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2016-2017学年安徽省黄山市高二上学期期末质量检测数学
（文）试卷（带解析）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题
1．设直线??1:???????+1=0，??2:???????+1=0，若??1∥??2，则??=（ ） A. ?1 B. 1 C. ±1 D. 0
2．命题“???∈??，2??>0”的否定是（ ）
A. ???0∈??，2??0>0 B. ???0∈??，2??0≤0 C. ???∈??，2??<0 D. ???∈??，2??≤0
3．空间直角坐标系中，点??(2，5，8)关于??????平面对称的点??的坐标为（ ） A. (?2，5，8) B. (2，?5，8) C. (2，5，?8) D. (?2，?5，8) 4．已知抛物线??2=4??上一点??到焦点的距离为3，则点??到??轴的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4
21
5．若圆??2+??2?6??+6??+14=0关于直线??:????+4???6=0对称，则直线??的斜率是（ ）
A. ?2 B. 3 C. ?3 D. 6
6．已知??，??是两个不重合的平面，直线??⊥??，直线??⊥??，则“??，??相交”是“直线??，??异面”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．把双曲线?
9
3
2
2
??2??24
=1的实轴变虚轴，虚轴变实轴，那么所得到的双曲线方程为（ ）
??24
A. ?
??29
+
??24
=1 B. ?+
??29
=1 C.
??24
?
??29
=1 D. 以上都不对
8．下列判断错误的是（ ）
22
A. 命题“若????≤????，则??≤??”是假命题 B. 直线??=2??+??不能作为函数??(??)=????图象的切线
C. “若??=1，则直线??+??=0和直线???????=0互相垂直”的逆否命题为真命题 D. “??′(??0)=0”是“函数??(??)在??0处取得极值”的充分不必要条件
1
1
试卷第1页，总4页
9．已知??(??)=???cos??，则??(??)+??′(2)=（ ） A. 0 B. C. D. ?
??????3
2
3
1
??10．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体中最长的棱长等于（ ）
A. 2 2 B. 3 C. 3 3 D. 9
??211．已知椭圆??2??2+??2=1(??>??>0)上一点??关于原点的对称点为??点，??为其右焦点，若
????????⊥????，设∠??????=??，且??∈[6，4]，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. [， 3?1] B. [，1] C. [，] D. [，]
22
22
22
32
33
63
试卷第2页，总4页
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
12．已知??>0，函数??(??)=????2+????+??，若??0满足关于??的方程2????+??=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
A. ???∈??，??(??)≤??(??0) B. ???∈??，??(??)≥??(??0) C. ???∈??，??(??)≤??(??0) D. ???∈??，??(??)≥??(??0)
13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．
14．已知两圆??2+??2=10和(???1)2+(???3)2=10相交于??，??两点，则直线????的方程是__________．
15．正三棱柱?????????1??1??1的底面边长为2，侧棱长为 3，??为????中点，则三棱锥?????1????1的体积为__________．
16．已知抛物线??2=2????(??>0)，??为其焦点，??为其准线，过??任作一条直线交抛物线于??，??两点，??′，??′分别为??，??在??上的射影，??为??′??′的中点，给出下列命题： ①??′??⊥??′??；②????⊥????；③??′??∥????； ④??′??与????的交点在??轴上；⑤????′与??′??交于原点. 其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号） 评卷人 得分 三、解答题
???3
17．设命题??：实数??满足??2?4????+3??2<0，其中??>0；命题??：实数??满足???2≤0. （1）若??=1且??∧??为真，求实数??的取值范围；
（2）若???是???的充分不必要条件，求实数??的取值范围.
18．已知圆??:??2+(???3)2=4，直线??:??+3??+6=0，过??(?1，0)的一条动直线??与直线??相交于??，与圆??相交于??，??两点. （1）当??与??垂直时，求出??点的坐标，并证明：??过圆心??； （2）当|????|=2 3时，求直线??的方程. 19．已知函数??(??)=
????2
，其中??????∈R且??≠0．
（1）求函数??(??)的单调区间；
（2）当??=1时，若存在??>0，使lnf(??)>????成立，求实数??的取值范围． 20．如图1，在Rt△??????中，∠??????=60°，????是斜边????上的高，沿????将△??????折成60°的二面角??????????.如图2.
试卷第3页，总4页
（1）证明：平面??????⊥平面??????；
（2）在图2中，设??为????的中点，求异面直线????与????所成的角. 21．已知函数??(??)=??3+????2?????(??，??∈??).
31
（1）若??=??(??)图象上的点(1，?3)处的切线斜率为?4，求??=??(??)的极大值； （2）若??=??(??)在区间[?1，2]上是单调减函数，求??+??的最小值.
