北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
11－，? 答案：??24?7．已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝________. 25
解析：f′(1)＝，f(1)＝1，则f(1)＋f′(1)＝. 335
答案： 3
8．已知函数y＝x3－1，当x＝2时，lim →
Δx0
33
Δy?x0＋Δx?－1－?x0－1?解析：＝
ΔxΔx2
＝3x20＋3x0·Δx＋(Δx)，
Δy
等于__________________． Δx∴lim →
Δx0
Δy222
＝lim[3x＋3x·Δx＋(Δx)]＝3x000. ΔxΔx→0
∴f′(x0)＝3x20. ∴f′(2)＝3×22＝12. 答案：12
1
9．求函数y＝f(x)＝x－在x＝1处的导数．
x解：Δy＝(1＋Δx)－
11Δx1－?＝Δx＋－?，
1＋Δx?1?1＋Δx
Δx
Δx＋
1＋ΔxΔy1
＝＝1＋， ΔxΔx1＋Δx
Δx0
lim →
Δy?1＋1?＝2. ＝lim
ΔxΔx→0?1＋Δx?
10．已知曲线C：y＝f(x)＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点P的坐标为(1,1)． ?1＋Δx?3－1Δy
因为f′(1)＝lim ＝lim ＝
ΔxΔx→0ΔxΔx→0
Δx0
2
lim[3＋3Δx＋(Δx)]＝3， →
所以过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0.
??y＝3?x－1?＋1，(2)由??(x－1)2(x＋2)＝0， 3
?y＝x?
∴x1＝1，x2＝－2.
所以公共点为(1,1)和(－2，－8)，
44
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说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．
11．下列各式中正确的是( ) A．f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0－Δx?－f?x0?
Δxf?x0－Δx?＋f?x0?
Δxf?x0＋Δx?＋f?x0?
Δxf?x0?－f?x0－Δx?
Δx
B．f′(x0)＝lim →
Δx0
C．f′(x0)＝lim →
Δx0
D．f′(x0)＝lim →
Δx0
解析：由导数的定义可知， f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝
Δx
Δx0
lim →
f?x0－Δx?－f?x0?
，
－Δx
故排除A，B，C． 在D中，f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0?－f?x0－Δx?
＝
Δx
Δx0
lim →
f?x0－Δx?－f?x0?
.
－Δx
答案：D
31
1，－?，则过点P的切线的倾斜角为________． 12．已知曲线y＝x2－2上一点P?2??21
解析：令f(x)＝x2－2，
2
12?121
Δy＝(1＋Δx)2－2－??2×1－2?＝2Δx＋Δx， 212
Δx＋ΔxΔy21＝＝Δx＋1， ΔxΔx2∴lim →
Δx0
Δy?1Δx＋1?＝1. ＝lim ?ΔxΔx→0?2
3
1，－?的切线的斜率为1，切线的倾斜角为45°∴f′(1)＝1.∴过点P?. 2??答案：45°
13．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________． 解析：设P(x0,2x20＋4x0)， 则f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝
Δx
45
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2?Δx?2＋4x0·Δx＋4Δxlim ＝4x0＋4.
ΔxΔx→0
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16.∴x0＝3.∴P(3,30)． 答案：(3,30)
14．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
22
解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax0－9x0－1)＝(3x0＋2ax0－
9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴
Δy2
＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx). Δx
Δy2
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x0＋2ax0－9.
Δx即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9， aa
x0＋?2－9－. ∴f′(x0)＝3?3??3
aa2
当x0＝－时，f′(x0)有最小值－9－. 33∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， a2
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
3解得a＝±3. 又a＜0，∴a＝－3. 1415．已知曲线y＝x3＋.
33
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程，所求切线与曲线是否还有其他公共点？若有，请求出其坐标；若没有，试说明理由．
14
解：(1)由导数的定义求得函数f(x)＝x3＋在x＝2处的导数为f′(2)＝4.
