江苏省盐城市2024届高三第二次模拟考试(数学理)2024盐城二模

(2)连接BD交AC于点O, 连接EO, 因为PD?平面AEC,PD?面PBD, 面

PBD?面AEC=EO, 所以

PD//EO…………………………………………………………………11分 则

PE:EB=

DO:OB, 而

DO:OB?DC:AB?2, 所以

PE:EB?2………………………… 14分

16

2．

22解: (1)因为

1a2?c2?aca?c?b2cosB??2ac2ac……………………………………………

………3分

12ac?ac2?3?2ac4cosB?, 所以

34……………………………………………………………………

6分

(2)因为cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cos(A?C)?2sinAsinC?1, 所以

sinAsinC?11b2?ac2…………9分 又由2,得

11sin2B?sinAsinC?24,

sinB?12………………12分 由(1),得

所以

B??6…………………………………14分

GCGC?AG?FG?40AG?100FGAB17．解: (1) 因为,,所以由,即GCGC?1004000?GC?40xx?40, ,解得

GDGD?AG?EGABGDGD?100?90x同理,由

GC?,即, 解得

9000x?90…………………………………2分

所

y?GD?GC?1000?(以

94x?)?5000?2,x?[140,180]x?90x?40x?130x?3600……

… 5分

3600?x2y??5000?2?02(x?130x?3600)因为, 所以y在[140,180]上单调递减,

故当

x?140㎝时,

y取得最大值为140

㎝………………………………………………………………8分

y?5000,x?[140,180]36003600x??130x??130xx, 因为在[140,180]另法: 可得上单调递增,

所以y在[140,180]上单调递减, 故当x?140㎝时,y取得最大值为140㎝…………………………8分

GCGC?100100h?GC?xx?h(2)由h,得GD?100(h?50)x?h?50GDGD?100?x,由h?50,得

?AG?GD,即1,所以由题意知GC?AG100h100(h?50)?100?x?hx?h?50对x?[140,180]恒成立……………………12分

x140??h?h??70????22??x?h??50?h?180?50?40?2?2从而?对x?[140,180]恒成立,解得?,故h的取值

范围是?40,70?…14分

(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h的范围与AG的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)

?c2??2?a1?1??1?222a4b?2?a?b2?c2?18．解:(1)由?,解得

??a?1?2?b??2??2c???2,所以椭圆C的方程为

x2?2y2?1………………………4分

(2)设

B(m,n),

C(?m,n),则

1S?ABC??2|m|?|n|?|m|?|n|2………………………………………6分

又1?m?2n?22mn?22|m|?|n|, 所以当

且

仅

当

2222|m|?|n|?24,

|m|?2|n|时取等

号…………………………………………………………………………8分 从

而

S?ABC?24, 即

?ABC面积的最大值为

24…………………………………………………… 9分

(3)因为A(－1,0),所以AB:y?k1(x?1),AC:y?k2(x?1),

?y?k1(x?1)?222222(1?2k)x?4kx?2k?1?0,解得x=－1或x?2y?1?111由,消去y,得1?2k12x?1?2k12,

1?2k122k1B(,)221?2k1?2k11∴点……………11分 同理,有1?2k222k2C(,)221?2k21?2k2,而k1k2?2, k12?84k1C(,)228?k8?k11∴…12

分 ∴直线BC的方程为

4k12k1?2k18?k121?2k121?2k12y??2?(x?)222k?81?2k1?2k11?2k111?8?k121?2k12,

即

y?2k13k11?2k12y???(x?)1?2k122(k12?2)1?2k123k15k1x?2(k12?2)2(k12?2)………………………14分

,即

?y?0?22yk?(3x?5)k?y?011所以,则由?3x?5?0,得直线BC恒过定点

5(?,0)3…………………16分

(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设D(x1,y1),E(x2,y2),然后代入找关系)

a2k?1?4q?2a19．解: (1)因为k,所以2k?1,故a1,a3,a5,???,a2k?1是首项为1,公

比为4的等比数列, 所

以

1?4k1ka1?a3?a5?????a2k?1??(4?1)1?43………………………………………

…………… 4分

(注: 讲评时可说明, 此时数列?ak?也是等比数列, 且公比为2) (2)①因为a2k,a2k?1,a2k?2成等差数列,所以2a2k?1?a2k?a2k?2, 而