??2
22．已知椭圆??:??2??2+??211
=1(??>??>0)经过点(1，2)，它的左焦点为??(???，0)，直线
3
??1:??=?????与椭圆??交于??，??两点，△??????的周长为??3. （1）求椭圆??的方程； （2）若点??是直线??2:??=???3??上的一个动点，过点??作椭圆??的两条切线????、????，??，??分
别为切点，求证：直线????过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆??:??2+??2=1(??>??>0)上一点(??0，??0)的椭圆的切线方程为
??0????0??2+2=??????2
??2
1）.
试卷第4页，总4页
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参考答案
1．A 【解析】=
1
???1???≠ ，解得：??=?1 ，故选A.
1
1
2．B
【解析】命题“???∈??，2??>0”的否定是“???0∈??，2??0≤0”.故选B. 3．C
【解析】点??(2,5,8)关于??????平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即??(2,5,?8)，故选C. 4．C
【解析】根据抛物线的定义可知，点??到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为??=?1，所以点??到??轴的距离为??=3?1=2 ，故选C. 5．A 【解析】圆心坐标为(3,?3) ，圆心在直线????+4???6=0 ，代入??×3+4×(?3)?6=0，解得??=6 ，而直线的斜率为??=?=? ，故选A.
4
2
??3
6．B
【解析】若“??,?? 相交”，有可能直线“??,??相交”，所以不是充分条件，反过来，若 “??,?? 不相交”，那??//?? ，也就能推出??//?? ，即??,?? 不异面， 这个命题的逆否命题就是“??,?? 异面”，则??,?? 相交，所以是必要不充分条件，故选B. 7．A
【解析】焦点在??轴，??=4,??=9 ，所以得到的双曲线方程为4?8．D
【解析】A.若??=0 ，等式成立，此时??,?? 为任意实数，所以是假命题，正确；B.??′(??)=?
1
1
2
2
??2??29
=1 ，故选A.
????<
0 ，所以函数上任一点的切线斜率都是负数，不可能是2 ，也正确；C.两条直线垂直1×1+1×(???)=0 ，解得??=1，原命题正确，那么逆否 命题也正确；D.应是既不充分也不必要条件，因为??′(??0)=0 后，还需判断??0两侧的单调性，判断是否变号，变号才是极值点，反过来，??(??) 在??0 处取得极值，也不一定??′(??0)=0 ，例如：??=|??| ，在??=0 处，就不满足??′(0)=0 ，所以D不正确，故选D. 9．D
【解析】??′(??)=10．B
【解析】该几何体如下图红色线所示，最长的棱为????= 22+22+1=3 ，故选B.
?sin??????cos????2 ，??′()=? ，??(??)=? ，那么??(??)+??′()=? ，故选D.
2
??21
??2
3
??????答案第1页，总7页
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【点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.除了熟记这些， 还需会根据三视图还原几何体的正放，侧放的位置，另外一个比较有效的方法是将几何体放在正方体或长方体中. 11．A
【解析】????=?? ，所以????=2?? ，那么????=2???sin?? ，????=2???cos?? ，根据对称性可知|????|+|????|=2?? ，2???(cos??+sin??)=2?? ，整理为??=sin??+cos??=所以??+4∈[12??,2] ，计算sin(6+4)=
??5
??11?? 2sin(??+4) ，因为??∈[6,4] ，
?????????? 24
+
6 4
，所以2≤??≤ 3?1 ，故选A.
2??【点睛】考查椭圆离心率时，先分析所给的条件是不是有明显的几何关系，如果有就要用上
平面几何的性质，比如本题，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，直角三角形内三边的表示，以及椭圆的对称性和椭圆的定义相结合，最后才有用角表示离心率，利用三角函数求范围. 12．C
【解析】由条件可知，??=?2?? 是函数的对称轴，并且??(??0) 是函数的顶点，所以??(??0)是函数的最小值，所以C不正确，故选C. 13．
??【解析】设该球的半径为??，则2??= 12+22+32= 14，所以此球的表面积为??=4π??2=14π.
14．??+3???5=0
【解析】将(???1)2+(???3)2=10化为??2+??2?2???6??=0，两圆方程相减得2??+6???10=0，即??+3???5=0，即直线????的方程是??+3???5=0. 15．1
【解析】试题分析：因为正三棱柱?????????1??1??1的底面边长为2，侧棱长为 3,??为????中点，所以底面??1????1的面积为2×2× 3= 3，??到底面的距离为就是底面正三角形的高 3，所以三棱锥?????1????1的体积为3× 3× 3=1．
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11
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考点：几何体的体积的计算． 16．①②③④⑤
【解析】因为??，??在抛物线??2=2????上，由抛物线的定义，得????′=????,????′=????，又??′，??′分别为??，??在??上的射影，所以??′??⊥??′??，即①正确；取????的中点??，则????=2(????+????)=2????，所以????⊥????，即②正确；由②得????平分∠??′????，所以??′??⊥????，又因为????⊥????，所以??′??∥????，即③正确；取????⊥??轴，则四边形????????′为矩形，则??′??与????的交点在??轴上，且????′与??′??交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.
