线性代数复习题

矩阵

一、 填空题

1.矩阵A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。 2.设矩阵AB与BA都有意义，问A与B的关系为 ；又若AB与BA为同级方阵，问A与B的关系为 。 3.设?是一个列向量，k是一个数，分析k?与?k的意义 ，两者是否相等？答： 。 4.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij? 。 5.设A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? , (A?B)(A?B)? 。

4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 ?34?A?ATA?AT? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和A?） 22?20?1??5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3)T,A??013??,计算XAY? 。

??122???8.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 9.设矩阵A??10.设A???20?100?，则A? 。 ?03??12?2?，f(x)?x?2，则f(A)? 。 ?11?0??,f(x)是多项式，则f(A)? 。 A2??A111.设准对角矩阵A???0二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1、设矩阵A,B满足AB?0，则A?0或B?0。 2、矩阵乘法适合交换律。

3、设A,B是n级方阵，则(A?B)2?A2?2AB?B2,A2?B2?(A?B)(A?B)。 4、设A,B,C是同级方阵，若AB?AC，则B?C。 5、若A2?0，则必有A?0。

1

6、方阵A满足A2?A，则A?E或A?0。 三、解答题

?131????214?TABB?0?12AB?AB?1.已知矩阵A??，，计算,。 ???1?13????1?31????1?12.设A???0??0?110010200???1?11????1??1?11?。试用矩阵分块方法求BT,AB。 ,B???00?1?0????00?1??2????行列式的计算

一、 填空题

000a00b0? 。(三阶以上的行列式没有对角线法则) 1.

0c00d0002.试写出n阶行列式按第一列展开的定义 。 3.已知四阶行列式D中第三列元素依次为 ?1,2,0,1，它们的代数余子式依次分别为

5,?3,?7,?4，则D=_______。

?123???4.设矩阵A??23?5?，试写出行列式A中(2,1)-元的代数余子式 ，A?471???中第三行元素的代数余子式之和= 。

5. 设A?(aij)3?3,|A|?2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j?1,2,3)，则

(a11A21?a12A22?a13A23)2?(a21A21?a22A22?a23A23)2?(a31A21?a32A22?a33A23)2? 276844446、 已知D=,A41,A42,A43,A44为D中第4行元素的代数余子式，则

24798188A41?A42?A43?A44?___.

7.设A*是矩阵A 的伴随矩阵，则AA*?A*A?_____________. 8.设n阶矩阵A可逆，则A*? 。 9.若A都是n阶方阵，则?A? 。

2

10.设A* 是n阶方阵A的伴随矩阵, A?d,则AA?? 。 11.若A，B都是n阶方阵，A?1，B??3，则3A*B?1?_____________。

?1?23?1??12.设矩阵A???200?, 则 A?1?______________。(A?1?)

A?749???12313、已知1?1x是关于x的一次多项式，该式中x的系数为____________. 11?1二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1、设A是n阶矩阵，则kA?kA。

2、若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零） 3、设A是n阶方阵， 且A?a?0， 则 A*?三、解答题

1.计算下列行列式(常规方法将行列式化为上三角形行列式,不熟练的话一定要一步一步化才不容易出错)

11?。 Aa325103(1)A??1?1?232001(3)C?2112321110， (2)B?024?221311314， 4?130112111。 1211213012， (4)D?41114?111(注:此行列式为列等和行列式(每一列的和都相等),也是行等和行列式,方法从第2行开始到第n行都加到第1行,这样第一行的元素都相等,可以提取公因式,这样第一行的元素就都是1了)

aba?baa?bab2.求D?ba?b。

3

a?1?13．计算4阶行列式D?1?1xa4. 计算n阶行列式 Dn?a?a5．计算n阶行列式

1?x1?11a?11?1aaxaax??aa11?1?1.(列等和行列式)

a?11?1a?1?a?a?a. (列等和行列式)

??x1Dn??11?x?1(列等和行列式)

???1?1?xa01a10?01?100 (ai?0,i?0,1,?,n) ?6．计算Dn?11?1?10?a2??0?an(三线型行列式，要利用列变换把第一列除了a11的元素都化为0)

x1aax20?0a0?0??a00 (xi?0,i?1,2,?,n)（三线型行列式） ?7．计算Dn?a?ax3??xn1x8. 计算行列式D?yzc0.（三线型行列式） 0119.设3阶方阵A的伴随矩阵为A?，且A?，求(4A)?1?2A?。

2?23??213?123?????12?14210.设A??????1?21???，求A。 ???8?32????12?????23??213??12?3?????， 求A。 12?14211.设3A?????3?11?????????12???8?32??

