11第十一讲 二元函数的微分与极值

泰山学院信息科学技术学院教案

数值分析 教研室 课程名称 授课题目 高等数学研究 授课对象 2006级本科 课时数 4 第十一讲 二元函数的微分与极值 教学 目的 通过教学使学生掌握二元函数的微分法、无条件极值、条件的极值求法，掌握最值的求法，会利用这些理论解决生产实际的应用问题。 重 点 难 点 1．重点无条件极值、条件的极值求法，最值的求法； 2．难点应用无条件极值、条件的极值、最值理论解应用题。 教 学 提 纲 第十一讲 二元函数的微分与极值 一、多元函数的微分 1.多元函数的极限 2、偏导数 3、全微分 二、极值与最值 1．二元函数的无条件极值 2．二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法 3．二元函数的最值 三、应用 1.曲面的切平面与法线方程 2.场论初步 1

教学过程与内容 教学 后记 第十一讲 二元函数的微分与极值 二元函数的导数、极值、最值是历年考试的重点，二元函数的微分、二元函数的微分在几何中的应用、场论初步也应引起重视。 一、多元函数的微分 1.多元函数的极限 (x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? 也记作 limf(P)?A或f (P)?A(P?P0)? P?P0【说明】 (1)二重极限存在? 是指P以任何方式趋于P0时? 函数都无限接近于A? (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时? 函数趋于不同的值? 则函数的极限不存在? 例1： 设f(x,y)?(x2?y2)sin【证明】 因为 |f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin因此1? 求证limf(x,y)?0? (x,y)?(0,0)x2?y2 1?0| ?|x2?y2|?|sin1| ?x2?y2? x2?y2x2?y2(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0? ?xy x2?y2?0?例2：讨论：函数f(x,y)??x2?y2在点(0? 0)有无极限？ ??x2?y2?0?0 【解】? 当点P(x? y)沿x轴趋于点(0? 0)时? (x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0? x?0x?0当点P (x? y)沿直线y?kx有 2xykxk? ?lim? lim(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x2?k2x21?k2 y?kx因此? 函数f(x? y)在(0? 0)处无极限。 2、偏导数 fx/(x0,y0)?f(x,y0)?f(x0,y0)?f |(x0,y0)?limx?x0?xx?x0 2

fx/(x0,y0)?f(x,y0)?f(x0,y0)?f |(x0,y0)?limx?x0?xx?x0【说明】关于x(y)求导时，暂时把y(x)看成常数。 22?z?z例３：验证函数z?lnx?y满足方程2?2?0? ?x?y22122?2zx2?y2(x2?y2)?x?2xy2?x2?zx?z? ? ? ??222? 2?2222222?xx2?y2?x(x?y)(x?y)?y(x?y)【证明】 因为z?lnx2?y2?ln(x2?y2)? 所以 22x2?y2y2?x2?z?z因此 2?2?2??0? ?x?y(x?y2)2(x2?y2)23、全微分 如果函数z?f(x? y)在点(x? y)的全增量 ?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)可表示为 ?z?A?x?B?y?o(?) (??(?x)2?(?y)2 )? 即 lim??0?z?A?x?B?y??0 其中A、B不依赖于?x、?y 而仅与x、y 有关? 则称函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 而称A?x?B?y为函数z?f(x? y)在点(x? y)的全微分? 记作dz? 即 dz?A?x?B?y? 【说明】 （１）如果函数z?f(x? y)在点(x? y)可微? 则函数在该点的偏导数但反过来不对； （２）如果函数z?f(x? y)在点(x? y)可微? 则函数在该点连续； （３）?z、?z必定存在，?x?y?z?z、在(x? y)存在，函数z?f(x? y)在(x? y)不一定连续 ?x?y?xy x2?y2?0?例4：讨论函数f(x,y)??x2?y2在点(0??0)处连续性、偏导数的存在性、?0 x2?y2?0?及可微性。 【解】0?|xy|x2?y2?x2?y22x2?y2?12x?y2 2 3

