【人教版】2024届九年级上册期中数学试卷及答案解析

九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每一道小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）

1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（ ） A．0

2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（ ） A．（x+4）2=13

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）

B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19

B．1

C．2

D．2或﹣2

A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC

4．下列一元二次方程有实数根的是（ ） A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0

C．x2﹣2x+2=0

D．x2+2=0

5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）

A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2

6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋

D．k＜1

子，则n等于（ ）

A．20

B．21 C．15 D．16

7．若点（﹣1，4） ，（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（ ）A．直线x=﹣

8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内

上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（ ） B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2

A．4

B．5 C．6 D．2

9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC=6，则CD的长为（ ）

A．7

B．7 C．8 D．8

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）

A．﹣1＜a＜0

B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是 ．

12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为 ．

13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是 ．

14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC= ．

15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于 ．

16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．

其中正确的结论是 ．（只填写正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．解方程： （1）x2+2x﹣15=0 （2）3x（x﹣2）=

（2﹣x）

18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．

19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．

20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？

21．如图，在⊙O中，

=

，∠ACB=60°．

（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）若D是

的中点，求证：四边形OADB是菱形．

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．

23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．

24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每一道小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）

1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（ ） A．0

B．1

C．2

D．2或﹣2

【考点】一元二次方程的解．

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．

【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0， 解得：m=±2， 故选D．

【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．

2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（ ） A．（x+4）2=13

B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题．

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．

【解答】解：x2﹣8x=﹣3， x2﹣8x+16=13， （x﹣4）2=13． 故选C．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）

A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC 【考点】垂径定理．

【分析】先根据垂径定理得CM=DM，

，

，得出BC=BD，再根据圆周角定理

得到∠ACD=∠ADC，而OM与BM的关系不能判断． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CM=DM，

，

，

∴BC=BD，∠ACD=∠ADC． 故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键．

4．下列一元二次方程有实数根的是（ ） A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 【考点】根的判别式．

【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根判断即可． 【解答】解：A、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＞0， ∴原方程有两个不相等实数根； B、∵△=22﹣4×1×2＜0， ∴原方程无实数根；

C、∵△=（﹣2）2﹣4×1×2＜0， ∴原方程无实数根； D、∵△=﹣4×1×2＜0， ∴原方程无实数根； 故选A．

【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．

C．x2﹣2x+2=0

D．x2+2=0

5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）

A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2

D．k＜1

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=4+4（k﹣2）＞0， 解得k＞﹣1， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2，

∴k的取值范围k＞﹣1且k≠2， 故选C．

【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．

6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋

子，则n等于（ ）

A．20 B．21 C．15 D．16

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】由题意可知：排列组成的图形都是三角形，第一个图形中有1个小棋子，第二个图形中有1+2=3个小棋子，第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…由此得出第n个图形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），由此联立方程求得n的数值即可． 【解答】解：∵第一个图形中有1个小棋子， 第二个图形中有1+2=3个小棋子， 第三个图形中有1+2+3=6个小棋子， …

∴第n个图形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1）， ∴n（n+1）=210， 解得：n=20． 故选：A．

【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出点的排列规律，利用规律解决问题．

7．若点（﹣1，4） ，（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（ ）A．直线x=﹣

B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】因为两点的纵坐标都为4，所以可判此两点是一对对称点，利用公式x=解即可．

【解答】解：∵两点的纵坐标都为4， ∴此两点是一对对称点，

求

∴对称轴x=故选B．

==1．

【点评】本题考查了如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式或用公式x=

8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内

上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（ ）

求解．

A．4 B．5 C．6 D．2

【考点】圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．

【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果． 【解答】解：连接OC，如图所示： ∵∠AOB=90°， ∴AB为⊙C的直径， ∵∠BMO=120°，

∴∠BCO=120°，∠BAO=60°， ∵AC=OC，∠BAO=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴⊙C的半径=OA=4．

故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆内接四边形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC=6，则CD的长为（ ）