4

a100b010?100??12?4?TBA。 12.设A??，，求B??????111??14?2?13.设A是n阶方阵,且A?2,求3A?1?2A?,其中A* 是A的伴随矩阵。

逆矩阵

一、 填空题

1.试写出n阶方阵A可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。

?200???1A? 。 2.设矩阵A??，则012???035????1?33.设A???0??0240000350??0?，则A?1? 。 4??7?4.已知矩阵A满足A2?2A?3E?0，则A?1? 。

5.已知A,B,C为同阶方阵,且C可逆,若C?1AC?B,则C?1AmC? (m是整数)。

6.设A,B,C,D均为n阶方阵，且ABCD?E，则(BC)T(DA)T?________________。 7.设A,B,C均为n阶方阵，且ABC?E，则BT(CA)T?______________。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）

?010???1.矩阵?100?可逆，且其逆为其本身。

?001????100??102?????2. 矩阵?030?，?010?可逆，且其逆为其本身。。

?001??001?????3.若方阵A可逆，则其伴随矩阵A*也可逆。

4.设A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则A?B可逆。 5.n阶方阵A满足A2?A?2E?0，则E?A可逆。

5

三、解答题

?1?21.已知A???0??1010112110?0??，求逆阵A?1。 0??1??101??? 2.设A??020?，求A?1

?110???3.用两种方法求下列矩阵的逆

?012??211????? A??234?,B??001?.

?479??100??????42?4.已知矩阵A和B满足关系式：AB?2A?B，其中B??11??12?3??0?，求矩阵A。 3??矩阵的秩

一、 填空题

1.试写出矩阵秩的定义： 。

?123??2.设矩阵A??456??，则A的秩R(A)? 。

?789????123???3.矩阵A??23?5?的秩为__________，A 的伴随矩阵A*= 。

?471???4.设A是3阶可逆方阵，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。

?102??5.设A??040??，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。

?203???6.设B是3?4矩阵且R(B)?2，则B的等价标准形为 。 7.设R(Am?n)?n，则A的等价标准形为 。

?120?1??8.设A??2013??，则A的等价标准形为 。

?5225???

6

二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.若矩阵A的秩为r，则A中必有某一个r?1阶子式不等于零。 2.若n阶方阵A的秩R(A)?n?1，则其伴随阵A*?0。 三、解答题

1.写出下列矩阵的等价标准形

?2?1?11???11?21?, A???4?62?2???3?74?3?????1??1?B??1???1?3113201113??1?1?，

02??20???k111???C??1k11?（对k讨论）

?11k2????1?112??2.设矩阵A??3??12??的秩为2，求?，?。

?53?6???线性方程组

一、 填空题

1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。

2.设A是n阶方阵，且秩(A)?r?n，则齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含 个解向量。

?2x?3x2?3x3?2x4?03.方程组?1的基础解系中含 个解向量。

?7x1?2x2?x3?3x4?04.设?1,?2是n(n?3)元齐次线性方程组Ax?0的基础解系，则秩(A)= 。 5.矩阵Am?n的秩为r，则AX?0的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。 6.设A是n阶方阵,R?A??n?2,则线性方程组AX?0的基础解系所含向量的个数是 。

7

???10??x1??0???x???0?有非零解，则 ??0 或 ?? 。 ?11?17.若方程组????2?????0?2?????x3????0??8.设A是n阶方阵,若线性方程组AX?0有非零解,则必有A? 。

?x1?2x2?6x3?0?9. 已知齐次线性方程组 ?x1??x2?3x3?0 有无穷多解，则必有??____________. .

?2x?x?3x?03?12二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.n元线性方程组Ax?b(b?0)当R(A)?n时有无穷多解。

2.设A是n阶方阵,若方程组AX?b满足R(A)?R(A,b),则AX?b有唯一解。 3.对于线性方程组Ax?b (这里A为n阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 R(A)?n。 4.设?1,?2是方程组AX??的解，则?1??2是AX??的解。 5.设?1,?2是方程组AX??的解，则?1??2是AX?0的解。 6.设?1,?2是线性方程组AX?0的解，则?1??2是AX?0的解。