33由导数的几何意义，点P(2,4)处的切线的斜率为4， 故所求的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
14?14
x0，x3＋(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A?303?，利用导数的定义和几何意义，切线?33的斜率为k＝f′(x0)＝x20，
134?2
切线方程为y－??3x0＋3?＝x0(x－x0)．
46
2
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导
全册课时练习含答案
目 录
? 第1章 1.1、1.2 归纳与类比
? 第1章 1.1、1.2 归纳与类比 活页作业1 ? 第1章 2.1、2.2 综合法与分析法
? 第1章 2.1、2.2 综合法与分析法 活页作业2 ? 第1章 3 反证法
? 第1章 3 反证法 活页作业3 ? 第1章 4 数学归纳法
? 第1章 4 数学归纳法 活页作业4 ? 阶段质量评估1
? 第2章 1 变化的快慢与变化率
? 第2章 1 变化的快慢与变化率 活页作业5 ? 第2章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义
? 第2章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义 活页作业6 ? 第2章 3 计算导数
? 第2章 3 计算导数 活页作业7
? 第2章 4.1、4.2 导数的四则运算法则
? 第2章 4.1、4.2 导数的四则运算法则 活页作业8 ? 第2章 5 简单复合函数的求导法则
? 第2章 5 简单复合函数的求导法则 活页作业9 ? 阶段质量评估2
? 第3章 1.1 导数与函数的单调性（第一课时）
? 第3章 1.1 导数与函数的单调性（第一课时） 活页作业10 ? 第3章 1.1 导数与函数的单调性（第二课时）
? 第3章 1.1 导数与函数的单调性（第二课时） 活页作业11 ? 第3章 1.2 导数在实际问题中的应用
? 第3章 1.2 导数在实际问题中的应用 活页作业12 ? 第3章 2.1 实际问题中导数的意义
I
? 第3章 2.1 实际问题中导数的意义 活页作业13 ? 第3章 2.2 最大值、最小值问题
? 第3章 2.2 最大值、最小值问题 活页作业14 ? 阶段质量评估3
? 第4章 1.1、1.2 定积分的概念
? 第4章 1.1、1.2 定积分的概念 活页作业15 ? 第4章 2 微积分基本定理
? 第4章 2 微积分基本定理 活页作业16 ? 第4章 3.1、3.2 定积分的简单应用
? 第4章 3.1、3.2 定积分的简单应用 活页作业17 ? 阶段质量评估4
? 第5章 1.1、1.2 数系的扩充与复数的引入
? 第5章 1.1、1.2 数系的扩充与复数的引入 活页作业18 ? 第5章 2.1、2.2 复数的四则运算
? 第5章 2.1、2.2 复数的四则运算 活页作业19 ? 阶段质量评估5 ? 模块综合测评
II
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
第一章 §1 1.1 1.2
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则第七个三角形数是( )
A．27 C．29
解析：第一个三角形数是1， 第二个三角形数是1＋2＝3， 第三个三角形数是1＋2＋3＝6， 第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.
?1＋n?n
因此，由归纳推理第n个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2由此可以得出第七个三角形数是28. 答案：B
5－1→→
2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为
2“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )
B．28 D．30
A．
5＋1
2
B．
5－1
2
C．5－1 D．5＋1
→→
解析：根据“黄金椭圆”的性质FB⊥AB，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲
1
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
x2y2→→→→
线”的方程为2－2＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB⊥AB，∴FB·AB＝0.
ab→→
又FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)，∴b2＝ac.而b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac.等号两边同除以a2，得e2－e－1＝0，求得e＝5＋1
. 2
答案：A
3．下列几种推理过程是类比推理的是( ) A．两直线平行，内错角相等
B．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质 C．由数列的前几项，猜想数列的通项公式
D．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人 解析：A不是合情推理，C是归纳推理，D是归纳推理，只有B是类比推理． 答案：B
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：T16设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
T12
解析：等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数T8T12T16列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
T4T8T12
T8T12答案： T4T8
5．已知数列{an}中，a2＝6，(1)求a1，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
a2＋a1－1
解：(1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.
a2－a1＋1由由
a3＋a2－1
＝2，得a3＝15.
a3－a2＋1
a4＋a3－1
＝3，得a4＝28.
a4－a3＋1
an＋1＋an－1
＝n.
an＋1－an＋1
故a1＝1，a3＝15，a4＝28. (2)由a1＝1＝1×(2×1－1)， a2＝6＝2×(2×2－1)， a3＝15＝3×(2×3－1)， a4＝4×(2×4－1)，…， 猜想an＝n(2n－1)．
2
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活页作业(一) 归纳与类比
1．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有阴影花色的正六边形的个数是( )
A．26 C．32
B．31 D．36
解析：设第n个图案有an个阴影花色的正六边形，则a1＝6×1－0，a2＝6×2－1，a3＝6×3－2，故猜想a6＝6×6－5＝31.