12x?y2?0,所以(x,y)?(0,0)2lin(x,y)?(0,0)linxyx?y22?0?f(0,0) 函数在点(0?0)处连续；由偏导数的定义知f x(0? 0)?0及f y(0? 0)?0； ?但函数在(0??0)不可微分?这是因为当(?x? ?y)沿直线y?x趋于(0? 0)时?????00. 4、偏导数的求法 lim?z?[fx(0, 0)??x?fy(0, 0)??y]??limxy??0x2?y2?limxxx?0x2?x2?1?不趋向2 （1）复合函数求导法 z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y) ?z?f?u?f?v?z?f?u?f?v????， ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y例5： （1）z?ulnv,u?sinx,v?cosx,求22dz dx?u?u?u?2u?2u（2）u?f(x,xy,xyz),求 , ,,2?x?y?z?y?x?zdz?zdu?zdvu???lnv.cosx?sinx?cosxlncosx?tanxsinx 【解】(1)dx?udx?vdxv?u?f1/?2xyf2/?y2zf3/ (2) ?x?u?x2f2/?2xyzf3/ ?y?2u22/////2//// 2?x[xf22?2xyzf23]?2xzf3?2xyz[xf32?2xyzf33] ?y//////// ?x4f22 ?2x3yzf23?2xzf3/?2x3yzf32?4x2y2z2f33?2u//////?xy2f13?2xyf23?xy2?y2f3/?y2zf33?xy2 ?x?z////// ?xy2f13 ?2x2y3f23?y2f3/?xy4zf33（2）隐函数求导法 若函数z?z(x,y)由方程F(x,y,z)?0确定，方程两边关于x求导， FyFx?Z?Z?Z?0，所以， Fx?Fz，同理， ?????x?xFz?yFz例6： 4

（1）若函数z?z(x,y)由方程?(cx?az,cy?bz)?0确定，求a?z?z（C） ?b 。?x?y（2）若函数y?y(x),z?z(x)由方程组?2【解】(1)C (2)方程两边关于x求导 ?x?y?z?0dzdy, 。 确定，求22dxdx?x?y?z?1?dydz?1?dx?dx?0dzx?ydyx?z ? 解得＝ , ＝dydzdxy?zdxz?y?2x?2y?2z?0dxdx?例7：设z?z?x,y?是由方程x2?y2?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数且????1时， 求 (1)dz；（2）记u?x,y???u1??z?z?，求. ????xx?y??x?y?【解】(1)2xdx?2ydy?dz????x?y?z???dx?dy?dz?, ????1?dz??????2x?dx??????2y?dy dz?(2) ?????2x?dx??????2y?dy???1??????1? u?x,y??1?z?z(?)x?y?x?y1????2x????2y????????????(?) ??x?y??1??11?2y?2x2??????????????x?y???1???1?u??x ?2???(1?2x????z2???(1?))?2???(1????2x???)2???(1?2x)1???x??????2233????1?????1?????1?????1?（3）高阶导数 ?2z???z??2z???z??2z???z??2z???z??,??? ??,2? ?? ? ?? ????2?y??y??x?y?x??y??y?x?y??x??x??x??y?x 5

例7：设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2满足等式?f?(u)?2z?2z???0. ??0.验证f(u)?u?x2?y2?2z?2z?2z?2z【说明】 利用复合函数偏导数计算方法求出2,2代入2?2?0即可得 ?x?y?x?y【解】设u?x2?y2，则 ?zx?zy. ?f?(u),?f?(u)2222?xx?y?yx?y?zxx???f(u)???f?(u)?22222?xx?yx?y2x?y?x?y222x2x2?y22 x2?f??(u)?2?f?(u)?x?y2y2?x2?y322， ??2zy2?f??(u)?2?f?(u)?22?yx?yx2?x2?y322?. ?2z?2z?2z?2z将2,2代入2?2?0得 ?x?y?x?y f??(u)?f?(u)?0. u?2f?2f?2?1，又例8：设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足2?u?v12?2g?2g2g(x,y)?f[xy,(x?y)],求2?2. 2?x?y122【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：g?f(u,v)，u?xy,v?(x?y)，2?2f?2f?. 直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用?u?v?v?u?g?f?f?g?f?f?y?x，?x?y. 【解】 ?x?u?v?y?u?v22?2g?2f?f2?f2?f?y?2xy?x?故 ， 222?u?v?v?x?u?v22?2g?2f?f2?f2?f?x?2xy?y?. ?v?u?y2?u2?v2?v22?2g?2g22?f22?f所以 ?2?(x?y)2?(x?y)2 2?x?y?u?v =x2?y2.