7.设?1,?2是线性方程组AX??的解，则k?1?(1?k)?2是AX??的解，k是任意常数。 三、解答题 1.求解线性方程组

?x1?x2?2x3?x4??22x?x?3x??2?123?2x?2x?x?2x?5??234（1）?x1?x2?3x3??1； （2）?1。

x?2x?3x?4x??2234?1?2x?x?4x??93?12??3x1?x2?7x3?5x4?172.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。

?x1?x2?5??x1?x2?x3?x4?1??(1) ?x1?x2?x3?x4?0； (2) ?2x1?x2?x3?2x4?1；

?5x?3x?2x?2x?3?1234?1x?x?2x?2x??34?122??x1?x2?2x4??6?(3) ?x1?x2?x3?x4?1

??x?x?x?3123? 8

?x1?x2?x3?x4?0?3.求齐次线性方程组?x1?x2?x3?3x4?0的基础解系与其通解。

?x?x?2x?3x?0234?1?x1?x2?x3?x4?1?x?3x?5x?x?3?12344.已知线性方程组?，求k，使得上述方程组有解，并求出所有

?x1?x2?3x3?5x4?3??x1?5x2?11x3?12x4?k的解。

?kx1?(k?1)x2?x3?1?5.讨论方程组?kx1?kx2?x3?2，当k取何值时

?2kx?2(k?1)x?kx?223?1（1）方程组无解？

（2）方程组有无穷多解？并求出通解. （3）方程组有唯一解？

6.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。

??x1?x2?x3???3?x1?x2?x3?u??(1) ?x1??x2?x3??2； (2) ?2x1?x2?x3?1；

?x?vx?0?x?x??x??23?1123??ux1?x3?1?(3) ?x1?ux2?x3?1

?x?x?v?13向量组的线形相关性

一、 填空题

1.?1?(1,3,5), ?2?(1,1,3), ?3?(1,a,6)线性相关 ,则a的值为__________。 2.若向量 (2,3,?1,0,1)与 (?4,?6,2,a,?2)线性相关，则a的取值为 。 3.设向量组?1?(1,2,3)， ?3?(?1,1,0),则向量组?1,?2,?3的秩是 。?2?(2,1,3)，4.设向量组I：?1,L,?r 的秩为p， 向量组II：?1,L,?s 秩为q， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则p与q的大小关系是_________________。 5.设向量组 I:?1,L,?s线性无关，而?1,?2 都能由I 线性表出，则秩(?1,L,?s,?1,?2 )= 。

6.已知一个向量组含有两个或两个以上的极大线性无关组,则各个极大线性无关组所含向量的个数必定 。

9

二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.3维向量组?1,?2,?3,?4必线性相关。

2.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。

3.如果向量组?1,?2,L,?s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。 4.包含零向量的向量组是线性相关的。

5. n维向量组?1,L,?s与n维向量组?1,L,?s秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。

6.若两个向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。 三、解答题

1.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示 (1) ?1?(0,?1,?1)T,?2?(1,1,2)T,?3?(1,0,1)T；

(2) ?1?(3,3,1,2)T,?2?(0,1,1,2)T,?3?(3,2,0,0)T,?4?(1,1,1,1)T；

(3) ?1??1,1,?2,1?，?2???1,2,?1,5?，?3??1,?1,0,?3?，?4??3,?1,?2,?5?。 (4) ?1??1,0,1,2?，?2??2,4,0,3?，?3??3,?4,?3,5? ， ?4???1,?2,2,?1?，

TTTTTTTT?5??2,10,?1,0? 2.判断下列向量组的等价性

?1??1,0,1?,?2??0,1,0?,?3??1,1,1?与?1??1,?1,1?,?2??1,0,0?。

TTTTTT?2?1?11?11?213.设矩阵A???4?62?2??36?972??4?，求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属?4?9?于极大无关组的列向量用该极大无关组线性表示。

4.设?1?(6,a?1,3)T,?2?(a,2,?2)T,?3?(a,1,0)T，求a为何值时，（1）?1,?2,?3线性相关？（2）?1,?2,?3线性无关？

方阵的特征值与特征向量

一、填空题

1.设?1,?2,?,?n是n阶矩阵A的n个特征值， 则A?_________。 2.3阶方阵A的特征值为3,?1,2，则A?_______。

10

3.若??3是可逆方阵A的一个特征值，则A?1必有一个特征值为 。 4.设?1,?2是分别属于方阵A的不同特征值?1,?2的特征向量，则?1,?2必线性 。 5.实对称矩阵A?02OL 的两个特征值为__________。 MP23NQ6.设实数?是实矩阵A的某个特征值，则可知矩阵 B?A3?2A2?E的某个特征值