a2k?a2k?1,a2k?2?a2k?1?qk?1qk,所以

1?qk?1?2qk,则

qk?1?1?1qk?1qk………………………… 7分 ?qk111??1??1qk?1qk?1,所以qk?1?1qk?1,即bk?1?bk?1,

得qk?1?1所

以

?bk?是等差数列,且公差为

1………………………………………………………………………9分

2d?2a?a?2a1322②因为,所以,则由?1?a3?a2?2,解得a2?2或

a2??1………………10分

1?k(ⅰ)当a2?2时, q1?2,所以b1?1,则bk?1?(k?1)?1?k,即qk?1,得

qk?k?1k,所以

a2k?1(k?1)2?a2k?1k2,则

a2k?1a2k?1a3(k?1)2k222a2k?1????????a1???????2?1?(k?1)222a2k?1a2k?3a1k(k?1)1……12分

a2k?1(k?1)2a2k???k(k?1)k?1qkk所以

Dk?,则

dk?a2k?1?a2k?k?1,故

k(k?3)2……………14分

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试 数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1. 若直线y?kx?1与直线2x?y?4?0垂直, 则k? ▲ .

3Q?{x|?1?x?}4, 若P?Q??, 则整数m= 2. 已知集合P?{?1,m},

▲ .

3. 一根绳子长为6米, 绳上有5个节点将绳子6等分, 现从5个节点中随机选一个将绳子剪断, 则所得的两段绳长均不小于2米的概率为 ▲ .

4. 某校共有学生2000名,各年级人数如下表所示:

年级 人数 高一 800 高二 600 高三 600 开始 1 S←开始0,k←开始 S←S+k k←k+1 否 现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生, 则应在高三年级抽

取的学生人数为 ▲ .

5. 若命题“?x?R,x?ax?a?0”为真命题, 则实数a的取值范

围是 ▲ .

2k > a ? 是 输出S 结束 第6题

6. 某程序框图如图所示, 若输出的S?10, 则自然数a? ▲ .

7. 若复数z满足|z?i|?1（其中i为虚数单位）, 则|z|的最大值 为 ▲ .

8. 已知向量a的模为2, 向量e为单位向量, 若e?(a?e), 则向量

a与e的夹角大小为 ▲ .

9. 在等比数列?an?中, 已知a1a2a3?5, a7a8a9?40, 则a5a6a7? ▲ . 10. 函数

f(x)?sin2x?sin?6?cos2x?cos????5??,??6在?22?上的单调递增区间

为 ▲ .

2211. 过圆x?y?4内一点P(1,1)作两条相互垂直的弦AC,BD, 当

AC?BD时, 四边形ABCD的面积为 ▲ .

12. 若y?f(x)是定义在R上周期为2的周期函数, 且f(x)是偶函数,

xx?[0,1]f(x)?2?1, 则函数g(x)?f(x)?log5|x|的零点个数为 当时,

▲ .

13. 设f(x)是定义在R上的可导函数, 且满足f(x)?x?f?(x)?0, 则不

2f(x?1)?x?1?f(x?1)的解集为 ▲ . 等式

?1???{a}a?5a?2114. 在等差数列n中, 2, 6, 记数列?an?的前n项和为Sn,

若

S2n?1?Sn?m15对n?N*恒成立, 则正整数m的最小值为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

在四棱锥P?ABCD中, PA?底面ABCD, AB?CD,

AB?BC,AB?BC?1,DC?2, 点E在PB上.

P 求证: 平面AEC?平面PAD； 当PD?平面AEC时, 求PE:EB的值.

16．(本小题满分14分)

设?ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c, 求证:

cosB?34；

若cos(A?C)?cosB?1, 求角B的大小.

E

A

B

D

C

第15题

且b2?12ac.

17．(本小题满分14分)

因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB的眼睛

B到地面的距离x(cm)在区间[140,180]内. 设支架FG高为h(0?h?90)㎝, AG?100㎝, 顾客可视的镜像范围为CD(如图所示), 记CD的长度为y（y?GD?GC）.

(1) 当h?40㎝时, 试求y关于x的函数关系式和y的最大值； (2) 当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC?GA1?GD（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h的取值范围.

E

B

A

F G C

第17题

· A1 D

18．(本小题满分16分)

x2y2212??1(a?b?0)P(,)22已知椭圆ab的离心率为2, 且过点22, 记椭

圆的左顶点为A. 求椭圆的方程；

设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点, 试求?ABC面积的最大值； 过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于

D,E两点, 且k1k2?2, 求证: 直线DE恒过一个

y P · A O x 定点.

第18题

19．(本小题满分16分)

在数列?an?中,a1?1, 且对任意的k?N,a2k?1,a2k,a2k?1成等比数列, 其

*公比为qk.

若

qk?2(k?N*), 求a1?a3?a5?????a2k?1； 若对任意的k?N*,a2k,a2k?1,a2k?2成等差数列, bk?1qk?1.

