广东省佛山市2024年普通高中高三教学质量检测(二)

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广东省佛山市2008年普通高中高三教学质量检测（二）

数学试题（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：

1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表格内.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式：

球的体积公式：V?4?R3 其中R表示球的半径 3第一部分选择题（共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集U?{1,2,3,4,5,6}，集合A?{1,2,5}，eUB?{4,5,6}，则集合A?B?（）．

A．{1,2}

B．{5}

C．{1,2,3}

D．{3,4,6}

2．若z?sin???i(cos??)是纯虚数，则tan?的值为（）．

35453 43C．?

4A．

4 34 D．?

3 B．

3．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率

可知一批电子元件中寿命在100~300小时的电子300~600小时的电子元件的数量的比大约是

A．频率组距125014003 20001 2000分布直方图如右图，由图元件的数量与寿命在（）．

11 B． 2311 C． D．

464．已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方

A．2163?2

B．2163? C．2103?2 100 200 300 400 500 600 寿命（h）

第3题图

视图都是半径为3的圆，体的表面积为（）．

D．2103?

5．某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）．

A．f(x)?x2

C．f(x)?lnx?2x?6

1 x D．f(x)?sinx

B．f(x)?开始 6．已知A为xOy平面内的一个区域．

输入函数f(x) ?0?x??命题甲：点(a,b)?{(x,y)|?}；命题乙：点

0?y?sinx?分条件，那么区域A的面积的最小值是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

f(x)?f(?x)?0? 是存在零点？是输出函数否 (a,b)?A．如果甲是乙的充

否 7．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5m2、形状为直角长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是（）． A．9.5m B．10 m C．10.5m D．11m

8．如图，四条直线互相平行，且相邻两条平行线的距离个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（）．

A．4h

2f(x) 三角形的框架，在下列四种

C结束第5题图 l1Dl2l3

均为h，一直正方形的4 B．5h

2BA第8题图

C．42h D．52h

第二部分非选择题（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，其中9—12题是必做题，13—15题是选做题.每小题5分，满分30分） 9．已知函数f(x)由右表给出，则f(f(2))?________，满足f(f(x))?f(3)的

f(x)

1 2

2 3

3 1

x的值是__________.

????????????????????

10．在△ABC中，若AC?BC?1，AB?BC??2，则BC的值为__________.

11．如果(2x?21n)的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为__________. 3x12．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22?1?3 32?1?3?5 42?1?3?5?7 23?3?5 33?7?9?11 43?13?15?17?19

根据上述分解规律，则5?___________________，若m3(m?N*)的分解中最小的数是21，则m的值为_________.

▲ 选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分. 13．（坐标系与参数方程）球坐标(2,柱坐标是 ____.

14．（不等式选讲）关于x的不等式x?1?x?2?a?a?1取值范围是 ____.

23??,)对应的点的直角坐

63DC标是 ____，对应点的

的解集为空集，则实数a的

A?O第15题图

B?BAC?30，15．（几何证明选讲）如图，AB是半圆O直径，BC为半圆的切线，且

BC?43，则点O到AC的距离OD? ____. 三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

函数f(x)?Asin(?x??)?B(A?0,??0,|?|?标为(?2)的图像上一个最高点的坐标为(?12,3)，与之相邻的一个最低点的坐

7?,?1). 12（Ⅰ）求f(x)的表达式；（Ⅱ）求f(x)在x?17．（本题满分12分）

?6处的切线方程.

?x?4?0?x?4?A是满足不等式组?的区域，B是满足不等式组?y?4的区域，区域A内的点P的坐标为?x,y?，

?0?y?4??x?y?4（Ⅰ）当x,y?R时，求P?B的概率；（Ⅱ）当x,y?Z时，求P?B的概率． 18．（本题满分14分）

如图，五面体A?BCC1B1中，AB1?4．底面是ABC是正三

角形，AB?2.四边形

B1C1BCC1B1是矩形，二面角A?BC?C1时直二面角.

BDAC

（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1//平面BDC1；（Ⅱ）当AB1//平面BDC1时，求二面角C?BC1?D的余弦值.

19．（本题满分14分）

已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间.

（Ⅰ）求函数f(x)?x2形如[n,??)(n?R)的保值区间；

（Ⅱ）g(x)?x?ln(x?m)的保值区间是[2,??)，求m的取值范围. 20．（本题满分14分）

已知抛物线y2?4x及点P(2,2)，直线l斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A、B两点.

