【数学】吉林省长春市十一中2024-2025学年高一下学期期中考试(理

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长春市十一高中2014-2015学年度高一下学期期中考试

数学试题（理科）

一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列不等式中成立的是（）

A．若a?b，则ac2?bc2 B．若a?b，则a2?b2 C．若a?b?0，则a2?ab?b2 D．若a?b?0，则2．数列1,3,6,10,?的一个通项公式是（） A.an?n2?(n?1) B．an?n2?1 C．an?11? abn(n?1)n(n?1) D.an? 223．已知A,B是以O为圆心的单位圆上的动点，且AB?2，则OB?AB?（）

A．?1 B．1 C．?4．已知平面向量a与b的夹角为

22 D． 22?，且b?1,a?2b?23,则a?（） 3A．1 B．3 C．2 D．3

5．已知数列?an?为等比数列，若a4?a6?10，则a7?a1?2a3??a3a9的值为（） A．10 B．20 C．100 D．200 6．等差数列{an}中，已知a1??12，S13?0，则使得an?0的最大正整数n为（）A.7 B.8 C.9 D.6

7．给出下列图形：① 角；② 三角形；③ 平行四边形；④ 梯形；⑤ 四边形．其中表示平面图形的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5 8．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn，且满足的值为（） A．

An4n?2a?a14?，则4Bn5n?5b8?b1077198 B． C． D． 982079. 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1?ab2???ab10?( )

A．1033 B．2057 C．1034 D．2058

10．在等比数列?an?中，若a1?2，则S2015?S2016?（） a2?a5?0，?an?的n项和为Sn，

A．4032 B．2 C．?2 D．?4030

11．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则的最小值为（） A. B.

19?mn825 C. D.不存在 361，a100?a96，则a2014?a3?（） an?112．已知数列?an?中，an?0，a1?1，an?2?A．

1?55?1?55 B． C． D．

2222二、填空题（每小题4分，共16分）

13．在等差数列?an?中，a7?m,a14?n,则a28? ．

14．已知数列{an}为等比数列，且a1a13?2a7?5?，则cos(a5a9)的值为． 15．若函数f(x)?x?21(x?2)，在x?a处取最小值，则a= ． x?216．数列?an?中，a1?2，a2?7，an?2是anan?1的个位数字，Sn是?an?的前n项和，则

S242?10a6= ．

三．解答题：（本大题共6小题，共66分） 17．( 本小题满分10分)

已知向量a、b满足:a?1,b?4,且a、b的夹角为60.

??????0????????（1）求?2a?b???a?b? ；

????????????（2）若?a?b????a?2b?，求?的值.

????18．( 本小题满分10分) 在△ABC中，AB?（1）求sinA的值；（2）求BC?CA的值． 19．( 本小题满分12分)

222在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b?c?bc?a

2,BC?1,cosC?3． 4 2

（1）求∠A；

22（2）若a?3，求b?c的取值范围.

20．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列（1）求数列

满足：a2?a3?a4?28,且a3?2是a2,a4的等差中项．

的通项公式；

（2）若bn?an?log1an,Sn?b1?b2?2?bn,求Sn．

21．（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1?S4?0，

b9?a1．

（1）求数列?an?，?bn?的通项公式；（2）若cn?1，求数列?cn?的前n项和Wn．

(bn?16)?bn?18?22.（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）已知数列?an?的前n项和Sn?(n?1)an，且a1?1． 2（1）求数列?an?的通项公式；

（2）令bn?lnan，是否存在k(k?2,k?N)，使得bk,bk?1,bk?2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

2014—2015学年高一下学期数学期中考试参考答案（理科）

一、DCACC DCBAB BC

二、13.3n-2m 14.1/2 15.3 16.909 三、17、解析:

（1）由题意得a?b?a?bcos60?1?4?1?2，……2分 2?（2）∵?a?b????a?2b?，∴?a?b????a?2b??0，……7分

∴2a?b?a?b?2a?a?b?b?2?2?16??12……5分

22???∴?a????2?a?b?2b?0，∴??2???2??32?0， ∴??12 ……10分 18、解析：（1）在△ABC中，由又由正弦定理：

得：

，得

，……2分

22．……5分

2222（2）由余弦定理：AB?AC?BC?2ACBCcosC得：2?b?1?2b?3， 42即b?13b?1?0，解得b?2或b??（舍去），所以AC?2． 8分

22所以，BCCA?BCCAcos???C??1?2???即BCCA??3?3???, ?2?4?3． 10分 2b2?c2?a2119、解析：（1）由余弦定理有cosA?? ……3分

2bc20?A??，?A??3 ……5分

（2）方法一：

a?3且b2?c2?bc?a2，?b2?c2?bc?3 ……7分

3时取等号）……10分

b2?c222 ，?b?c?6，（当且仅当b?c?0?bc?2?3?b2?c2?6 ……12分

方法二、由正弦定理

bca3????2 sinBsinCsinAsin?3b?2sinB,c?2sinC ……7分

?b2?c2?4sinBsinC?3?4sinBsin(B?)?3?2sin2B?23sinBcosB?3

3? 4

?=3sin2B?cos2B?4?2sin(2B?)?4 ……10分

6因为0?B?2???7?，所以??2B?? 366661?所以??sin(2B?)?1即?3?b2?c2?6. ……12分

2 20、解析：（1）设等比数列的首项为，公比为q，

依题意，有2（a3?2）=a2+a4,代入a2?a3?a4?28, 得a3=8, ……2分

∴a2+a4=20 ∴

?q?2解之得?或

a?2?1 ……4分

又（

单调递增，∴q =2, a1=2,∴an=2n ……6分）

∴

①……8分 ∴

②

∴①-②得＝

……12分

21. 解析：（1）∵an是Sn和1的等差中项，?Sn?2an?1

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2an?1)?(2an?1?1)?2an?2an?1,

an?2an?1,

当n?1时，a1?S1?2a1?1,?a1?1 2分 ∴an?0(n?N?),an?2 4分 an?1?数列?an?是以a1?1为首项，2为公比的等比数列，?an?2n?1 6分

Sn?a1?a2????an?2n?1

设?bn?的公差为d，b1??S4??15,b9??15?8d?1?d?2 8分

?bn??15??n?1??2?2n?17

（2）cn?11?11????? 10分

?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??Wn?1??1??11?1??11?11??????????????????24n?2． 12分 2?3352n?12n?1????????an?Sn?Sn?1?22. 解析： (1)当n?2时，

?n?1?an?nan?122，

ann∴a?n?1n?1?n?2?． 2分 aan?n?

a?an?1??a3a?a2?ann?11????3n?1an?22a1n?1n?22?21?1?n ∵

a1?1，符合an的表达式． 4分

∴数列?a*n?的通项公式为an?n?n?N?． 5分（2）假设存在k(k?2,k?N)，使得bk、bk?1、bk?2成等比数列，

则

bkbk?2?b2

k?1． 6分 ∵

bn?lnan?lnn?n?2?，

22b?lnk?ln(k?2)?lnk?ln?k?2???ln?k?2kkb?2k?2????∴

?2??????2?? 8分

2???ln?k?1?2?22??2??????ln?k?1????bk?1 这与

b2kbk?2?bk?1矛盾． ∴不存在k(k?2,k?N)，使得bk、bk?1、bk?2成等比数列． 10分

3分