1
1
点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取????⊥??轴）. 17．（1）2??，即1
（1）由??2?4????+3??2<0得(???3??)(?????)<0, 又??>0,所以??
当??=1时,1
???2≠0???3
??为真时???2≤0等价于{(???2)(???3)≤0,得2
即??为真时实数??的取值范围是2
若??∧??为真,则??真且??真,所以实数??的取值范围是2
（2）???是???的充分不必要条件,即???????,且???????, 等价于?????,且?????, 设A={??|??
≠
则03所以实数??的取值范围是1
考点：一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断． 18．（1）??(?2，?2)；（2）??=?1或4???3??+4=0.
【解析】试题分析：（1）根据两直线垂直??1??2=?1，求得直线?? 的斜率为3，这样求出直线??的方程，联立两直线方程求交点??的坐标，并代入圆心坐标；（2）根据直线与圆相交，求出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，得到直线??的方程. 试题解析：（1）由题意，直线??的方程为??=3(??+1)， 将圆心??(0，3)代入方程易知??过圆心??，
答案第3页，总7页
3
3
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??+3??+6=0??=?233
联立{得{，所以??(?，?). 322??=3(??+1)??=?
2
3
（2）当直线??与??轴垂直时，易知??=?1符合题意；
当直线??与??轴不垂直时，设直线??的方程为??=??(??+1)， 由|????|=2 3，得??=
|???3| ??2+1=1，解得??=.
3
4
故直线??的方程为??=?1或4???3??+4=0. 19．（1）当??<0时，??(??)的增区间是(?∞,0),(2,+∞)，减区间是(0,2)， 当??>0时，??(??)的减区间是(?∞,0),(2,+∞)，增区间是(0,2)（2）(?∞,???1) 【解析】试题分析：（1）先求函数导数??′(??)=
?????(???2)
2
????，根据??的正负讨论导数符号变化规律，
进而得单调区间（2）对应不等式有解问题，一般利用变量分离法，转化为对应函数最值问题：??<
2ln???????最大值，再利用导数求函数??(??)=
2ln???????,??>0最大值，先求函数导数
??′(??)=
2(1?ln??)
??2，再求导函数零点??=??，列表分析导函数符号变化规律，进而得出单调性，
确定极值与最值
试题解析：（1）定义域为??，??′(??)=
?????(???2)
????
当??<0时，??<0,??>2时，??′(??)>0；00时，??<0,??>2时，??′(??)<0；00
所以当??<0时，??(??)的增区间是(?∞,0),(2,+∞)，减区间是(0,2)， 当??>0时，??(??)的减区间是(?∞,0),(2,+∞)，增区间是(0,2) （2）??=1时，??(??)=????,??>0，由ln??(??)>????得：??<设??(??)=
2ln???????2
2ln???????，
??,??>0，
??′(??)=
2(1?ln??)
??2，
所以当00；当??>??时，??′(??)<0， 所以??(??)在(0,??)上递增，在(??,+∞)上递减，
??max(??)=??(??)=???1，所以??的取值范围是(?∞,???1)
考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 20．（1）证明见解析；（2）60°. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设及异面直线所成角的定义运用余弦定理求解. 试题解析：
答案第4页，总7页
22
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（1）证明：因为折起前????是????边上的高，则当△??????折起后， ????⊥????，????⊥????，
又????∩????=??，则????⊥平面??????，
因为?????平面??????，所以平面??????⊥平面??????． （2）解：取????的中点??，连结????，则????//????， 所以∠??????为异面直线????与????所成的角， 连结????、????，设????=2，则????=1，????=2 3，????= 6，????=3， 在????????????中，????= ????2+????2= 21，
在????????中，由题设∠??????=60°，则????2=????2+????2?2?????????cos∠??????=28， 即????=2 7，
从而????=????= 7，cos∠??????=
21
????2+????2?????2
2?????????=?12 7，
在△??????中，????2=????2+????2?2?????????cos∠??????=13， 在????????????中，????= ????2+????2=5． 在△??????中，cos∠??????=
????2+????2?????2
2?????????=2，
1
所以异面直线????与????所成的角为60°.