答案：B
2．观察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， ……
可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2……故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加……故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方……故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：B
1
3．已知x＞0，由不等式x＋≥2
x
3xx414xx4
x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3··＝3，…， xx22x22x2a
我们可以得出推广结论：x＋n≥n＋1(n∈N＋)，则a等于( )
xA．2n C．3n
B．n2 D．nn
3
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(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为
22
Δs29＋3[?1＋Δt?－3]－29－3×?1－3?＝＝3Δt－12， ΔtΔt
Δs
当Δt趋于0时，趋于－12，
Δt∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.
11．国家环保总局对某企业的排污量w分别于某月5日、10日、15日、20日和25日连续进行检测，检测结果如右图所示．从图中观察，在哪两次检测日期之间，治理效率最高？( )
A．5日到10日 C．15日到20日
B． 10日到15日 D．20日到25日
解析：相邻检测日期之间都相差5日，而从15日到20日之间曲线下降最多，即排污量下降最多，所以治理效率最高．
答案：C
12．某物体走过的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝2t2，通过平均变化率估计该物体在t＝2 s时的瞬时速度为________m/s.
222
Δs2?2＋Δt?－2×28＋8Δt＋2Δt－8解析：＝＝＝8＋2Δt，
ΔtΔtΔt
Δs
当Δt趋于0时，趋于8.
Δt答案：8
13．设f(x)＝－3x＋2，则f(x)在x＝2附近的平均变化率为____________，在x＝3附近的平均变化率为______________．
解析：在x＝2附近的平均变化率为
Δyf?2＋Δx?－f?2?[－3?2＋Δx?＋2]－?－3×2＋2?－3Δx＝＝＝＝－3； ΔxΔxΔxΔx在x＝3附近的平均变化率为
Δyf?3＋Δx?－f?3?[－3?3＋Δx?＋2]－?－3×3＋2?－3Δx＝＝＝＝－3. ΔxΔxΔxΔx答案：－3 －3
14．某市一天12 h内的气温变化情况如下图所示，则气温(单位：℃)在[0,4]h内的平均变化率为__________________．
39
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
?－2?－?－1?－11解析：＝＝－.
444－01
答案：－
4
1
15．设函数y＝f(x)＝x2＋.
x
(1)求x从1变到2时，f(x)的平均变化率；
(2)当x从1变化到1.1,1.01,1.001时的平均变化率，并由此估计f(x)在x＝1处的瞬时变化率． 1122＋－12－
215Δyf?2?－f?1?
解：(1)所求平均变化率为＝＝＝.
Δx22－12－1Δyf?1＋Δx?－f?1?
(2)＝ ΔxΔx11?1＋Δx?2＋－12－
11＋Δx
＝ Δx1
＝2＋Δx－.
1＋Δx
Δy1
当x从1变化到1.1时，Δx＝0.1，则平均变化率为＝2＋0.1－≈1.191；
Δx1＋0.1当x从1变化到1.01时，Δx＝0.01，则平均变化率为
Δy1
＝2＋0.01－≈1.020； Δx1＋0.01Δy1
＝2＋0.001－≈1.002. Δx1＋0.001
当x从1变化到1.001时，Δx＝0.001，则平均变化率为由此估计当Δx趋于0时，平均变化率趋于1， 即f(x)在x＝1处的瞬时变化率为1.