（Ⅰ）求直线l在y轴上截距的取值范围；

（Ⅱ）若AP、BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD、BC交于定点. 21．（本题满分14分）

数列{an}和{bn}满足：

(1)a1?0，b1?0；

ak?1?bk?1a?b?0时ak?ak?1，bk?k?1k?1； 22a?ba?b当k?1k?1?0时，ak?k?1k?1，bk?bk?1(k?2,k?N*)。

22（Ⅰ）如果a1??3，b1?7，试求a2，b2，a3，b3；（Ⅱ）证明数列{bn?an}是一个等比数列；

(2)当

（Ⅲ）设n(n?2)是满足b1?b2?b3???bn的最大整数，证明n?log2a1?b1. a12008年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题（每题5分，共40分）

1 2 3 4 5 题号 A C C A D 答案二、填空题（每题5分，共30分,两空的前一空3分，后一空2分） 9． 1，1或3 10．3 11．7 12． 5?21?23?25?27?29，m?9

36 B 7 C 8 B ?13,3)，(1,,3) 14．(?1,0) 15. 3

322三、解答题（本大题共6小题，共80分）

13． (,16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）依题意的

T7???2????,所以T??,于是???2???????1分 212122T?A?B?3?A?2由?解得????????????????????????3分

?A?B??1B?1??把(,3)代入f(x)?2sin(2x??)?1,可得sin(??)?1,所以???2k??,

62126????所以??2k???3,因为|?|??2,所以???3 ????????????????5分

综上所述，f(x)?2sin(2x??3)?1????????????????????6分

（Ⅱ）（Ⅱ）因为f?(x)?4cos(2x?所以k?f?()?4cos(2??3)??????????????????8分

??6?2??)?4cos??2 ????????????9分 633 而f()?2sin(2???6?2??)?1?2sin?1?3?1???????????10分 633?从而f(x)在x?

) 66即6x?3y?33?3???0??????????????????????12分 17．（本题满分12分）

（4，4）?0?x?4解：画出不等式组?表示的可行域如图所示, 40?y?4? 其中D(4,0),E(4,4),F(0,4) ??????????2分 B为图中阴影部分??????????3分（Ⅰ）当x,y?R时,事件“P?B”的概率为 x4S?DEF1 ????????????????????????????7分 S正方形ODEF2（Ⅱ）当x,y?Z时,A中含整点个数N?5?5?25,B中含整点个数N0?15?10分 N153? 从而事件“P?B”的概率为0?N25513 答:当x,y?R时,P?B”的概率为;当x,y?Z时, P?B的概率为. 25?处的切线方程为y?(3?1)??2(x?y????????????????12分 18．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）当点D是AC中点时，有AB1//平面BDC1.-----2分连接B1C交BC1于点E，连接DE.于是E为B1C的中点，而DB1C1为AC中点，所以DE是?AB1C的中位线，所以DE//AB1， ----------------------------------5分而DE?平面BDC1，AB1?平面BDC1，所以AB1//平面BDC1.--------------------------------------------6分（Ⅱ）以D为坐标原点，DB、DA所在的直线为x轴、内作直线DF?AC，以DF所在直线为z轴，建立如图空----------7分

因为D(0,0,0)，B(3,0,0)，C1(0,?1,23)，所以

BDACy轴，过D点在平面ACC1间直角坐标系.

DB?(3,0,0)，

DC1?(0,?1,23). ----------9分

设n1?(x,y,z)为平面BDC1的法向量，则有

??3x?0，令z?1，????y?23z?0则x?0，y?23，所以平面BDC1的一个法向量为----------11分

n1?(0,23,1).

3??2333313,?,0)，所以cos?n1,n2??2??而平面BCC1的法向量为n2?(，所以二面角C?BC1?D的余弦值221313?3313. ----------14分 13z 2分方法二、（Ⅰ）当D为AC中点时,有AB1//平面BDC1???????为

证明:连结B1C交BC1于O,连结DO?????????3分

B1C1O

∵四边形BCC1B1是矩形 ∴O为B1C中点

又D为AC中点,从而DO//AB1???????????4分 ∵AB1?平面BDC1,DO?平面BDC1

∴AB1//平面BDC1 ????????????????6分

（Ⅱ）建立空间直角坐标系B?xyz如图所示, 则B(0,0,0),A(3,1,0),C(0,2,0),D(33,,0),C1(0,2,23)??????7分 22?????????33所以BD?(,,0),BC1?(0,2,23).????????????????8分