A．7 B．7 C．8 D．8

【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD．

【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB．

在Rt△AFD和Rt△BGD中，

，

∴△AFD≌△BGD（HL）， ∴AF=BG．

在△CDF和△CDG中，

，

∴△CDF≌△CDG（AAS）， ∴CF=CG． ∵AC=6，AB=10， ∴BC=∴AF=1， ∴CF=7，

∵△CDF是等腰直角三角形， ∴CD=7故选B．

．

=8，

【点评】本题主要考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．关键是正确作出辅助线．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据开口判断a的符号，根据y轴的交点判断c的符号，根据对称轴b用a表示出的代数式，进而根据当x=2时，得出4a+2b+c=0，用a表示c＞﹣1得出答案即可． 【解答】解：抛物线开口向上，a＞0 图象过点（2，4），4a+2b+c=4 则c=4﹣4a﹣2b， 对称轴x=﹣

=﹣1，b=2a，

图象与y轴的交点﹣1＜c＜0， 因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0， 实数a的取值范围是＜a＜． 故选：D．

【点评】此题考查二次函数图象与系数的关系，对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是 （﹣3，1） ．

【考点】二次函数的性质．

【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：∵抛物线y=﹣（x+3）2+1， ∴顶点坐标是（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）．

【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，是解决问题的关键．

12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为 ﹣1或4 ． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题．

【分析】把a2﹣3ab﹣4b2=0看作关于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=﹣b，然后利用分式的性质计算的值． 【解答】解：（a﹣4b）（a+b）=0， a﹣4b=0或a+b=0， 所以a=4b或a=﹣b， 当a=4b时， =4； 当a=﹣b时， =﹣1， 所以的值为﹣1或4． 故答案为﹣1或4．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到

两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是 x1=﹣2，x2=3 ． 【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】把后面一个方程中的x﹣1看作整体，相当于前面一个方程中的x，从而可得x﹣1=﹣3或x﹣1=2，再求解即可．

2

+c=0的解是x1=﹣3，x2=2m，c均为常数，a≠0） ∵关于x的方程a【解答】解：（x+m）（a，，

∴方程a（x+m﹣1）2+c=0变形为a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2，解得x=﹣2或x=3．

故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解为x1=﹣2，x2=3． 故答案是：x1=﹣2，x2=3．

【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．

14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC= 100° ．

【考点】圆周角定理．

【分析】由AD=AB，∠BDC=25°，可求得∠ABD的度数，然后由三角形外角的性质，求得∠BAC的度数，又由圆周角定理，求得答案．

【解答】解：∵AD=AB，∠BDC=25°， ∴∠ABD=∠BDC=25°， ∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50°， ∴∠BOC=2∠BAC=100°． 故答案为：100°．

【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于 8

或4

．

【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理． 【专题】分类讨论．

【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．

【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D， ∵AB=AC，O为外心， ∴AD⊥BC， 在Rt△BOD中， ∵OB=10，OD=6， ∴BD=

=

=8．

=

=8

（cm）；

在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=

如图2，当△ABC是钝角或直角三角形时，连接AO交BC于点D， 在Rt△BOD中， ∵OB=10，OD=6， ∴BD=

∴AD=10﹣6=4，

在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=故答案为：8

或4

．

=

=4

（cm）．

=

=8，

【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．

16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．

其中正确的结论是 ①、④ ．（只填写正确结论的序号）

【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】推理填空题；数形结合．

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；

（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；

（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3）， ∴解得

，

，

所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，

∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则解得

， ，

所以，直线AC的解析式为y=x﹣1， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=2时，y=2﹣1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，

联立，

消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0， 解得：m=﹣即m=﹣

，

时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，

=﹣，

此时x=，y=﹣

∴点E的坐标为（，﹣），

设过点E的直线与x轴交点为F，则F（∴AF=

﹣1=，

，0），

∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°，

∴点F到AC的距离为AF?sin45°=×又∵AC=

∴△ACE的最大面积=×3

=3×， =

，此时E点坐标为（，﹣）． =

，

【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．

2016年3月10日

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