16．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如下图所示，试分别计算从出生到第3个月以及从第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，并比较哪段时间体重增长较快，此结论可说明什么？
40
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
Δy
解：利用计算体重平均变化率．
Δx0～3个月体重平均变化率为
6.5－3.5
＝1， 3－0
12－8.6
6～12个月体重平均变化率为≈0.6，
12－6由1＞0.6，可知从出生到第3个月体重增长较快， 这说明体重变化越来越慢．
第二章 §2 2.1 2.2
1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( ) A．f′(x0)＞0 C．f′(x0)＝0
B．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
11
解析：因为切线x＋2y－3＝0的斜率为－＜0，所以f′(x0)＝－＜0.
22答案：B
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 C．与x轴垂直
解析：由导数的几何意义知B正确． 答案：B
3．已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
B．与x轴平行或重合 D．与x轴斜交
A．f′(xA)＞f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB) D．不能确定
解析：结合图像由导数的几何意义得f′(xA)＜f′(xB)． 答案：B
41
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
4．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝2x－1，则f′(x0)＝________. 解析：f′(x0)＝k＝2. 答案：2
51
2，?，用导数的定义求： 5．已知曲线y＝f(x)＝x＋上一点A??2?x(1)点A处的切线的斜率； (2)点A处的切线方程． 解：(1)∵点A在曲线上，
1－Δx1
2＋?＝∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－?＋Δx.
2＋Δx?2?2?2＋Δx?－1Δy3
当Δx趋于0时，＝＋1趋于，
Δx2?2＋Δx?43
∴点A处的切线的斜率为.
4
53
(2)点A处的切线方程为y－＝(x－2)，
24即3x－4y＋4＝0.
活页作业(六) 导数的概念及其几何意义
1．已知函数f(x)＝x，则f′(1)＝( ) 1
A．
41C．－
2
1B．
21D．－ 4
1＋Δx－1?1＋Δx－1??1＋Δx＋1?Δy1Δy1
解析：＝＝＝，当Δx趋于0时，趋于，所以f′(1)
ΔxΔxΔx2Δx?1＋Δx＋1?1＋Δx＋11
＝. 2
答案：B
2．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为( ) A．(0，－2) C．(0,0)
解析：设M(x0，y0)，
42
B．(1,0) D．(1,1)
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?x0＋Δx?2＋?x0＋Δx?－2－?x20＋x0－2?
则k＝lim ＝
ΔxΔx→02x0＋1＝3. ∴x0＝1.∴y0＝0. ∴M点的坐标为(1,0)． 答案：B
3．做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为( ) A．0 B．3 C．－2
D．3－2t
解析：该物体在t＝0时的瞬时速度
v＝Δlimt→0 3Δt－?Δt?2－0
Δt＝Δlimt→0 (3－Δt)＝3－0＝3.
答案：B
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是( A．1 B．12
C．－1
2
D．－1 解析：由题意得2＝a?1＋Δlimx→0 Δx?2－a
Δx＝Δlimx→0 (2a＋aΔx)＝2a，
∴a＝1. 答案：A
5．曲线y＝f(x)在点(xπ
0，f(x0))处的切线倾斜角是4，则f′(x0)＝( )
A．π4 B．－π
4 C．－1
D．1
解析：由题意知f′(xπ
0)＝tan 4＝1.
答案：D
6．曲线f(x)＝x2在曲线上某点的切线的倾斜角为3π
4，则此点的坐标是________．解析：设所求点的坐标为(x0，x20)，由题意得 f′(x0)＝－1.
利用导数的定义求得f′(x0)＝2x0， 故2x1，x10＝－0＝－2.
故所求点的坐标为?11?－2，4??. 43
)
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C．正整数或负整数 D．自然数或负整数
解析：方程没有整数根的否定是方程有整数根，在方程ax2＋bx＋c＝0中，a，b，c都是奇数，故0不是方程的根，因此正确的假设是方程存在实数根x0为正整数或负整数．
答案：C
5．用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋a得结果为( )
A．1 C．1＋a＋a2
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
2
n＋1
1－an2＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所
1－a
＋
解析：n＝1时，代入n＋1得2，故验证n＝1成立时，左边应为1＋a＋a2. 答案：C
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值
－
为( )
11A．a＝，b＝c＝
241
C．a＝0，b＝c＝
4
1
B．a＝b＝c＝
4
D．不存在这样的a，b，c
3?a－b?＋c＝1，??