① 求证:?bk?成等差数列, 并指出其公差； ② 若d1?2, 试求数列?dk?的前k项和Dk.

20．(本小题满分16分)

Equation Chapter 1 Section 1 其公差为dk, 已知函设

数

f1(x)?e|x?2a?1|,f2(x)?e|x?a|?1,x?R.

(1) 若a?2, 求f(x)?f1(x)+f2(x)在x?[2，3]上的最小值； (2) 若x?[a,??)时, f2(x)?f1(x), 求a的取值范围； (3) 求函数

g(x)?f1(x)?f2(x)|f1(x)?f2(x)|?22在x?[1，6]上的最小值.

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试 数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修4—1：几何证明选讲） 如图, 等边三角形ABC内接于圆O, D为劣弧BC上一点, 连接BD,CD并延长分别交

AC,AB的延长线于点E,F.

2CE?BF?BC求证: .

A

·O

B D F E

第21题(A)

C

B．（选修4—2：矩阵与变换）

已知二阶矩阵A将点(1,0)变换为(2,3), 且属于特征值3的一个特征向

?1??1?量是??, 求矩阵A．

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

x2y2??1P(x,y)1612已知点在椭圆上, 试求z?2x?3y最大值.

D.（选修4—5：不等式选讲） 设

a1,a2,a3均为正数, 且

a1?a2?a3?m, 求证:

1119???a1?a2a2?a3a3?a12m.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22．（本小题满分10分）

甲、乙、丙三人投篮, 甲的命中率为p, 乙、丙的命中率均为

q?p,q??0,1??. 现每人独立投篮一次, 记命中的总次数为随机变量为

?.

p?q?12时, 求数学期望E(?)；

(1) 当

(2) 当p?q?1时, 试用p表示?的数学期望E(?).

23．（本小题满分10分）

某班级共派出n?1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式, 其中男生甲为领队. 入场时,领队男生甲必须排第一个, 然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场, 共有En种排法；入场后, 又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务, 共有Fn种选法.

⑴试求En和Fn；

*lnEF(n?N), 并用数学归纳法证明. nn⑵判断与的大小

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

13

1. 2.0 3. 4.36 5.0≤a≤4 25

?6.4 7.2 8.3

?5????,??9.20 10.?1212? 11. 6 12. 8

13.?x|1?x?2? 14.5

(注: 第13题讲评时可说明, 为什么x?1是不等式的解?)

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，

A

B

O 证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(1)证明: 过A作AF?DC于F, 则CF=DF=AF,

D

C

所以?DAC?90, 即AC?DA…………………………… 2分 又PA?底面ABCD,AC?面ABCD,所以AC?PA……4分 因为PA,AD?面PAD,且PA?AD?A,

所以AC?底面PAD…………………………………………6分 而

AC?0F

面

ABCD, 所以平面

AEC?平面

PAD…………………………………………………… 8分

(ⅱ)当a2??1时, q1??1,所以

13?k?qk?12,

b1??113bk???(k?1)?1?k?2,则22,即

得

12qk?3k?2k?,所以

131(k?)2(k?)2()22?2?????2?1?4(k?1)2?aaa12a2k?1?2k?1?2k?1?????3?a1(k?3)2(k?5)2(?)2a2k?1a2k?3a1222, a2k?a2k?1?(2k?1)(2k?3)2d?a?a?4k?2D?2kqkk2k?12kk,所以,从而.

Dk?k(k?3)2则综

上所述,或

Dk?2k2…………………………………………………………………16

分

20．解:(1)因为a?2,且

f(x)?e|x?3|x?[2，3],所以

?e|x?2|?1?e3?x?ex?1e3exe3ex?x??2x??2eeeee,

当且仅当x=2时取等号,所以f(x)在x?[2，3]上的最小值为

3e…………………………………4分

(2)由题意知,当x?[a,??)时,e立……………… 6分

|x?2a?1|?e|x?a|?1,即|x?2a?1|?|x?a|?1恒成

2所以|x?2a?1|?x?a?1,即2ax?3a?2a对x?[a,??)恒成立,

则由

2a?0??22?2a?3a?2a,得所求a的取值范围是

0?a?2……………………………………………9分

(3) 记h1(x)?|x?(2a?1)|,h2(x)?|x?a|?1,则h1(x),h2(x)的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为?1. ①当1?2a?1?6,即