考点：面面垂直的判定定理及余弦定理等有关知识的综合运用. 21．（1）当??=?1时，??(??)取极大值；（2）最小值为.
3
2
5
3
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可知??(1)=?3 ，??′(1)=?4 ，解得
11
??=?1,??=3 ，代入函数后求函数的导数，并根据导数零点判断两侧的单调性，求函数的
??′(?1)≤0′
极大值；（2）将问题转化为??(??)≤0 ，当??∈[?1,2] 恒成立，即{′ ，这样就转化
??(2)≤0
为关于??,?? 的二元一次不等式组，求目标函数??=??+??的最小值. 试题解析：（1）∵??′(??)=??2+2???????，
∴由题意可知：??′(1)=?4，且??(1)=?3， 1+2?????=?4??=?1∴{1+?????=?11得：{，
??=333
∴??(??)=3??3???2?3??，??′(??)=??2?2???3=(??+1)(???3)，
1
11
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令??′(??)=0，得??1=?1，??2=3， 由此可知： ?? ??′(??) ??(??) (?∞，?1) + ↗ 0 ?1 - 5(?1，3) 3 0 (3，+∞) + ↗ ??(??)极大值3 ↘ ??(??)极小值 ∴当??=?1时，??(??)取极大值3.
（2）∵??=??(??)在区间[?1，2]上是单调减函数， ∴??′(??)=??2+2???????≤0在区间[?1，2]上恒成立， 根据二次函数图象可知??′(?1)≤0且??′(2)≤0，得
1?2?????≤02??+???1≥0{即{，作出不等式组表示的平面区域如图： 4+4?????≤04?????+4≤0
5
当直线??=??+??经过交点??(?2，2)时，
1
??=??+??取得最小值??=?2+2=2，
∴??=??+??的最小值为2.
【点睛】导数考查三次函数是比较基本的问题，求导后变为二次函数，所以要熟练掌握二次函数的问题，比如开口，以及与??轴的交点个数对于函数的单调性和极值的影响，如本题是在某个区间上二次函数恒小于等于0，这样根据二次函数的图象合理转化为不等式组，进行求解. 22．（1）+
4
3
13
??2??23
=1；（2）定点坐标为(，?1).
3
4
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义可知????????的周长为4?? ，即4??=??3 ，解得：??=2 ，再代入点的坐标，求得椭圆方程；（2）设??(??1,??1),??(??2,??2) ，写出过这两点的切线方程，并代入点??的坐标，得到直线????的方程，求出定点. 试题解析：（1）由题意得：4??=??3，??2=4，??=2， 又∵椭圆??过(1，2)点，∴4+∴椭圆??的方程为4+
??2
??233
1
()2
3
2??2=1，∴??2=3，
=1.
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（2）由题意得：??=1，??2:??=???3，设??(??1，??1)，??(??2，??2)，??(??，???3)， 则直线??????:
??1??4
+
??1??3
=1，直线??????:
??2??4
+
??2??3
=1，
=1，??2??4
又??(??，???3)在上述两切线上，∴∴直线??????:
????4
??1??4
+
??1(???3)3
+
??2(???3)3
=1，
+
(???3)??3
=1，
4
3??+4??=0??=3， 即：(3??+4??)???12???12=0，由{得{
?12???12=0??=?1∴直线????过定点，且定点坐标为(3，?1).
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的考查是高考的热点，其中会涉及设直线方程或设未知点的问题，当题中涉及多条直线时，需考虑哪条是关键直线，那么这条直线与圆锥曲线的交点就设出来，一般设而不求，利用韦达定理写出根与系数的关系，代入条件表达式；而本题是也是设而不求，利用两点确定直线，所以根据两点满足的方程，写出直线方程求解.
4
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（2）由题意得：??=1，??2:??=???3，设??(??1，??1)，??(??2，??2)，??(??，???3)， 则直线??????:
??1??4
+
??1??3
=1，直线??????:
??2??4
+
??2??3
=1，
=1，??2??4
又??(??，???3)在上述两切线上，∴∴直线??????:
????4
??1??4
+
??1(???3)3
+
??2(???3)3
=1，
+
(???3)??3
=1，
4
3??+4??=0??=3， 即：(3??+4??)???12???12=0，由{得{
?12???12=0??=?1∴直线????过定点，且定点坐标为(3，?1).
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的考查是高考的热点，其中会涉及设直线方程或设未知点的问题，当题中涉及多条直线时，需考虑哪条是关键直线，那么这条直线与圆锥曲线的交点就设出来，一般设而不求，利用韦达定理写出根与系数的关系，代入条件表达式；而本题是也是设而不求，利用两点确定直线，所以根据两点满足的方程，写出直线方程求解.
4
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