初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲 01：数的整除(一)

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初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(1)数的整除（一）一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征除 数 2或5 4或25 3或9 能被整除的数的特征 末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等) 8或125 末三位数能被8或125整除 11 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 1 二、例题

例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。

求x,y

解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6.∵328＋2x9＝567，∴x=3

例2己知五位数1234x能被12整除， 求X

解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8

当末两位4X能被4整除时，X＝0，4，8

∴X＝8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数

解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，

但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，

∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 三、练习

1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）

①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296

2 若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3 若五位数12X34能被11整除，那么 X＝__________- 4 当 m=_________时，35m5能被25整除

n能被7整除 5 当 n=__________时，96106 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，

能被下列各数整除的有（填上编号）：

6________,8__________,9_________,11__________

9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。

10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除

的数共有几个？为什么？

A能被15整除，试求A的值。 11 己知五位数123412 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989

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