数学模型实验

实验一

在考虑最优定价时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q = q0+βt, β为增长率，又设单位时间的销售量为x=a-bp(p为价格)。今将销售分为0

回答： （1）、求p1,p2的最优值,在销售期利润最大时。

在这个问题中我们将q1,q2看作是变量，其余全是常数 记0

w1 = a – b*p1

成本为S1

S1 = q0+β*t

由题已知销售价格固定为p1 0

0

w2 = a – b*p2

成本为S2 = q0+β*t 由题已知销售价格固定为p2 0

记最终的总利润为Y;

Y = Y1 + Y2; Y1 = (p1 - S1) * w1; Y2 = (p2 –S2) * w2;

由上式解出

p1 = p2 =

（2）、求p1,p2的最优值,在销售总量为Q0时的最优值。

在上面的基础上加上一个条件 令Z =

p1 + p2 = Z;

联合上面的方程可解出

p1 = p2 = Z -

实验二

1. 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限，收益如表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：

（1）、政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元； （2）、所购证券的平均信用等级不能超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）、所购证券的平均到期年限不超过5年 证券名称 A B C D E

证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税率收益/% 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 问：（1）若该经理有1000万元自资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加4.5%，投资应否改变？

若证券的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

（1） 回：设所购证券A、B、C、D、E为x1,x2,x3,x4,x5万元;

所列方程为：

profit = 4.3%* x1 + 5.4%* x2 + 5.0%* x3 + 4.4%* x4 + 4.5%* x5；

x2 + x3 + x4>= 400 <= 1.4 <= 5

x1 + x2 + x3 + x4 + x5< 1000;

软件代码截图：

结果：

结果解析： X2 = 90.90909

X3 = 909.0909

（2）、回：设所购证券A、B、C、D、E为x1,x2,x3,x4,x5

到X6万元。

万元

，借

profit = 4.3%* x1 + 5.4%* x2 + 5.0%* x3 + 4.4%* x4 + 4.5%* x5 - x6；

x2 + x3 + x4>= 400

<= 1.4 <= 5

< 1000+x6;

x1,x2,x3,x4,x5>=0,0<=x6<=100

实验代码：max =

x1*0.043+x2*0.054+x3*0.05+x4*0.044+x5*0.045 - x6*0.0275; x2 + x3 + x4 >= 400;

(x1*2 + x2*2 + x3 + x4 + x5*5)/(x1 + x2 + x3 + x4 + x5) <= 1.4; (x1*9 + x2*15 + x3*4 + x4*3 + x5*2)/(x1 + x2 + x3 + x4 + x5) <= 5; x1 + x2 + x3 + x4 + x5 < 1000 + x6; x6 <= 100; 实验结果：

X2 = 100,x3 = 1000,借x6 = 100;

(3)不改变！

实验三

问题背景：

禽流感的潜伏期很长，一般有7天，表现症状为：发热、咳嗽，可伴有头痛、肌肉酸痛和全身不适，也可以出现流涕、鼻塞、咽痛等，刚开始与一般的感冒一般，直到器官衰竭，并且禽流感的传染性极强，人们对禽流感的抵抗能力较弱，一旦和禽流感病人接触，极易致病。

问题分析：

禽流感是一种易传染，致死率高，并且治愈好的病人抵抗力极弱，容易再次患病的病毒性传染病。

建立模型：

首先这个模型建立的基础是：病人被治愈后变成健康者，健康者可以被感染成病人。所以病人数量会刚开始慢慢增长，然后一段平稳期，最后患病人数逐渐减少,同时病人刚开始死亡率会很高，并逐渐降低。 设：目前成都的总人数为S，患病人数比例为X(t)，健康人数的比例为Y(t)，这个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为μ*Y(t)，每天治愈的病人占病人总数的比例为α，每天死亡人数占病人总数的比例为β。 则：

（1）根据病人增长情况列出式子

S*S*α*X-S*β*X(1)

（2）根据健康人、病人、死人总人数之和不变列出式子：

(2)

（3）根据健康人变化速率列出式子：

S*α*X - (3)

化简式子为：

α*X-β*X (4)

(5)

设0.4 （平均感染率）, α= 0.1β=0.2（初始治愈率为0.1,初始死亡率0.06）x(t)代表患病人数占总人数比例变化，y(t)代表健康人数占总人数比例变化，并且由于出现死亡，所以x(t)和y(t)和有时候不等于1；

t x(t) y(t) t x(t) y(t) t x(t) y(t) 0 1 2 0.9185 3 0.9004 4 0.8809 5 0.8601 6 0.8392 7 0.8177 8 0.7974 0.0500 0.0616 0.0744 0.0880 0.1025 0.1175 0.1320 0.1466 0.1594 0.9500 0.9351 9 0.7772 10 15 20 25 30 35 40 45 0.7594 0.6969 0.6803 0.6902 0.7108 0.7312 0.7492 0.7627 0.1716 0.1812 0.2007 0.1788 0.1400 0.0999 0.0671 0.0420 0.0246