6

二、极值与最值 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微分且在点(x0,y0)处有极值，则f'x(x0,y0)?0，f'y(x0,y0)?0，即(x0,y0)是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设z?f(x,y)在(x0,y0)的某个领域内有连续上二阶偏导数，且f'x(x0,y0)?f'y(x0,y0)?0，令f'xx(x0,y0)?A，f'xy(x0,y0)?B，f'yy(x0,y0)?C，则 当B?AC?0且 A<0时，f(x0,y0)为极大值； 当B?AC?0且A>0，f(x0,y0)为极小值； 22B2?AC?0时，(x0,y0)不是极值点。 【注意】 当B2－AC = 0时，函数z = f (x, y)在点(x0,y0)可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例9： 求函数z = x3 + y2 －2xy的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： ?z?2z?z?2z?2z2?3x?2y，?2y?2x．2?6x, ??2, 2?2． ?x?y?x?x?y?y?3x2?2y?0,?z?z再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组? ?x?y?2y?2x?0.（，）求得驻点(0，0)、． 利用定理2对驻点进行讨论： (1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B2－AC?0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点． 2233 7

（，）(2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－4?0, 且A?0,则 224f（，）?? 为函数的一个极小值． 3327例10：设z=z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点和极值. 【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。 【解】 因为 x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0，所以 2233?z?z?2z?0， ?x?x?z?z?2z?0. ?6x?20y?2z?2y?y?y??z?0,?x?3y?0,???x令 ? 得 ? ?z?3x?10y?z?0,??0???y??x?3y,故 ? z?y.?222将上式代入x?6xy?10y?2yz?z?18?0，可得 2x?6y?2y ?x?9,??y?3, 或 ?z?3??x??9,??y??3, ?z??3.??2z?z2?2z由于 2?2y2?2()?2z2?0， ?x?x?x?z?2z?z?z?2z ?6?2?2y?2??2z?0, ?x?x?y?y?x?x?y?z?z?2z?z2?2z 20?2?2?2y2?2()?2z2?0， ?y?y?y?y?y?2z1?2z1?2z5?所以 A?，，， B???C??22(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)6?x?x?y23?y112?0，故AC?B?又A??0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 366类似地，由 1?2z1?2z5??，B? ?，C?2??，(?9,?3,?3)6?x?y(?9,?3,?3)23?y(?9,?3,?3)112?0，又A???0，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 可知AC?B?366?2z A??x2 8

z(-9, -3)= -3. 【点评】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。 2．二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法：设f(x,y),?(x,y)在点(x0,y0)某领域内有连续偏导数，引入辅助函数 F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y) 解联立方程组 ??F??x?f'x(x,y)???'x(x,y)?0???F?f'y(x,y)???y'(x,y)?0 ???y??(x,y)?0??得(x0,y0)可能是z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下的极值点 例11经过点(1,1,1)的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积． 【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。 【解】设所求平面方程为 因为平面过点(1,1,1)，有 xyz???1,abc(a?0,b?0,c?0)． 111???1． abc1设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则V?abc． 6 作拉格朗日函数 L(a,b,c)?1111abc??(???1)． 6abc求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组： 9

