江西省南昌二中2024届高三上学期第二次月考数学(理)试题

南昌二中

2012—2013学年度高三上学期第二次月`考

数学（理）试题

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．若tanα=2, tan（β-α）=3,则tan（β-2α）的值为

1111 B．- C． D．- 7997a?3i2．若复数(a?R)是纯虚数，则实数a的值是

1?2i

A．

A．?2

B．4

C．?6

D．6

3．用数学归纳法证明1?2?3???n?

A．k2+1 C．

2，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加 B．（k+1）2

D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2

4．已知实数a满足1?a?2，命题p：函数y?lg(2?ax)在区间?0,1?上是减函数；命题q：x2?1

是x?a的充分不必要条件，则 A．p或q为真命题 C．?p且q为真命题

B．p且q为假命题

D．?p或?q为真命题

?????????????????????5．等边三角形ABC的边长为1，如果BC?a,CA?b,AB?c,那么a?b?b?c?c?a等于

133 C．? D． 22222?6．若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11?，则tana6的值为

3

A．?B．

A．3

B．?3

C．?3

D．?1 2

3 37．函数y?cos(2x?

1)定义域为[a,b]，值域为[?,1]，则b?a的最大值与最小值之和为 325?4A．? B． C．2? D．?

33?

8．下列计算错误的是

1

A．?sinxdx?0

?ππ

π20B．?10xdx?23

C．?cosxdx?2?cosxdxπ2π?2

D．?sin2xdx?0

?ππ??2??9．已知向量a?(an,2),b?(an?1,)且a1?1，若数列?an?的前n项和为Sn，且a∥b，则Sn=

5

5?1?A．(1???) 4?5?3n1?1?B．(1???) 4?5?2n1?1?C．(1???4?5?n?1) 5?1? D．(1???4?5?n?1) 10．已知函数f(x)?x?bx?cx?1有两个极值点x1,x2且x1?[?2,?1],x2?[1,2]，则f(?1)的取

值范围是

A．[3,12]

B．[?33,6] C．[?,3] 22 D．[?3,12] 2二、填空题（每小题5分，共25分）

11．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)?3x2?2xf?(2)，则f?(3)=________．

1?cos2x?8sin2x12．当0?x?时，函数f(x)?的最小值为________．

sin2x2???????5??13．设a?(1,2),b?(?2,?4),|c|?5,若(a?b)?c?，则a与c的夹角为________．

214．对于任意实数a(a?0)和b，不等式|a?b|?|a?b|?|a||x?1|恒成立，则实数x的取值范围

是________．

15．若{bn}是等比数列，m,n,p是互不相等的正整数，则有正确的结论：

?bp??bm??????b??b?n??p?mn?b???n??1．类比上述性质，相应地，若{an}是等差数列，m,n,p是互不相等?bm?p的正整数，则有正确的结论： ． 三、解答题（共有6题满分75分） 16．（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列?an?的前4项和为10，且a2,a3,a7成等比数列． （Ⅰ）求通项公式an；

（Ⅱ）设bn?2an,求数列?bn?的前n项和Sn． 17．（本小题满分12分）

2

x2已知函数f(x)??mx，其中m为实常数．

2（Ⅰ）当m?1时，求不等式f(x)?x的解集； 2x?0的解集． 2（Ⅱ）当m变化时，讨论关于x的不等式f(x)? 18．（本小题满分12分）

已知f(x)??sin?xcos?x?3cos2?x?3的周期为2? 2（I）求f?x?的最大值以及取最大值时x的集合 （II）已知f????1?5??2?) ，且??(0,)，求cos(326

19．（本小题满分12分）

在锐角三解形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sinA?8cosBcosC （I）求tanB?tanC的值；

（II）若a?3，求?ABC面积的最大值．

20．（本小题满分13分）已知函数f(x)?x?ax?lnx,a?R.

3

2（I）若函数f(x)在?1,2?上是减函数，求实数a的取值范围；

（II）令g(x)?f(x)?x，是否存在实数a，当x??0,e?（e是自然常数）时，函数g(x)的

2最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由； 21．（本小题满分14分） ??????已知a?(cosx,1),b?(f(x),2sinx),a//b ，数列{an}满足：

441a1?,an?1?f(an)(n?N*)。 2（I）用数学归纳法证明：0?an?an?1?1； （II）已知an?