22?33?x?y?0??x?3z设n1?(x,y,z)为平面BDC1的法向量,则有?2,即???9分 2??y??3z?2y?23z?0???令z?1,可得平面BDC1的一个法向量为n1?(3,?3,1).??????????10分

???而平面BCC1的一个法向量为n2?(1,0,0) ????????????????11分

??????????n1?n23313????所以cos?n1,n2???????????????????13分 ?13|n1||n2|13所以二面角C?BC1?D的余弦值为

313 ????????????????14分 13 19．（本题满分14分）

解:(Ⅰ)若n?0,则n?f(0)?0,矛盾. ??????????????????2分若n?0,则n?f(n)?n2,解得n?0或1 ????????????????4分所以f(x)的保值区间为?0,???或?1,??? ????????????????5分（Ⅱ）因为g(x)?x?ln(x?m)的保值区间是[2,??)，

所以2?m?0，即m??2???????????????????????6分

1?0,得x?1?m ???????????????????7分 x?m所以g(x)在?1?m,???上为增函数,同理可得g(x)在??m,1?m?上为减函数?10分若2?1?m即m??1时,g(1?m)?2得m??1满足题意

若m??1时,g(2)?2,得m??1,矛盾。????????????????13分所以满足条件的m值为?1???????????????????????14分 g'(x)?1? 20．（本题满分14分）

解:(Ⅰ)设直线l的方程为:y?x?b(b?0),由于直线不过点P,因此b?0 ???1分

?y?x?b22得x?(2b?4)x?b?0,?????????????????3分 2?y?4x由??0,解得b?1??????????????????????????5分所以直线l在y轴上截距的取值范围是???,0??(0,1)???????????6分

由??m2??n2?（Ⅱ）设A,B坐标分别为?,m?、?,n? ????????????????7分

4???4?因为AB斜率为1,所以m?n?4????????????????????8分

?yD2?8?2n2m?y??,yk?k设D点坐标为?,因为B,P,D共线，所以,得， DD?PBDP?42?nm?2??yD?mm2直线AD的方程为y?m?(x?) ??????????????10分 224yDm?44myD2m2当x?0时，y???2 ??????????????11分 2yD?m2m?m?2m即直线AD与y轴的交点为(0,2),同理可得BC与y轴的交点也为(0,2) ???13分所以AD、BC交于定点(0,2) ?????????????????????14分

21．（本题满分14分）解:(1)因为

a1?b1a?b?2?0,所以a2?a1??3,b2?11?2.??????????2分 22a?b21a?b1因为2???0，所以a3?22??，b3?b2?2?????????4分

2222a?ba?bb?ak?1 (2)证明:当k?1k?1?0时,bk?ak?k?1k?1?ak?1?k?1;

222a?ba?bb?ak?1当k?1k?1?0时,bk?ak?bk?1?k?1k?1?k?1. ?????????6分

222b?a因此不管哪种情况,都有bk?ak?k?1k?1 ???????????????7分

21所以数列{bn?an}是首项为b1?a1，公比为的等比数列??????????8分

21 (3)证明:由(2)可得bn?an?(b1?a1)()n?1 ????????????????9分

2因为b1?b2?b3???bn(n?2),所以bk?bk?1(2?k?n)，

a?ba?b所以k?1k?1?0不成立，所以k?1k?1?0. ?????????????10分

22a?b此时对于2?k?n,都有ak?ak?1,bk?k?1k?1,

21于是a1?a2???an,所以bn?a1?(b1?a1)()n?1?????????????11分

2an?bn111?{a1?[a1?(b1?a1)()n?1]}?a1?(b1?a1)()n. 2222a?bna?b若n?0,则bn?1?nn，

22111所以bn?1?bn?[a1?(b1?a1)()n]?[a1?(b1?a1)()n?1]??(b1?a1)()n?0，

222所以bn?bn?1，这与n是满足b1?b2?b3???bn(n?2)的最大整数相矛盾，

a?bn因此n是满足n?0的最小整数. ??????????????????12分

2an?bn1b?aa?b?0?a1?(b1?a1)()n?0?11?2n?log211?n,命题获证.?14分 22?a1a1