??_____。

7.若已知n阶方阵A的行列式A?2，??2是矩阵A的一个特征值，则其伴随矩阵A*必有一个特征值为__________。

8.已知3阶矩阵A的特征值为1,?1,2，则矩阵B?A3?2A2的特征值为_______________。 9.设A是幂零矩阵,即存在正整数k，使得Ak?0，则A的特征值为 。 10.设A为n阶方阵，且A2?5A?6E?O，则A的特征值只能是________________。

?1??1?????11.设向量?1??1?和?2??0?都是矩阵A对应特征值??2的特征向量，且向量

?0??1????????1?2?2，则向量A?? 。

12.已知2是A的一个特征值，则|A2?A?6E|?_______________。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.可逆矩阵的特征值一定不为零。

2.若?是n阶矩阵A的特征值，则?2是A2的特征值。 3.设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征值。 4.设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征多项式。

5.设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,?1,?2是对应的特征向量,则?1??2也是A的特征向量。 三、解答题

1.求下列矩阵的特征值、特征向量：

??211???(1).A??020?；

??413??? 11

?310???(2).B???4?10?；

?4?8?2????31?1???(3).C??35?3?；

?002????001???(4).D??010?。

?100???2.已知3阶方阵A的特征值为1,2,?3,试求A??3A?2E。

?1??2?12?????3?的一个特征向量，3.已知???1?是矩阵A??5a试确定参数a,b及特征向量

??1???1b?2??????所对应的特征值。

相似矩阵

一、填空题

1.若n阶方阵A与B相似，且A?2，则BA? 。

?23??12??2.若?相似，则x? ，y? 。 ?与????yx??34?3.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是 。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.相似矩阵的行列式相等。

2. 设矩阵A相似于矩阵B, 则A2与B2也必相似。

3.设A,B都是n阶方阵,若A与B相似,则A与B有相同的特征值。 4.设A,B都是n阶方阵,若A,B有相同的特征值,则A与B相似。 5.设A,B,C都是n阶方阵,若A与B相似, B与C相似,则A与C相似。 三、解答题

?200???1.设矩阵A??12?1?，（1）求A的特征值和特征向量；

?101???（2）试求一可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵。

12

?301???2.设A??040? （1）A是否能对角化？说明理由。

?103??? （2）若能，试求可逆矩阵P，使P?1AP为对角阵。

?1??0??0???????3.三阶方阵A的特征值为1,0,?1， 对应特征向量分别为?1??1?,?2??1?,?3??0?, 求

?1??1??1???????A88。

?200???4.设A??032? (1) 求A的特征值和特征向量；

?023??? (2) A是否可对角化？若可对角化，试求矩阵P，使得P?1AP成为对角形。

实对称矩阵的正交对角化

一、填空题

1.设向量??(1,5,k,?1)T 与向量??(2k,3,?2,k)T 相互正交， 则k = 。 2.向量??(1,2,3)T与??(?1,2,b)T正交，则b?_______________。

3.已知??(1,1,0,?1),??(?1,?2,0,1)。则内积[3???,???]? 。 4.设???1,2,a,4?,????4,b,?2,1?,若?与?正交,则a,b应满足的关系为 。 5.设A为n阶正交阵，则A必可逆，且A?1?_____________。

6.设向量?,?分别为实对称阵A的两个不同特征值?1,?2所对应的特征向量，则

[?,?]=________。

????7.已知矩阵A??????1212013131?3??a????a?为正交矩阵，则矩阵元素a,b分别为 __________ 。 ??b??二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.设A为正交阵，则矩阵A的实特征值?满足等式：?2?1。 2.若A是正交方阵,则A?1?AT也是正交阵，且A?1或?1。

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3.设A,B都是n阶正交方阵,则AB也是n阶正交方阵。

??1?14.矩阵A????2?1??3??12????是正交矩阵。 ???1???1312112三、解答题

1.设?1??1,2,?1?,?2???1,3,1?,?3??4,?1,0?,将该向量组规范正交化。 2.将向量a1??1,?1,0?，a2??1,0,1? ，a3??1,?1,1?化成规范正交基。 3．设?1??2,?2,1?,?2??0,1,?1?,试求数k1,k2，使向量??k1?1?k2?2 是与?1正交的单位向量，并求?.

TTTTTTTT 14

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