解析：令n＝1,2,3，得?9?2a－b?＋c＝7，
??27?3a－b?＋c＝34，立．
答案：A
7．用数学归纳法证明1＋A．1 C．3
11
解得a＝，b＝c＝.经验证此时等式对一切n∈N＋均成
24
11
＋…＋＞n(n∈N＋)的步骤(1)中，验证n的初始值为( ) 2n
B．2 D．4
解析：n＝1时不等式不成立，n＝2时不等式成立，因此步骤(1)中验证n的初始值为2. 答案：B
8．已知数列{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3·…·b9＝29.若数列{an}为等差数列，a5＝2，则数列{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3·…·a9＝29 B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29 C．a1a2a3·…·a9＝2×9 D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列的性质知a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5. 答案：D
29
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
9．下列结论正确的是( ) A．当x＞0且x≠1时，lg x＋B．当x＞0时，x＋
1
≥2 x1
≥2 lg x
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0＜x≤2时，x－无最大值
x
1
解析：选项A错在lg x的符号不确定；选项C错在等号成立的条件不存在；根据函数f(x)＝x－的单
x3
调性，当x＝2时，f(x)取最大值，故选项D不正确．
2
答案：B
10．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“○”：★○★○○★○○○★○○○○★○○○○○★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是( )
A．60 C．62
B．61 D．63
解析：第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置，第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n)个位置．
n?n＋1?
∵1＋2＋3＋…＋n＝，
2
n?n＋1?62×?62＋1?
当n＝62时，＝＝1 953，
222 014－1 953＝61＜63，
∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62. 答案：C
11．用数学归纳法证明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为( )
A．2k＋1 2k＋1
C．
k＋1
B．2(2k＋1) 2k＋3D． k＋1
解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)， ?2k＋1??2k＋2?
所以，增乘的式子为＝2(2k＋1)．
k＋1答案：B
12．对于函数f(x)，g(x)和区间D，如果存在x0∈D，使|f(x0)－g(x0)|≤1，则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出下列四对函数：
30
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11－
①f(x)＝x2，g(x)＝2x－3；②f(x)＝x，g(x)＝x＋2；③f(x)＝ex，g(x)＝－；④f(x)＝ln x，g(x)＝x－.
x2其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A．①② C．③④
B．②③ D．①④
解析：对于①，|f(x)－g(x)|＝|x2－(2x－3)|＝|(x－1)2＋2|≥2，所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上不177
x－?2＋?≥， 存在“友好点”．故①错，应排除A，D．对于②，|f(x)－g(x)|＝|x－(x＋2)|＝??2?4?4??
所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”．故②错，排除B．同理，可知③④均正确．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
111
13．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝_____________.
232n－11111111
解析：∵f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋.
232n2n＋12n－12n2n＋111
答案：＋ 2n2n＋1
14．已知点A(x1,3x1)，B(x2,3x2)是函数y＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位3x1＋3x2x1＋x2
于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞3成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，
22π
－＜x＜0?的图像上任意不同两点，则类似地有_____________成立．tan x1)，B(x2，tan x2)是函数y＝tan x? ?2?
πtan x1＋tan x2
－＜x＜0?的图像是上凸的，所以线段AB的中点的纵坐标解析：因为y＝tan x?总是小于?2?2πtan x1＋tan x2x1＋x2x1＋x2x1＋x2?
－＜x＜0?图像上的点?函数y＝tan x?的纵坐标，即有＜tan 成立． ，tan?2?222??2
tan x1＋tan x2x1＋x2
答案：＜tan 22
15．(2017·湖北高考卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，n?n＋1?121
第n个三角形数为＝n＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n
222个数的表达式：
11
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
22正方形数 N(n,4)＝n2， 31
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
22六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
31
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……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝______________.