1?4??； ,证明:an?1?an?244（Ⅲ）设Tn是数列{an}的前n项和，试判断Tn与n-3的大小，并说明理由。

4

参考答案

一、选择题ACDAA BDDAA

二、填空题11． -6；12．4；13．1200 14． ?1?x?3; 15． m(ap?an)?n(am?ap)?p(an?am)?0;

三、解答题（共有6题满分75分） 16．解：（1）由题意知

??4a1?6d?10,…………………………3分?(a2 1?2d)?(a1?d)(a1?6d).解得??a1??2?d?3……………………………………………………… 5分

所以an=3n－5．………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）∵bn?2an?23n?5?14?8n?1 ∴数列{b1n}是首项为

4，公比为8的等比数列，---------------------------9分1(1?8n)所以S8n?n?41?8?128;…………………………………………12分17．解（Ⅰ）当m?12时，由f(x)?x，得x22?x2?x，即x(x?3)?0． 的解集是{x0?x?3}， （4分）

（Ⅱ）由f(x)?xx22?0，得2?mx?x2?0，即x[x?(2m?1)]?0． 当2m?1?0，即m?12时，不等式的解集为{xx?0或x?2m?1}； 当2m?1?0，即m?12时，不等式的解集为{xx?0或x?2m?1}； 当2m?1?0，即m?12时，不等式的解集为R． 18．解：（1）f?x???12sin2?x?32cos2?x?sin??2???2?x?3?? T?2?2??2????12，?f?x??sin??2???x?3??，

f?x?的最大值是1，?当f?x?=1时，x?2??3?2k??2，k?Z

5

2分）∴不等式

（6分） 8分） 10分）

12分）

（ （ （ （

?f?x?的最大值是1，此时x的集合为?xx?2k??? （2） ?f????sin??????,k?Z? 6???2?3?2??2???1,又?(0,)?????,??…………8分 ???3?32?3??cos???????2??224??42?………．9分 ?sin?2??…………．10分 ??????3?33?9?5?6???4???4??????cos2????cos??2?? ????????32?3?????2?42???………………12分 ?9??cos?2??4???sin?2??3?19．解法1：①由已知得sin(B?C)?8cosBcosC

?sinBcosC?cosBsinC?8cosBcosC，?tanB?tanC?8 3bc由正弦定理得 =?sinAsinBsinC113sinB3sinC?S??bcsinA????sinA

22sinAsinA9sinBsinC9tanB?tanC9tanB?tanC2?????()=9 2sin(B?C)2tanB?tanC162当且仅当B?C时等号成立．

12x2?ax?1?0在?1,2?上恒成立， 20．解：（I）f(x)?2x?a??xx'?a??1h(1)?0??2令h(x)?2x?ax?1，有? 得?7

a???h(2)?0??2得a??7 ………………6分 22（II） 假设存在实数a，使g(x)?f(x)?x，x??0,e? 有最小值3，

g'(x)?a?1ax?1 ?xx①当a?0时，g(x)在?0,e?上单调递减，

g(x)min(x)?g(e)?ae?1?3，a?②当0?

4（舍去）， e1?1??1??e时，g(x)在?0,?上单调递减，在?,e?上单调递增 a?a??a?6

11?g(x)min(x)?g()?1?lna?3，a?e2，满足条件．③当?e时，g(x)在?0,e?上单调

aa递减，

g(x)min(x)?g(e)?ae?1?3，a?4（舍去），综上，存在实数a?e2，使得当x??0,e?时eg(x)有最小值3． ………………13分

????21．解：由a//b,f(x)?sinx,即an?1?f(an)?sinan 2 2（1）用数学归纳法证明：

于上当n=k+1时，结论仍成立，根据（i）（ii）知（1）成立

…………4分

142???8122（,1）是减函数，且g(1)?0,g()??1 ?g(x)在(,)是增函数，28233?1??当x??,1?时,g(x)?0?2?，

?sin?x??4x?4??成立，即结论成立 4…………9分 （3）由（2）知，1?an?1?(1?an)?()2(1?an?1)???()n?……11分

4442 ???1?(1?a1)?(1?a2)???(1?an)?1???[1??()2???()]?24441?1??12?2,4??4

7

2, 4??23??102又?3??0,?n??n?3,故Tn?n?3. 4??4??4??即Tn?a1?a2???an?n?

…………14分

8

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