24.2点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习(精品)

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习

1.点和圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ①点P在圆外?d＞r ②点P在圆上?d=r ①点P在圆内?d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

（3）符号“?”读作“等价于”，它表示从符号“?”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

2.确定圆的条件

不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．

3.三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

4.反证法(了解)

（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 5.直线和圆的位置关系

（1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点．

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

1

①直线l和⊙O相交?d＜r ②直线l和⊙O相切?d=r ③直线l和⊙O相离?d＞r．

6.切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．

7.切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．

8.切线的判定与性质 （1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

9.切线长定理

2

（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对；

③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．

10.三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

11.圆与圆的五种位置关系

（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．

（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离?d＞R+r； ②两圆外切?d=R+r；

③两圆相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切?d=R-r（R＞r）； ⑤两圆内含?d＜R-r（R＞r）．

12.相切两圆的性质

相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 13.相交两圆的性质

（1）相交两圆的性质：

相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质：

两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．

3

4. 判断圆的切线的方法及应用

判断圆的切线的方法有三种：

（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；

（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线； （3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例4】 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是线段BC的中点.

（ 1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由. （2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.

【例5】 如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.

【例6】 如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.

4

【知识梳理】

1. 直线与圆的位置关系： 2. 切线的定义和性质：

3.三角形与圆的特殊位置关系：

4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为r1,r2） 相交?r1?r2?d?r1?r2； 外切?d?r1?r2；

内切?d?r1?r2； 外离?d?r1?r2； 内含?0?d?r1?r2 【注意点】

与圆的切线长有关的计算． 【例题精讲】

例1.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．内含

例2. 如图1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．?B?50°，?C?60°，连结OE，OF，DE，DF， 则?EDF等于（ ） A．40° B．55° C．65° D．70°

例3. 如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有（ ）

A．0个 B．1个 C．无数个 D．0个或1个或无数个

例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm或7cm

例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足___ ___?时，?两圆相交；

?

当d?满足___ ___时，两圆不外离．

例7．⊙O半径为6.5cm，点P为直线L上一点，且OP=6.5cm，则直线与⊙O?的位置关系是____

例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是 _．

例9. 如图，⊙M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴切于点C，则圆心M的坐标是

5

例10. 如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=43，求DB的长．

【当堂检测】

1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A．相离 B．外切 C．内切 D．相交

2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（ ） A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上答案均不对 3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于（ ）

A. 15? B. 30? C. 45? D. 60?

4. 如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（ ） AA）6 （B）25 （C）210 （D）214

O BDC

5.如图，在第3题图10× 6的网格图中第4题图(每个小正方形的边长均为 第5题图1 个单位长)．⊙第6A题图半径 为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移 个单位长.

6. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90?，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（ ）

A.

54 B. 45 C. 354 D. 6 7.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直

线AB的位置关系是( )

A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定

8.如图，在△ABC中，AB?AC，?A?120°，BC?23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．

9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．

O1O2

O

6

第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．

11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．

12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30o，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．

13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，

∠P=60°．求弦AB的长． A

P O

B C

【中考连接】 一、选择题

1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )

A.2 B.23 C.3 D.3

2.⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则△ABC的边长为（ ） A．3 B．5

C．23 D．25 3. 已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30?，过C点的切线PC与AB延长线交于P点．PC＝5，则⊙O的半径为 （ ） A.

533 B. 536 C. 10 D. 5 4. AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PC是⊙O的切线，C为切点，PC＝26，PA＝4，则⊙O的半径等于（ ） A. 1 B. 2 C.

32 D. 62 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外

切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )

A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）

①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第3题图

二、填空题

第6题图 第7题图 第8题图 6. 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一

第12题图

7

点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝__________度． 7. 如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，，

，

的度数

比为3∶2∶4，MN是⊙O的切线，C是切点，则∠BCM的度数为________．

8．如图，在△ABC中，AB?AC?5cm，cosB?35．如果⊙O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．

9．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB= ．

10．如图6，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连结BD，则图中直角三角形有 个．

第

10题图 第11题图 第12题图 11.如图，?ACB?60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm．

12.如图， AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，∠AOB=60°，BC=4cm，则切线AB= cm.

13.如图，⊙A和⊙B与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都

在反比例函数y?

1

x

图象上，则阴影部分面积等于 ． 14. Rt△ABC中，?C?90°，AC?6，BC?8．则△ABC的内切圆半径r?______．

15.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、

r是关于x的方程x2－4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切

第13题图 时，则m的值为_____．

16.已知：⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB、BC、CA分别为 ．

17.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2－4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为_____． 三、解答题

18. 如图，AB是⊙O的弦，OC?OA交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，当CE?BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由． 第18题图

19.如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC?4，?OAC?60． （1）求∠AOC的度数；

8

（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；

（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按A照逆时针的方向运动，当S△MAO?S△CAO时，求动点M所经过的弧长．

9

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