??1bc??0,?6a2???1ac??0,?a?b?c ?2b?6?1ab???0.?c2?6代入111???1解得a = b = c = 3． abc由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面 x + y + z = 3． 与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为Vmin?139?3?. 62例12求函数u?x2?y2?z2在在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大和最小值. 【解】设F(x,y,z)?x2?y2?z2??1(x2?y2?z)??2(x?y?z?4) ?Fx(x,y,z)?0?2x?2x?1??2?0?F(x,y,z)?0?y??2y?2y?1??2?0??得方程组?Fz(x,y,z)?0即?2z??1??2?0 ?2?222x?y?z?0x?y?z?0????x?y?z?4?0?x?y?z?4?0??x??2?x?1??解得?y??2 或?y?1 ?z?8?z?2??得 Umax?(?2)2?(?2)2?82?72，Umin?12?12?22?6 3．二元函数的最值 二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。 例13:D是直线x?y?6与坐标轴围成的三角形闭区域，求z?x2y(4?x?y)在D上的最大值和最小值。 驻点(2,1)。 例14:求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D上的最大值和最小值，其中：2222D?{(x,y)x2?y2?4,y?0} 。 10

【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。 【解】 因为 fx?(x,y)?2x?2xy2，fy?(x,y)?4y?2x2y，解方程： 2??fx??2x?2xy?0, ? 得开区域内的可能极值点为(?2,1). 2?f?4y?2xy?0??y其对应函数值为f(?2,1)?2. 又当y=0 时，f(x,y)?x2在?2?x?2上的最大值为4，最小值为0. 当x2?y2?4,y?0,?2?x?2，构造拉格朗日函数 F(x,y,?)?x2?2y2?x2y2??(x2?y2?4) ?Fx??2x?2xy2?2?x?0,53?2解方程组 ?Fy??4y?2xy?2?y?0, 得可能极值点：(0,2),(?,)，其对22?F??x2?y2?4?0,??应函数值为f(0,2)?8,f(?比较函数值2,0,4,8,537,)?. 2247，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0. 4【评注】当x2?y2?4,y?0,?2?x?2，y2?4?x2代入目标函数转换成一元函数求解更简单。 例１5:已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1)?2. 求f(x,y)在椭圆y2?1}上的最大值和最小值. 域D?{(x,y)x?42【解】 由题设，知 ?f?f?2x，??2y， ?x?y22于是 f(x,y)?x?C(y)，且 C?(y)??2y，从而 C(y)??y?C， 22再由f(1,1)?2，得 C=2, 故 f(x,y)?x?y?2. （下略） 三、应用

11

1.曲面的切平面与法线方程 曲面f(x,y,z)?0在点M0的切平面? 这切平面的方程式是 Fx(x0 y0 z0)(x?x0)?Fy(x0 y0 z0)(y?y0)?Fz(x0 y0 z0)(z?z0)?0? 法线方程为 x?x0y?y0z?z0? ??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)222例16： 求球面x?y?z?14在点(1? 2? 3)处的切平面及法线方程式? 【解】 F(x? y? z)? x2?y2?z2?14? Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ? Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6? 法向量为n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)? 所求切平面方程为2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0? 法线方程为2.场论初步 （1）数量场：（方向导数）函数u?f(x? y，z)在点P0(x0? y0,z0)可微分? 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在? 且有 x?1?y?2?z?3 123?f?l(z,y,z)000?fx(x0,y0,z0)cos??fy(x0,y0,z0)cos??fz(x0,y0,z0)cos?? 其中cos ?? cos ?,cos?是方向l 的方向余弦? （2）数量场（梯度）设三元函数f(x,y,z)可微 ｛grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?=?f?f?f,,｝ ?x?y?z结论? 函数在某点的梯度是这样一个向量? 它的方向与取得最大方向导数的方向一致? 而它的模为方向导数的最大值? （３）矢量场：（散度）已知A?{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} divA????p?Q?R?? ?x?y?z?（４）矢量场：（旋度）已知A?{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 12

i?? rotA??xP j??yQk? ?zR

13

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库11第十一讲 二元函数的微分与极值在线全文阅读。