解析：先根据给出的几个结论，推测出当k为偶数时，N(n，k)的表达式，然后再将n＝10，k＝24代入，计算N(10,24)的值．
kk
－1?n2－?－2?n，于是由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝??2??2?N(n,24)＝11n2－10n，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第n个图有an个树枝，则an＋1与an(n≥2)之间的关系是______________． 答案：an＋1＝2an＋1
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数． 证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数． 设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a一定是偶数．
n
18．(12分)已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列bn＝a1a2…an(n∈N＋)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝a1＋a2＋…＋an
也是等差数列．
n
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，
n?n－1?dna1＋2a1＋a2＋…＋andd
则bn＝＝＝a1＋(n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数nn22列．
19．(12分)设a＋b＝1，且a＞0，b＞0. 1125a＋?2＋?b＋?2≥. 求证：??a??b?2
32
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11112525a＋?2＋?b＋?2≥，只需证明(a2＋b2)＋?2＋2?＋4≥， 证明：考虑待证的结论??a??b?2?ab?211?17
只需证明(a2＋b2)＋??a2＋b2?≥2. ∵ab≤?
a＋b?211
＝，∴≥4.
ab?2?4
112
∴2＋2≥≥8. abab?a＋b?21
又∵a＋b≥＝，
22
2
2
11?17
∴(a2＋b2)＋??a2＋b2?≥2. 1125
a＋?2＋?b＋?2≥成立． ∴??a??b?2
20．(12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负实数， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴a，b，c，d∈[0,1]．
a＋cb＋d∴ac≤ac≤，bd≤bd≤.
22a＋cb＋d
∴ac＋bd≤＋＝1.
22
这与已知ac＋bd＞1相矛盾，∴假设不成立，即证得a，b，c，d中至少有一个是负数．
21．(12分)是否存在常数a，b，c，使得等式1(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在a，b，c，使得所给等式成立． 令n＝1,2,3代入等式得 a＋b＋c＝0，??
?16a＋4b＋c＝3，??81a＋9b＋c＝18，
?
?
1解得?b＝－，4
??c＝0.
1a＝，4
11
以下用数学归纳法证明等式1(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n4－n2对一切正整数n都成立．
44①当n＝1时，由以上可知等式成立；
11
②假设当n＝k时，等式成立，即1(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2，
44则当n＝k＋1时，
33
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
1[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1(k2－12)＋2(k2－22)k?k＋1?1111＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2.
44244
由①②，可知等式对一切正整数n都成立．
1
22．(12分)(2015·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a2n(n∈N＋)． 2an(1)证明：1≤≤2(n∈N＋)；
an＋1
1Sn1
(2)设数列{a2≤≤(n∈N＋)． n}的前n项和为Sn，证明：2?n＋2?n2?n＋1?
2证明：(1)由题意得an＋1－an＝－an≤0，
即an＋1≤an， 1故an≤.
2
由an＝(1－an－1)an－1得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0. 1
由0＜an≤得
2
ananan＝≤2. 2∈[1,2]，即1≤an＋1an－anan＋1(2)由题意得a2n＝an－an＋1， ∴Sn＝a1－an＋1.① 由
1anan－＝和1≤≤2得 an＋1anan＋1an＋11
111≤－≤2， an＋1an11
∴n≤－≤2n.
an＋1a1∴
11
≤an＋1≤(n∈N＋)．②
2?n＋1?n＋2
1Sn1由①②得≤≤(n∈N＋)．
2?n＋2?n2?n＋1?
第二章 §1
34
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A．0.41 C．4
2222
Δs?3＋2.1?－?3＋2?2.1－2解析：＝＝
Δt0.12.1－2
B．3 D．4.1
＝
4.1×0.1
＝4.1 0.1
答案：D
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A．2.1 C．2
Δyf?1.1?－f?1?0.21解析：＝＝＝2.1.
Δx0.11.1－1答案：A
Δs
3．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，为( )
ΔtA．从时间t到t＋Δt时物体的平均速度 B．在t时刻物体的瞬时速度 C．当时间为Δt时物体的速度 D．在时间t＋Δt时物体的瞬时速度
Δs
解析：中Δt趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度．
Δt答案：B
1
4．质点的运动方程是s(t)＝2，则质点在t＝2时的速度为________．
t
11
－24＋ΔtΔss?2＋Δt?－s?2??2＋Δt?4Δs1
解析：因为＝＝＝－→－，所以质点在t＝22，当Δt→0时，ΔtΔtΔtΔt44?2＋Δt?1时的速度为－.
