高考数学(理科)模拟题及答案_6

高考数学（理科）模拟题6

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。 1．设集合A?{x|0?x?3},B?{y|y?2x,x?1}，则A∩B为

A．[0，3]

2

B．(2,3] C．[3,??)

D．[1，3]

2．若复数（a +i）在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是

A．－l

B．1

C．2 D．一2 3．在等差数列{an}中，a8?

A．24

1a11?6，则数列{an}前9项的和S9等于 2

C．72

D．108

B．48

4．下图给出的是计算是

11111????...?的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件2468100

A．i?50

B．i?50

C．i?25 D．i?25

5．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为

A．16

B．18

C．24

D．32

6．若a?log23，b?log32，c?log46,则下列结论正确的是

A．b?a?c

B．a?b?c

C．c?b?a D．b?c?a

7．下列四个判断：

①某校高三一班和高三二班的人数分别是m,n，某次测试数学平均分分别是a,b，则这两个班的数学平均分为

a?b； 2- 1 -

②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则有c?a?b；

1n1n③从总体中抽取的样本(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),若记x??xi,y??yi，则回

ni?1ni?1归直线y=bx?a必过点（x,y）

④已知?服从正态分布N(0,?2)，且P(?2???0)?0.4，则P(??2)?0.2 其中正确的个数有：

A．3个 B．2个

C．1个

D．0个

?x?3y?5?0?xy8．设实数x,y满足：?x?y?1?0，则z?2?4的最小值是

?x?2?0?11 B． C．1 D．8 421111

9．下图给出的是计算?????的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件

246100

A．是

A．i?100? B．i?100?

C．i?50?

D．i?50?

10．已知sin2??3??1(???),tan??????，则tan?????? 5422 B．?1 C．? A．?2

210 D．?

1111- 2 -

11．五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有

A．60种

B．48种

C．36种

D．24种

12．已知y?f(x?1)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x?[1,2]时，f(x)?log2x，设

14a?f()，b?f(),c?f(1)，则a、b、c的大小关系为

23

A．a?c?b B．c?a?b C．b?c?a

D．c?b?a

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分

1123(x?)的展开式中常数项是_______.（用数字作答） 13．

x14．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8?32，则

S10等于_______.

????15．已知向量a?(x,1)与b?(4,x)，且a与b的夹角为?，则x? .

16．由5个元素构成的集合M?{4,3,?1,0,1}，记M的所有非空子集为M1，M2，?，M31，

每一个Mi(i?1,2,?31)中所有元素的积为mi，则m1?m2???m31? . 三、解答题：

17．已知函数f(x)?23sin

xxxcos?2sin2. 333（Ⅰ）求函数f(x)的值域；

2（Ⅱ）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若f(C)?1，且b?ac，求sinA的值

18． 李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路

线（如图），L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

1；L2路线233，. 45

（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； ．．

- 3 -

（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

19．图（1），矩形ABCD中，已知AB?2，AD?22, MN分别为AD和BC的中点，

对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面

MNCD所成角为60?，如图（2）

（Ⅰ）求证：BO?DO；

（Ⅱ）求AO与平面BOD所成角的正弦值.

233320．已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn； ?a1?a2???an

（I）求证：数列{an}为等差数列，并求出通项公式； （II）设bn?(1?值范围。

121)?a(1?)，若bn?1?bn对任意n?N*恒成立，求实数a的取anany2x221．如图，已知F1、F2分别为椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的上、下焦点，其中F1也是抛

ab物线C2:x2?4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且MF1?5 3 - 4 -

（I）求椭圆C1的方程；

（II）已知点P(1,3)和圆O:x2?y2?b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，

????????????????B，在线段AB上取一点Q，满足：AP???PB，AQ??QB（??0且???1），

求证：点Q总在某条定直线上。

22．已知函数f(x)?ln(x?1)?mx，当x?0时，函数f(x)取得极大值.

