高中数学专题复习 培优计划
姓名： *** 课题：培优计划 教师：*** 授课时间:*** 第2讲 古典概型 [最新考纲] 1．理解古典概型及其概率计算公式． 2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. 教 学 反 馈 教师评价 本周作业 建议
第2讲 古典概型
[最新考纲]
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知 识 梳 理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率公式 P(A)＝
A包含的基本事件的个数
.
基本事件的总数
辨 析 感 悟
1．古典概型的意义
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)
(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1
3.(√)
2．古典概型的计算
(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为
card?A?
.(√) card?I?
(5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点2
间的距离为2的概率是0.2.(×)
(6)(星课堂·新课标全国Ⅱ卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√) [感悟·提升]
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义．
2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故P(A)＝(5)、(6)．
考点一 简单古典概型的概率
【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解 从6道题中任取2道有n＝C26＝15(种)取法．
(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A，则A发生共有m＝C2 4＝6种结果．m62∴所求事件概率P(A)＝＝＝. n155
11
(2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B，事件B包含的基本事件有C4C2＝
card?A?m
＝，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如card?I?n
8
8(种)，则事件B的概率为P(B)＝15. 规律方法 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、
不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
学生用书第183页 【训练1】 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
2
解 (1)从5张卡片中任取两张，共有n＝C5＝10种方法．
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A，则A包含基本事件m＝C12C12－1＝3个．
m3由古典概型概率公式，P(A)＝n＝10.
2
(2)从6张卡片中任取两张，共有n＝C6＝15个基本事件，
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B，则事件B包含基本事件总
1111数m＝C11(C2＋C3)＋(C2C2－1)＝8，
m8∴所求事件的概率P(B)＝n＝15. 考点二 复杂的古典概型的概率
【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．
解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.
1
∵事件B包含的基本事件数m＝C13C3＝9.
913
∴P(B)＝36＝4，则P(B)＝1－P(B)＝4， 3
因此，两数中至少有一个奇数的概率为4.
(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．
又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个． ∴P(C)＝
8227＝，从而P(C)＝1－P(C)＝1－＝. 36999
7
∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为9.
规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．
(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P(A)＝1－P(A)求解．
【训练2】 某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
身高 体重指标 A 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个． 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为
P＝316＝2.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝310.
考点三 古典概型与统计的综合问题
【例3】 (星课堂·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． (1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
审题路线 (1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．
解 (1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则x＝1
6(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22， 故样本均值为22.
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名， 故优秀工人的频率为21
6＝3.
该车间12名工人中优秀工人大约有12×1
3＝4(名)， 故该车间约有4名优秀工人．
11
(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A，其包含的基本事件总数为C4C8＝32，所
有基本事件的总数为C212＝66.
3216由古典概型概率公式，得P(A)＝66＝33. 16
所以恰有1名优秀工人的概率为33.
学生用书第184页 规律方法 (1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．
(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点．
【训练3】 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量) 频数(个) [80,85) 5 [85,90) 10 [90,95) 20 [95,100) 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
解 (1)由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在20
[90,95)的频率是50＝0.4.
(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x)个．
∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15， ∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1. 即重量在[80,85)的有1个．
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a，重量在[95,100)
有3个，记为b1，b2，b3.
任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法，记基本事件总数为n，则n＝6.
其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1，ab2，ab3，共3个，
31
由古典概型的概率计算公式得P(A)＝6＝2.
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．
易错辨析10——基本事件计数不正确致误
【典例】 (星课堂·江西卷，文)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋． (1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． [错解] (1)数量积X的所有可能取值为－1,0,1. →→→→(2)X＝0时，有OA1·OA3，OA4·OA6，共2种情况；
→→→→→→→→
X＝1时，有OA1·OA2，OA2·OA3，OA4·OA5，OA5·OA6，共4种情况； →→→→X＝－1时，有OA1·OA6，OA3·OA4，共2种情况， ∴所有基本事件总数n＝2＋4＋2＝8. 21因此，小波去下棋的概率p1＝8＝4，
211
小波唱歌的概率p2＝4＝2，从而不去唱歌的概率p＝1－p2＝2. [错因] (1)没能准确计算出X的所有可能值，由数量积的运算知X可能取－2，→→
－1,0,1，忽视OA2·OA5＝－2.
(2)基本事件列举不全面，思维定势，如X＝－1，盲目认为向量共线，遗漏向量3
夹角为4π的4种情形．
[正解] (1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1. →→
(2)数量积为－2的有OA2·OA5，共1种，
→→→→→→→→→→→→数量积为－1的有OA1·OA5，OA1·OA6，OA2·OA4，OA2·OA6，OA3·OA4，OA3·OA5，共6种．
→→→→→→→→数量积为0的有OA1·OA3，OA1·OA4，OA3·OA6，OA4·OA6，共4种情形． →→→→→→→→数量积为1的有OA1·OA2，OA2·OA3，OA4·OA5，OA5·OA6，共4种情形． 故所有可能的情况共有15种． 7所以小波去下棋的概率为p1＝15； 4
因为去唱歌的概率为p2＝15，
411
所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－15＝15.
[防范措施] (1)准确理解题意，向量数量积由向量的模、夹角共同确定，要考虑各种情形，注意分类求解．
(2)计算基本事件总数时，画出几何图形、树形图、分类列举法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段．
【自主体验】
1．(星课堂·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )． 2
A.3
23B.5 C.5
9D.10
解析 设事件“甲或乙被录用”为事件A，则A表示甲、乙都没被录用，由古1119
典概型，P(A)＝C3＝10，∴P(A)＝1－10＝10.
5
答案 D
2．(星课堂·江苏卷)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
解析 因1≤m≤7,1≤n≤9且m，n∈N*，∴m为正奇数有4种情形，n为正奇
1
C14C520
数有5种，因此所求事件的概率P＝C1C1＝63.
79
20答案 63
对应学生用书P367
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个坛子里有编号为1,2，?，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )． 1132A.22 B.11 C.22 D.11 22
解析 基本事件总数为C212，事件包含的基本事件数为C6－C3，故所求的概率为2
C226－C3
P＝C2＝11.
12
答案 D
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