高考一轮专练——抽象函数
1. 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),试判断f(x)的奇偶性。
2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m) 3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。 1f(x)对任意x1,x2?[0,],都有f(1x?211已知f(1)?2，求f(),f()的值. 244. 设函数 2x)?(f1?x),(ffx(x)?2 ) 5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。 6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0. （1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数. 7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有 （1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小； （2）若f（k?3)?f(3?9?2)＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。 9.已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a?sinx)?f(a?1?cosx)对x?R恒成立，求实数a的取值范围。 10．已知函数f(x),当x,y?R时，恒有f(x?y)?f(x)?f(y). （1）求证: f(x)是奇函数;（2）若f(?3)?a,试用a表示f(24). 22f(a)?f(b)＞0 a?bxxx 1 11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: f(a?b)?af(b)?bf(a). （1）求f(0),f(1)的值;（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论; f(2?n)(n?N*)，求数列{un}的前n项和sn. （3）若f(2)?2,un?n 12．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)?x2?x))?f(x)?x2?x. （1）若f(2)?3,求f(1);又f(0)?a,求f(a); （2）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)?x0，求函数f(x)的解析表达式. 13．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n)?当x?11，且f()?0，221时, f(x)>0. 2*（1）求f(1);（2）求和f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)(n?N); （3）判断函数f(x)的单调性，并证明. 14．函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x?R,有f(x)>0；②对任意x,y?R,有 1f(xy)?[f(x)]y；③f()?1. 3（1）求f(0)的值;（2）求证: f(x)在R上是单调减函数; 2（3）若a?b?c?0且b?ac，求证：f(a)?f(c)?2f(b). 15．已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n),且当x?0时,0?f(x)?1. （1）证明:f(0)?1,且x?0时,f(x)>1;（2）证明: f(x)在R上单调递减; 22（3）设A={(x,y)f(x)?f(y)?f(1)},B={(x,y)f(ax?y?2)?1,a?R},若A?B=?,试确定a的 取值范围. 2 16．已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)?f(x)?f(a?x). （1）用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数; （2）证明:函数y=F(x)的图象关于点( 17．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x?1对称. （1）求f(0)的值；（2）证明： 函数f(x)是周期函数; （3）若f(x)?x(0?x?1),求当x?R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象。 18．函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)?1,f(xy)?f(x)?f(y),f(x)是减函数。 （1）证明：f(1)?0；（2）若f(x)?f(x?3)?2成立，求x的取值范围。 19．设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0． （1）试判断函数y?f(x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． 20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 a,0)成中心对称图形. 2 3 21. 已知函数f（x）对任意＞2，f（3）＝5，求不等式 22. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；② ③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 答案： 1. 解：令x1= -1，x2=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令x1=1，x2=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令x1=x2=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 2. 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解：∵f (x)是偶函数， f (1-m) ； ，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x） 的解。 ?1?m?m?1?2m?m2?m21?是 ?，即 化简得-1≤m<。 ??2?1?m?2?0?1?m?22??2?m?2?0?m?2??3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。 xx?1?)?f()≥0，x??0,1? 4. 解：由f（x1?x2)=f（x1)?f(x2)，x1,x2??0,?知 f（x）=f（222??111112?f(1)?f(?)?f()?f()?[f()] 22222， f（1）=2， 11142f(?f()?2. 同理可得4)?2 215.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故 1?1?1?f(x),f（x+2）=f（x+4）=1?1?f(x)1?1?1?f(x)1f(x)???f(x)f(x). 所以f（x+8）=f(x)1?f(x). f(x?4) 所以f（x）是以8为周期的周期函数， 4 从而f（2001）=f（1）=1997 说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。 （2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y）， 且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数. 说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。 7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。 8. 解：（1）.因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得 f(a)?f(?b)＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）= a?b－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b） （2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f(k?3x)＋f(3x?9x?2)＜0，得f(k?3x)＜ xxxxf(9x?3x?2)，故k?3＜9?3?2，所以k＜3?2?1 x3122x3?[,3]令t＝,所以k＜t+t?1，而t+≥22，即k＜2 3t 9.解：f(a?sinx)?f(a?1?cosx)等价于 222－1 ??a?sinx?3?a?3?sinx?a2?3??1???2??a?2??cos2x??a?2?0? ?a?1?cosx?3?a2?sinx?a?1?cos2x?a2?a?1?cos2x?sinx?5???a2?a?1??422???2?a?2?1?10? a?2??2?a??2??a?1?10或a?1?10??22 10.（1）证明：令y??x，得f(x?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(0) 令x?y?0，则f(0)?2f(0)?f?0??0 ∴f(x)?f(?x)?0f(?x)??f(x) ∴f(x)是奇函数。 5 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库数学练习题抽象函数(含答案)在线全文阅读。
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