常微分方程练习试卷
一、
填空题。
d2x?1?0是 阶 （线性、非线性）微分方程. 1. 方程xdt232. 方程
xdy?f(xy)经变换_______，可以化为变量分离方程 .
ydxd3y?y2?x?0满足条件y(0)?1,y?(0)?2的解有 个. 3. 微分方程
3dx4. 设常系数方程
*2xxxy????y???y??ex的一个特解y(x)?e?e?xe，则此方程的系数?? ，?? ，?? .
5. 朗斯基行列式
W(t)?0是函数组x1(t),x2(t),?,xn(t)在a?x?b上线性相关的
条件.
6. 方程
xydx?(2x2?3y2?20)dy?0的只与y有关的积分因子为 .
X??A(t)X的基解矩阵为?(t)的，则A(t)? .
7. 已知
8. 方程组
?20?x'??x的基解矩阵为 ．
??05?9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.
10 .是满足方程
y????2y???5y??y?1 和初始条件 的唯一解.
的待定特解可取 的形式:
11.方程
12. 三阶常系数齐线性方程
y????2y???y?0的特征根是
二、
计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
dyx?y?1?2．求解方程.
dxx?y?33. 求解方程
d2xdxx2?()2?0dtdty??y?sinx的通解.
。
4．用比较系数法解方程. .
5．求方程
6．验证微分方程
(cosxsinx?xy2)dx?y(1?x2)dy?0是恰当方程，并求出它的通解.
7．设
?1???31?dX?AX ， ?? ，试求方程组A?????dt?2?4???1?的一个基解基解矩阵
?(t)，求
dX?AXdt满足初始条件
x(0)??的解.
8. 求方程 9.
dy?2x?1?3y2dx 通过点
(1,0) 的第二次近似解.
求
dy3dy()?4xy?8y2?0dxdx的通解
10.若
?21?A????14??试求方程组
x??Ax的解
????(t), ?(0)????1?, 并求expAt
??2?
三、证明题
1. 若
?(t),?(t)是X??A(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得?(t)??(t)C.
2. 设
?(x)(??x0,x??)是积分方程
y(x)?y0??[?2y(?)??]d?,x0xx0,x?[?,?]
的皮卡逐步逼近函数序列
{?n(x)}在[?,?]上一致收敛所得的解，而?(x)是这积分方程在[?,?]上的连续解，试用逐步逼近法证明：在[?,?]上?(x)??(x).
3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:
(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);
(ii) 和 没有共同的零点;
(iii)
和 没有共同的零点.
4.试证：如果
?(t)是
dX?AXdt满足初始条件
?(t0)??的解，那么?(t)?expA(t?t0)?
.
答案 一.填空题。
1. 二，非线性 2.
u?xy，
11du?dx 3.无穷多 4.???3,??2,???1
u(f(u)?1)xAt5.必要 6.
y3?e2t 0? 7.
??(t)??1(t) 8. e??0e5t? 9.
??
10. 11.
12. 1,
二、计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
解: 设曲线方程为 可得如下初值问题:
, 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意
. 分离变量, 积分并整理后可得 .
代入初始条件可得
, 因此得所求曲线为 .
dyx?y?1?2.求解方程.
dxx?y?3?x?y?1?0,解：由? 求得x??1,x?y?3?0?则有
?x???1, y?2 令 ?y???2,?,积分得
d??????.令z?d?????arctan，解得
(1?z)dzd??21?z?1arctanz?ln(1?z2)?ln|?|?C,
2故原方程的解为
y?2?ln(x?1)2?(y?2)2?C.
x?1
3. 求解方程
d2xdxx2?()2?0dtdt
解 令，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，
即
，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。
4.用比较系数法解方程. .
解：特征方程为 , 特征根为 .
对应齐方程的通解为 .
设原方程的特解有形如
代如原方程可得
利用对应系数相等可得 , 故 .
原方程的通解可以表示为( 是任意常数)
.
5.求方程
y??y?sinx的通解.
解：先解
y??y得通解为y?cex, 令y?c(x)ex为原方程的解，
代入得
c?(x)ex?c(x)ex?c(x)ex?sinx, 即有c?(x)?e?xsinx,
11c(x)??e?x(sinx?cosx)?c , 所以y?cex?(sinx?cosx) 为原方程的通解.
22 积分得
6．验证微分方程
(cosxsinx?xy2)dx?y(1?x2)dy?0是恰当方程，并求出它的通解.
?M?N??2xy?所以原方程为恰当方程.
?y?x解：由于
M(x,y)?cosxsinx?xy2,N(x,y)?y(1?x2)，因为
cosxsinxdx?(xy2dx?yx2dy)?ydy?0,
把原方程分项组合得
或写成
111d(sin2x)?d(x2y2)?d(y2)?0, 故原方程的通解为sin2x?x2y2?y2?C.
222dX?AXdt
?1???31?dX?AX7．设 A? ， ?? ，试求方程组
??1??2?4?dt????解：特征方程为
的一个基解基解矩阵
?(t)，求
满足初始条件
x(0)??的解.
det(A??E)??3??1?(??2)(??5)?0,
2?4???1??1?求得特征值???2,???5,对应???2,???5的特征向量分别为V??12121?1?,V2????2?,(?,??0).
?????e?2t可得一个基解矩阵?(t)???2t?ee?5t?1?21??1.，又因为?(0)??1?1??2e?5t?3???
?1 ，
1?e?2t于是，所求的解为?(t)??(t)?(0)????2t3?e
e?5t??21??1?1?e?2t?2e?5t???? ??? ???2e?5t??1?1???1?3?e?2t?4e?5t?8. 求方程
dy?2x?1?3y2dx 通过点
(1,0) 的第二次近似解.
解: 令
?0(x)?0，于是
2?1(x)?y0??[2x?1?3?0(x)]dx?x2?x,
1x?2(x)?y0??[2x?1?3?12(x)]dx?1 9.
求 x133?x?x2?x3?x4?x5, 1025的通解
(dy3dy)?4xy?8y2?0dxdx3?dy?2???8ydxx???dy4ydx解：方程可化为
，
p3?8y2dy?px?4yp令dx则有
（*），
2y(p3?4y2)（*）两边对y求导得
dp?p(8y2?p3)?4y2pdy，
1dpdpp22y?p?0(p?4y)(2y?p)?0y?()2p?cydydyc.即，由得，即
32
c22px??24c， 将y代入（*）得
?c22px??2??4c??y?(p)2?c即方程的 含参数形式的通解为：?，p为参数；
又由
p?4y?0得p321?(4y2)3y?代入（*）得
43x27也是方程的解 .
并求
10.若 试求方程组
解：特征方程
??1??x?Ax21??expAt?(t),?(0)?????,?A???2???14????2?1p(?)???2?6??9?0?1,2?31??4n1?2的解
，解得
，此时 k=1,
。
1i?t??1?3ti???1?3t??1?t(??1??2)??????v?(t)?e??(A?3E)????e?????t(????)i!??212??2??i?0??2?，
由公式
te?t?(A??E)ii?0i!expAt=
3tn?1i
得
??10???11??3t?1?tt?expAt?e?E?t(A?3E)??e???t???e????01?11?t1?t????????3t
三、证明题
1. 若
?(t),?(t)是X??A(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得?(t)??(t)C.
百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库常微分方程练习题及答案(复习题)在线全文阅读。
相关推荐：