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数f(x)?ln(x?1)?mx在区间(a,b)内导数都存在，且a??1，则存在x0?(a,b)，使得f?(x0)?函数g(x)?f(b)?f(a)。试用这个结论证明：若?1?x1?x2，

b?af(x1)?f(x2) (x?x1)?f(x1)，则对任意x?(x1,x2)，都有f(x)?g(x)；

x1?x2

（Ⅲ）已知正数?1,?2,????n，满足?1??2?????n?1，求证：当n?2，n?N时，对任意大于?1，且互不相等的实数x1,x2,??xn，都有

f(?1x1??2x2?????nxn)??1f(x1)??2f(x2)?????nf(xn)。

参考答案

- 5 -

一、选择题：1-8BADBCD BCBBA CD

二、填空题： 13．-220； 14．60； 15．?2； 16．?1 16．解：（1）

f(x)?3sin2x3?cos2x3?1?2sin(2x?3?6)?1 ?????????3分 ∵x?R，

∴?1?sin(2x3??6)?1 ????????????????4分 ∴?3?2sin(2x3??6)?1?1 ????????????????5分 ∴函数f(x)的值域为[?3,1] ???????????????6分 （2）f(C)?2sin(2C3??6)?1?1， ???????7分 ∴sin(2C3??6)?1，而C?(0,?)， ∴C??2. ???????8分

在Rt?ABC中，b2?ac，c2?a2?b2， ?????????9分

∴c2?a2?ac，得(a)2ac?c?1?0 ?????????10分 解得：

a?1?5c?2 ???????11分 ∵0?sinA?1， ∴sinA?a5?1c?2. ????????12分 17．解：（Ⅰ）设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A， ?????1分

则 P(A)=C01113?()3?C13??()?212222， ?????3分

所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为

12. ?????4分 （Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2. ?????5分

P(X=0)=(1?34)?(1?35)?110，P(X=1)=34?(1?33395)?(1?4)?5?20， P(X=2)=34?35?920. ????8分

随机变量X的分布列为：

X 0 1 2

P

1 991020 20

- 6 -

所以EX?19927. ?????10分 ?0??1??2?10202020（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y~B(3,)，所以

1213EY?3??.

22因为EX?EY，所以选择L2路线上班最好. ?????12分

18．解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM?MN, BC?MN, 折叠垂直关

系不变，所以∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60，??????????????????2分

由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD中，AB=2,AD=22,所以，BD=

o

6，由题可知BO=OD=3，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以

BO⊥DO ????????????????? 5分

解（2）设E，F是BD，CD的中点，则EF?CD，OF?CD，所以，CD?面OEF，OE?CD 又BO=OD，所以OE?BD，OE?面ABCD，OE?面BOD，平面BOD⊥平面ABCD 过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH，??? 8分 所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角.??11分

AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=23，BO=OD=3， 3所以sin∠AOH=

2（14分） 3方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，

- 7 -

Q（0，0，0），B（62，0，0），D（0，222，2），O（0，?2，1） 所以???BO??（?6????2，?22，1），DO?（0，?2，?1)

所以???BO?????DO??0，即BO⊥DO（5分）

（2）设平面BOD的法向量是?n?(x,y,z)，可得：?622x?2y+z=0

?2y?z=0，令y?2可得：x??6,z??2所以?n?(?6,2,?2)又???AO??（?622，?2，?1)，

设AO与平面BOD所成角为?

sin??cos????AO?,???n??=23（14分）

19．本题满分14分

解：（1）由S23332333n?a1?a2?...?an，得Sn?1?a1?a2?...?an?1

两式相减得a3S22n?n?Sn?1?(Sn?Sn?1)(Sn?Sn?1)?an(Sn?Sn?1)

因为a2n?0，所以an?Sn?Sn?1(n?2) 所以a2n?1?Sn?1?Sn?2(n?3)

两式相减得a22n?an?1?Sn?Sn?2?an?an?1，所以an?an?1?1(n?3)

- 8 -

23又S12?a1，且a1?0，所以a1?1 ?a1233332，所以(1?a2)2?1?a2，所以a2S2?(a1?a2)2?a1?a2?a2?2a2?0

由a2?0，得a2?2，所以an?an?1?1(n?2)，数列?an?为等差数列 通项公式an?n

（注：猜对通项公式an?n，给4分）

1111?)(??a?2)?0 n?1nn?1n1111??a?2?0，即a?2??对任意成立 所以

n?1nn?1n1所以实数a的取值范围为a?

2（2）bn?1?bn?(20．（1）解法一：令M为(x0,y0)，因为M在抛物线C2上，故x02?4y0，① 又MF1?55，则y0?1? ② 33226，y0?