50 55 60 65 70 75 80 85 90 0.0135 0.0068 0.0032 0.0013 0.0005 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.7719 0.7777 0.7809 0.7826 0.7834 0.7837 0.7839 0.9999 0.7839

数据曲线为：X(t)病人占总人数的比例变化函数，以及Y(t)健康人占总人数的比例变化函数。

X(t)、Y(t)图形

相

轨

线

：

X(t)-Y(t)的变化曲线

相轨曲线分析，从点（0.95，0.05）开始，刚开始的患病比例只有总人口的5%，随着时间的流逝，患病人数的比例呈正比上升，当然健康人数也呈正比下降，最后达到患病人数的一个峰值（0.7，0.2），其中二者之和为90%，说明有10%的人死于该禽流感在30天内，随后由于找到治愈措施或者隔离得当，患病人数的下降速率越来越快，同时健康人数的上升速度也会越来越快，在患病人数的峰值数目降低到0过程中，一共60天死亡人数仅仅增加了0.1161。说明，在禽流感传染期间的隔离和及早找到治愈的方法是很重要的。可以看到在传染病的前期，隔离治疗很重要，可以在短时间内控制疾病的传播，并且治愈疾病的疫苗越早出来，对形势的控制越好。并且前期如果不能及时控制患病的人数，会使得患者人数在短时间内急剧增加，该病的致

死率很高，当完全治愈后发现，最后和为0.7839，说明有0.2161的人数死亡，控制传播源头很重要。

实验四

问题分析：

对于优秀大学生的评选，采用层次分析法，以三层模型为主，第一层学生，第二层为加权平均成绩、集体观念、群众基础、技能证书、交流沟通能力，第三层为班主任评价和班级评价 如下图所示 加权平均集体意识 群众基础 技能证书 交流能力 大学生 班主任评分 班级评分

注（最终得分超过80分才能评选为优秀大学生） 成对比较矩阵为：

A=

第三层对第二层每一个准则的成对比较阵：

C1= C2= C3= C4= C5=

第二层对第一层的权重为：

N WN 1 0.6 2 0.1 3 0.1 4 0.1 5 0.1 第三层对第二层的权重为:

N 班主任W1N 班级W2N 1 0.33 0.67 2 0.5 0.5 3 0.25 0.75 4 0.2 0.8 5 0.33 0.67 假如一个学生的打分如下表：

N 班主任评分 班级评分 1 X1 Y1 2 X2 Y2 3 X3 Y3 4 X4 Y4 5 X5 Y5 W（总）= W1*(X1*W11+Y1*W21)+W2*(X2*W12+Y2*W22)+…+W5*(X5*W15+Y5*W25)

假如有一个学生的真实打分情况如下：

N 班主任评分 班级评分 1 75 80 2 90 85 3 95 90 4 88 80 5 80 75 则其最终得分为：

W = 0.6*(75*0.33+80*0.67)+0.1*(90*0.5+85*0.5)

+0.1*(95*0.25+90*0.75)+0.1*(88*0.2+80*0.8)+0.1*(80*0.33+75*0.67) = 80.71

这位同学最终得分达标，有资格成为优秀大学生

实验五

1. 已知测得14头猪的体长、胸围、体重如下表所示：

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 体长 41 45 51 52 59 62 69 72 78 80 90 92 98 103 胸围 49 58 62 71 62 74 71 74 79 84 85 94 91 95 体重 28 39 41 44 43 50 51 57 63 66 70 76 80 84 请设计一种方法，只需要测量猪的体长、胸围就能估算出猪的体重，并利用你所设计的方法估算体长96，胸围88的猪的体重。 首先令体长为X1,胸围为X2，体重为Y。

① 做出y对X1的散点图

② 画出Y对X2的散点图

由以上散点图可知，Y与X1是线性模型，同样Y与X2也是线性模型，所以使用matlab的回归分析，构建模型 Y = β1X1+β2X2+β3

实验代码：

x=[41 49;45 58;51 62;52 71;59 62;62 74;69 71;72 74;78 79;80 84;90

85;92 94;98 91;103 95];

y=[28 39 41 44 43 50 51 57 63 66 70 76 80 84]'; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x,0.05); b

0.7715 0.0288

Y = 0.7715*X1+0.0288*X2; 当一只猪的体长96，胸围为88

那么它的体重为: Y = 96*0.7715+88*0.0288 = 76.5984

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