1?a?72时,易知g(x)在x?[1，6]上的最小值为

f1(2a?1)?e0?1……10分

②当a<1时,可知2a－1

(ⅰ)当h1(1)?h2(1),得|a?1|?1,即0?a?1时,g(x)在x?[1，6]上的最小

2?2af(1)?e1值为…11分

(ⅱ)当h1(1)?h2(1),得|a?1|?1,即a?0时,g(x)在x?[1，6]上的最小值

2?af(1)?e2为………12分

③当

a?72时,因为2a－1>a,可知2a?1?6,

7?a?4h(6)?1|2a?7|?1(ⅰ)当1,得,即2时,g(x)在x?[1，6]上的最小值

2a?7f(6)?e1为…13分

(ⅱ)当h1(6)?1且a?6时,即4?a?6,g(x)在x?[1，6]上的最小值为

f2(a)?e1?e ………14分

(ⅲ)当a?6时,因为h1(6)?2a?7?a?5?h2(6),所以g(x)在x?[1，6]上的最小值 为

f2(6)?ea?5…………………………………………………………………

……………………… 15分

综上所述, 函数g(x)在x?[1，6]上的最小值为

?e2?a?2?2a?e??1???e2a?7??e?a?5??ea?00?a?171?a?27?a?424?a?6a?6………………………………16分

数学附加题部分

021．A. 证明：∵三角形ABC内接于圆O,且?BAC?60,所以

?BDC?1200,

所以

?DBC??DCB?600.又分

?BFC??DCB?600,所以

?DBC??BFC……………………5

BFBC??DCB??CEB?CBE??BFCBCCE,即同理, ,所以,所以

BC2?BF?CE ……………10分

B. 解：设

?ab?A???cd??, 由

?ab??1??2??cd??0???3???????, 得

?a?2??c?3………………………………………… 5分 ?ab??1??1??3??3?cd??1??1???3????????再由??a?b?3?b?2??c?d?3, 得?, ∴?d?0, ∴

?21?A????30?……………………… 10分

C. 解:根据椭圆的参数方程, 可设点P(4cos?,23sin?)(?是参数

)…………………………… 5分

则z?2x?3y?8cos??6sin??10sin(???)?10, 即z最大值为10………………………10分

111??)D. 证明: 因为a1?a2a2?a3a3?a1?[(a1?a2)?(a2?a3)?(a3?a1)]

(?33111??a1?a2a2?a3a3?a1·33(a1?a2)?(a2?a3)?(a3?a1)=9…………………

…………… 6分 当

(且仅当

a1?a2?a3?m3时等号成立, 则由

111??)a1?a2a2?a3a3?a1?2m?9,

知

1119???a1?a2a2?a3a3?a12m………………………………………………

………………… 10分

(注: 此题也可以用柯西不等式证明) 22.

解

:(1)

当

1p?q?2时，

?～

?1?B?3,??2?,故

E??np?3?13?22………………………………………4分

2P???0???1?q??1?p??pq2?（2）的可取值为0，1，2，3, 且,

1P???1??q?1?q???1?q?C2p?1?p??q3?2p2q2,

21P(??2)?C2pq(1?p)?(1?q)p2?2pq2?p3, P???3??qp.

所以

?的分布列

为: ……………………………8分

? 0 pq2 1 q3?2p2q 2 2pq2?p3 3 qp2 P

E?=0×

pq2+1×

?q3?2p2q?+2×

?2pq2?p3?2qp+3×

=1?p ……………………………10分

nn2E?A?A?(n!)23.（1）解：nnn………………211Fn?Cn?1?Cn?n(n?1)………………4分

分

(2)因为

lnEn?2lnn!,

Fn?n(n?1),所以

lnE1?0?F1?2,lnE2?ln4?F2?6,

lnE3?ln36?F3?12,…,由此猜想:当n?N*时,都有lnEn?Fn,即

2lnn!?n(n?1)……………6分

*2lnn!?n(n?1)(n?N). 下用数学归纳法证明

当n=1时,该不等式显然成立.

*n?k(k?N)时,不等式成立,即2lnk!?k(k?1),则当n?k?1时, 假设当

2ln(k?1)!?2ln(k?1)?2lnk!?2ln(k?1)?k(k?1), 要证当n?k?1时不等式成立, 只

要

证

:

2ln(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2), 只要证:

ln(k?1)?k?1…………………………… 8分

令f(x)?lnx?x,x?(1,??),因为递减,

f?(x)?1?x?0x,所以f(x)在(1,??)上单调

从而f(x)?f(1)??1?0, 而k?1?(1,??),所以ln(k?1)?k?1成立, 则当n?k?1时, 不等式也成立.

*综合①②, 得原不等式对任意的n?N均成

立……………………………………………………… 10分

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