∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC， ∴∠CAB=30°， ∴∠ACB=60°，

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∴∠BCE=∴BE=

，

思考与收获 ∵AB∥CD， ∴∠OAE=∠FCO， 在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，

∴EF与AC互相垂直平分， ∴四边形AECF为菱形， ∴AE=CE， ∴BE=∴

， =2，

故选：B．

点评： 本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角形的性质得到∠CAB=30°，进而得到BE=

(2) （2015?广东茂名14，3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．若AB=3，则C′D的长为 3 ． 21*cnjy*com

，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

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分析： 根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即思考与收获 可得解．

解答： 解：在矩形ABCD中，CD=AB，

∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合， ∴C′D=CD， ∴C′D=AB， ∵AB=3， ∴C′D=3． 故答案为3．

点评： 本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

【考点二】：菱形的性质与判定 【例题赏析】

(1) （2015，广西钦州，6，3分）

如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）

A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D． AC=BD 考点： 菱形的判定． 专题： 证明题．

分析： 利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解答： 解：如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC， 故选B

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点评： 此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．

(2) （2015福建龙岩10，4分）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）

思考与收获

A．4

考点： 菱形的性质．

分析： 连接AC交BD于点E，则∠BAE=60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在RT△ABE中，求出BE，继而可得出BD的长．21世纪教育网版权所有 解答： 解：在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°， ∴∠BAE=60°，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB=4，

在RT△ABE中，AE=ABsin∠BAE=43故可得AC=2AE=4故选A．

．

=2

，

B． 4

C． 2

D． 2

点评： 此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

【考点三】：正方形的性质与判定 【例题赏析】

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(1) （2015?湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，思考与收获 AD上，若CE=3

，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）www.21-cn-jy.com

A．2

B． 3

C．

D．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

分析： 首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF． 解答： 解：如图，延长FD到G，使DG=BE； 连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形， 在△BCE与△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG=CE，∠DCG=∠BCE， ∴∠GCF=45°， 在△GCF与△ECF中，

，

∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴GF=EF， ∵CE=3∴BE=∴AE=3，

设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，

，CB=6，

=

=3，

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∴EF=

2

=

2

，

思考与收获 ∴（9﹣x）=9+x， ∴x=4， 即AF=4， ∴GF=5， ∴DF=2， ∴CF=故选A．

=

=2

，

点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．21*cnjy*com

(2) （2015，广西玉林，18，3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 3 ．

考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 专题： 计算题．

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分析： 根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称思考与收获 点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．

解答： 解：如图1所示，

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，

∵AD=A′D=3，BE=BE′=1， ∴AA′=6，AE′=4．

∵DQ∥AE′，D是AA′的中点， ∴DQ是△AA′E′的中位线， ∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1， ∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′， ∴

=

，即

=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，

S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD?DQ﹣CQ?CP﹣BE?BP =9﹣3332﹣313﹣313=， 故答案为：．

点评： 本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．

【考点四】：特殊平行四边形的探索题 【例题赏析】

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(1) （2015?四川成都,第27题10分）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，思考与收获 点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF． （i）求证：△CAE∽△CBF； （ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

考点： 四边形综合题．.

分析： （1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．

（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．

（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出

，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．

（3）首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得

；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即，∠ACE=

=

=k时，若BE=1，AE=2，CE=3，

可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．

解答： （1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

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∴，

思考与收获 ∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF， 在△CAE和△CBF中，

，

∴△CAE∽△CBF．

（ii）解：∵△CAE∽△CBF， ∴∠CAE=∠△CBF，又∵∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°， 又∵∴∴

2

2

，

，AE=2 ， ，

2

∴EF=BE+BF=∴EF=

2

=3，

，

2

∵CE=2EF=6， ∴CE=

（2）如图②，连接BF，

．

，

∵

=

=k，

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∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb， ∴AC=， CE==

，

∴

，∠ACE=∠BCF，

在△ACE和△∠BCF中，

，

∴△ACE∽△∠BCF， ∴

，∠CAE=∠CBF，

又∵AE=2， ∴

，

∴BF=，

∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBE+∠CBF=90°， ∴∠EBF=90°， ∴EF2

=BE2

+BF2

=1，

∵

，

∴=，CE=3，

∴EF=，

∴1，

∴，

解得k=±

，

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思考与收获 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com

∵∴k=

==k＞0， ．

思考与收获 （3）∵∠DAB=45°， ∴∠ABC=180°﹣45°=135°， 在△ABC中，根据余弦定理，可得 AC=AB+BC﹣2AB?BC?cos135° =2=

2

2

2

在△ACE和△∠BCF中，

，

∴△ACE∽△∠BCF， ∴

又∵AE=n， ∴

，

，∠CAE=∠CBF，

∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBE+∠CBF=90°， ∴∠EBF=90°， ∴EF=BE+BF， ∴∴（2

2

2

2

2

2

2

，

）m+n=p，

）m+n=p．

2

2

2

即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2

点评： （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．21cnjy.com

（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

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（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． （4）此题还考查了余弦定理的应用，要熟练掌握．

(2) （2015?四川凉山州第21题8分）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．212世纪*教育网

思考与收获

考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．.

分析： 根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案． 解答： 解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°． ∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F， ∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF． 在△ABF和△DAE中∴△ABF≌△DAE （AAS）， ∴BF=AE．[来~源&:中%^@教网] ∵AF=AE+EF， AF=BF+EF．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．2-1-c-n-j-ywww.21-cn-jy.com

，

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【真题专练】

1. （2015?梧州,第11题3分）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（ ）【出处：21教育名师】

思考与收获

A． 四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 B． 四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2

C． 四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 D． 四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4

2. （2015?贵州省黔东南州,第6题4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）

A．

3. （2015?辽宁省朝阳,第题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E

为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）

B．

C． 12

D． 24

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思考与收获

A．1或2

4．（2015?黔西南州）（第3题）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ）

B． 2或3

C． 3或4

D． 4或5

A． 10 B．

5. （2015?丹东，第7题3分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=（ ）【来源：21cnj*y.co*m】www-2-1-cnjy-com

，∠DCF=30°，则EF的长为 C． 6 D． 5

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思考与收获

A．1或2

4．（2015?黔西南州）（第3题）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ）

B． 2或3

C． 3或4

D． 4或5

A． 10 B．

5. （2015?丹东，第7题3分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=（ ）【来源：21cnj*y.co*m】www-2-1-cnjy-com

，∠DCF=30°，则EF的长为 C． 6 D． 5

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