4
1
答案：－
4
5．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
Δy
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
Δx
B．1.1 D．0
35
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
Δy
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率.
Δx解：f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
2
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x1＋3×x1－5)
＝2[ (Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. (1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴
Δy21
＝＝21. Δx1
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，
Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴
Δy1.92＝＝19.2. Δx0.1
活页作业(五) 变化的快慢与变化率
1．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是( ) A．4 C．15
解析：Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴
Δs15
＝＝15. Δt3－2
B．13 D．28
答案：C
1
2．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则当
8t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 1C． 2
B．1 1D．
4
1111Δs1111
解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt.当Δt无限趋近于0时，＋Δt无限
8828Δt282811
趋近于，因此当t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为.
22
答案：C
36
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy等于( ) A．f(x0＋Δx) C．f(x0)－Δx
解析：由定义可以得出． 答案：D
4．在求平均变化率时，关于自变量的改变量Δx的说法正确的是( ) A．Δx＞0 C．Δx＝0
B．Δx＜0 D．Δx≠0 B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
Δy
解析：平均变化率为，分母是Δx，不为零．
Δx答案：D
5．关于函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，下列说法正确的是( ) A．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处的平均变化率 B．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处平均变化率的近似值 C．当Δx趋于0时，函数f(x)在x＝x0处的平均变化率趋于瞬时变化率 D．当Δx＝0时，函数f(x)在x＝x0处的平均变化率等于瞬时变化率 解析：由瞬时变化率的定义可以得出． 答案：C
6．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为_____________．
解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为?－2＋Δx?2－2?－2＋Δx?＋1－?4＋4＋1?
＝Δx－6.
Δx
答案：Δx－6
7．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积的平均变化率为______________． 4π4πΔV4π
解析：ΔV＝(R＋ΔR)3－R3，体积的平均变化率＝＝(ΔR2＋3R·ΔR＋3R2)．
33ΔR34π
答案：(ΔR2＋3R·ΔR＋3R2)
3
8．设函数y＝x2＋2x，x从1变到2时，函数的平均变化率为________． 解析：Δx＝2－1＝1，
Δy＝(22＋2×2)－(12＋2×1)＝5. 答案：5
9．已知质点M按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动．求： (1)前3 s内的平均速度； (2)从2 s到3 s内的平均速度；
37
Δy
＝Δx
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(3)从2.8 s到3 s内的平均速度； (4)从2.9 s到3 s内的平均速度； (5)估计质点在3 s时的瞬时速度．
Δs24
解：(1)Δt＝3(s)，Δs＝(2×9＋2×3)－0＝24(m)，故前3 s内的平均速度为＝＝8(m/s)．
Δt3
Δs
(2)Δt＝3－2＝1(s)，Δs＝ (2×32＋2×3)－(2×22＋2×2)＝12(m)，故从2 s到3 s内的平均速度为＝
Δt12
＝12(m/s)． 1
(3)Δt＝3－2.8＝0.2(s)，Δs＝(2×32＋2×3)－(2×2.82＋2×2.8)＝2.72(m)，故从2.8 s到3 s内的平均速Δs2.72度为＝＝13.6(m/s)．
Δt0.2
(4)Δt＝3－2.9＝0.1(s)，Δs＝(2×32＋2×3)－(2×2.92＋2×2.9)＝1.38(m)，故从2.9 s到3 s内的平均速Δs1.38度为＝＝13.8(m/s)．
Δt0.1
22
Δs2?t＋Δt?＋2?t＋Δt?－?2t＋2t?(5)＝＝4t＋2＋Δt，当Δt趋于0时，平均速度趋于14，故可估计质点ΔtΔt
在3 s时的瞬时速度为14 m/s.
10．若一物体运动函数如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：
2??3t＋2?t≥3?，s＝?求： 2
?29＋3?t－3??0≤t＜3?.?
(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， Δs48
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
Δt2(2)求物体的初速度v0，
即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为
22
Δs29＋3×?0＋Δt－3?－29－3×?0－3?＝＝3Δt－18， ΔtΔt
Δs
当Δt趋于0时，趋于－18，
Δt
∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.
38
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