33由①②解得x0??椭圆C1的两个焦点为F1(0,1)，F2(0,?1)，点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a?MF1?MF2

?(?262262?0)2?(?1)2?(??0)2?(?1)2?4 3333?a?2，又c?1，?b2?a2?c2?3

y2x2?椭圆C1的方程为??1

432262()2(?)4833?1??1 解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有2?，即

ab29a23b222又c?1，即b?a?1，解得a?4,b?3

22y2x2?椭圆C1的方程为??1

43（2）证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x,y)

- 9 -

由???AP???????PB?，可得(1?x1,3?y1)???(x2?1,y2?3)

即⑤ ??x1??x2?1????y

?y12?3(1??)⑥

由???AQ??????QB?，可得(x?x1,y?y1)??(x2?x,y2?y)

?x1??⑦ 即?x2?(1??)xy ?1??y2?(1??)y⑧

⑤×⑦得x21??2x22?(1??2)x， ⑥×⑧得y21??2y22?3y(1??2) 两式相加，得(x21?y221)??(x22?y22)?(1??2)(x?3y)

又点A，B在圆x2?y2?3上，?x21?y21?3,x22?y22?3，且???1

即x?3y?3，故点Q总在直线x?3y?3上 方法二：

由???AP???????PB?，可得(1?xx?11,3?y1)???(x2?1,y2?3)，所以??1x2?1由???AQ??????QB?，可得(x?x)??(xx?x11,y?y12?x,y2?y)，所以??x2?x所以

x?x1x1?1xx，所以x??x1?x2?2x1x2x?（*） 2?2?1x1?x2?2当斜率不存在时，由特殊情况得到Q(1,23) 当斜率存在时，设直线为y?k(x?1)?3

??y?kx?3?k?(1?k2)x2?2(3?k)kx?k2?6k?6?0 ?x2?y2?3?xx2(3?k)kk2?6k?61?2??1?k2,x1x2?1?k2

代入（*）得x?3k?63k?1，而y?k(x?1)?3，消去k，得x?3y?3 而Q(1,23)满足方程，所以Q在直线x?3y?3上 21．（本题满分14分）

- 10 -

解：（1）f?(x)?1x?m. 由f?(0)?0，得m??1，此时f?(x)??. x?1x?1当x?(?1,0)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(?1,0)上单调递增； 当x?(0,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(0,??)上单调递减.

?函数f(x)在x?0处取得极大值，故m??1.?????????3分

（2）令h(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(x1)?f(x2)(x?x1)?f(x1)，???4分

x1?x2则h?(x)?f?(x)?f(x1)?f(x2).

x1?x2∵函数f(x)在x?(x1,x2)上可导，?存在x0?(x1,x2)， 使得f?(x0)?f(x1)?f(x2).

x1?x2?f'(x)?1x0?x11?1，?h?(x)?f?(x)?f?(x0)? ??x?1x?1x0?1(x?1)(x0?1)∵当x?(x1,x0)时，h?(x)?0，h(x)单调递增，?h(x)?h(x1)?0； ∵当x?(x0,x2)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，?h(x)?h(x2)?0； 故对任意x?(x1,x2)，都有f(x)?g(x).??????????8分 （3）用数学归纳法证明.

①当n?2时，??1??2?1，且?1?0，?2?0，

??1x1??2x2?(x1,x2)，?由（Ⅱ）得f(x)?g(x)，即

f(?1x1??2x2)?f(x1)?f(x2)(?1x1??2x2?x1)?f(x1)??1f(x1)??2f(x2)，

x1?x2?当n?2时，结论成立. ??????????9分

②假设当n?k(k?2)时结论成立，即当?1??2?????k?1时，

f(?1x1??2x2?????2xk)??1f(x1)??2f(x2)?????kf(xk). 当n?k?1时，设

正数?1,?2,???k?1满足?1??2?????k?1?1，令m??1??2?????k，

- 11 -

??11?m,??22?m,??，?kk??m，则m??k?1n?1，且?1??2?????k?1.

f(?1x1??2x2?????kxk??k?1xk?1) ?f?m(?1x1?????kxk)??k?1xk?1?

>mf(?1x1?????kxk)??k?1f(xk?1) >m?1f(x1)????m?kf(xk)??k?1f(xk?1)

??1f(x1)?????kf(xk)??k?1f(xk?1) ??????????13分

?当n?k?1时，结论也成立。

综上由①②，对任意n?2，n?N，结论恒成立. ??????????14分

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