数列经典综合题
等差数列与等比数列综合题
例1 等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；
（2）求a1－a3＝3，求sn 解：（Ⅰ）依题意有
a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q2)
2 由于 a1?0，故2q?q?0
1 212（?）?3 故a1?4 （Ⅱ）由已知可得a1?a12
1n（41?（?））81n2 从而Sn? ?（1?（?））1321?（?）2 又q?0，从而q?－例2 在正项数列?an?中,令Sn??i?1n1.
ai?ai?1（Ⅰ）若?an?是首项为25,公差为2的等差数列,求S100； （Ⅱ）若Sn?np（p为正常数）对正整数n恒成立,求证?an?为等差数列；
a1?an?11?ai?ai?1（Ⅰ）解：由题意得,（Ⅱ）证:令n?1,所以Sn?a201?a1ai?1?ai?5 ,所以S100=22p1,则p=1 ?a1?a2a1?a2?i?1nnp1=（1）,
a1?an?1ai?ai?1(n?1)p1=（2）,
a1?an?2ai?ai?1i?1(n?1)n1（2）—（1）,得—=, a1?an?2an?1?an?2a1?an?1Sn?1??化简得(n?1)an?1?nan?2?a1(n?1)（3）
n?1(n?2)an?2?(n?1)an?3?a1(n?1)（4）,（4）—（3）得an?1?an?3?2an?2(n?1)
在（3）中令n?1,得a1?a3?2a2,从而?an?为等差数列
例3 已知{an}是公比为q的等比数列，且am,am?2,am?1成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm,Sm?2,Sm?1是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am
∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1
在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，
∴2q2 = q +1，解得q = 1或?1. 2 （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1
∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1
11?(?)m?212112若q =?，Sm + 1 =???(?)m
123621?(?)2111?(?)m1?(?)m?142114112?2Sm + Sm+1 = ??[(?)m?(?)m?1]=?(?)m
1133223321?(?)1?(?)22∴2 Sm+2 = S m + Sm+1
故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列； 当q =?1时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 2例4 已知数列｛an｝的首项a1?a（a是常数），an?2an?1?n2?4n?2能，说明理由；
（Ⅱ）设b1?b，bn?an?n2（n?N,n?2），Sn为数列?bn?的前n项和，且
解：（Ⅰ）∵a1（n?N,n?2）．（Ⅰ）?an?是否可能是等差数列.若可能，求出?an?的通项公式；若不可
?Sn?是等比数列，求实数a、b满足的条件．
?a,依an?2an?1?n2?4n?2(n?2,3,?)
∴a2?2a?4?8?2?2a?2 a3?2a2?9?12?2?4a?5
a4?2a3?2?8a?8 a2?a1?2a?2?a?a?2,a3?a2?2a?3,a4?a3?4a?3 若{an}是等差数列，则a2 ∴{an}不可能是等差数列 (Ⅱ)∵bn≥2)
∴b2?a1?a3?a2,得a?1 但由a3?a2?a4?a3，得a=0,矛盾.
?an?n2 ∴bn?1?an?1?(n?1)2?2an?(n?1)2?4(n?1)?2?(n?1)2?2an?2n2?2bn(n
?a2?4?2a?2
当a≠－1时, bn?0{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列
n?1∴S?b?(2a?2)(2?1)?b?(2a?2)(2n?1?1)
n12?1n≥2时,Sn(a?1)2n?b?2a?2b?2a?2 ??2?n?1n?1Sn?1(a?1)2?b?2a?2(a?1)2?b?2a?2∴{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数 ∵a≠-1时, ∴b-2a-2=0 当a=-1时，
Sn?1b2?0,由bn?2bn?1（n≥3）,得bn?0（n≥2） ∴Sn?b1?b2????bn?b ∵{Sn}是等比数列 ∴b≠0
综上,
a??1{Sn}是等比数列,实数a、b所满足的条件为???a??1 或??b?2a?2?b?0例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2 ∴a1=1
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an ∵an≠0 ∴
an?11?(n∈N*) an211
的等比数列.an=()n?1(n∈N*) 22
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…) ∴bn+1-bn=(得b2-b1=1
1n-1
) 21 21b4-b3=()2
2b3-b2=…… bn-bn-1=(
1n-2
)(n=2，3，…) 211?()n?112??2?2()n?1
121?2将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+
112131?()?()???()n?222221n-1
)(n=1，2，3，…) 21(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1
211111∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ①
222221n?11n1111而 Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)()?n()] ②
22222211011121n?11n①-②得：Tn?2[()?()?()???()]?2n()
222222又∵b1=1，∴bn=3-2(
11?()n2?4n(1)n?8?8?4n(1)n Tn=41222n1?21=8-(8+4n)n(n=1，2，3，…)
2例6 已知数列{an}中，a0?2,a1?3,a2?6，且对n≥3时
有an?(n?4)an?1?4nan?2?(4n?8)an?3．
（Ⅰ）设数列{bn}满足bn?an?nan?1,n?N?，证明数列{bn?1?2bn}为等比数列，并求数
列{bn}的通项公式； （Ⅱ）记n?(n?1)??2?1?n!，求数列{nan}的前n项和Sn
（Ⅰ） 证明：由条件，得an?nan?1?4[an?1?(n?1)an?2]?4[an?2?(n?2)an?3]，
则an?1?(n?1)an?4[an?nan?1]?4[an?1?(n?1)an?2]． 即
bn?1?4bn?4bn?1.又b1?1,b2?0，所以
bn?1?2bn?2(bn?2bn?1)，
b2?2b1??2?0．
所以{bn?1?2bn}是首项为?2，公比为2的等比数列． b2?2b1??2，所以bn?1?2bn?2n?1(b2?2b1)??2n．
bn?1bn1． ???2n?12n211?b?于是?n为以首项，－为公差的等差数列． n?222??两边同除以2n?1，可得
所以
bnb11??(n?1),得bn?2n(1?n)． n2222（Ⅱ）an?2n?nan?1?n2n?1?n(an?1?2n?1)，令cn?an?2n，则cn?ncn?1．
?cn?n(n?1)?而c1?1，?2?1?c1?n(n?1)??2?1．
∴an?n(n?1)?nan?n?n?(n?1)??2?1?2n．
?2?1?n2n?(n?1)!?n!?n?2n，
?(n?1)!?n!?(1?2?2?22??n?2n)．
∴Sn?(2!?1!)?(3!?2!)?令Tn＝1?2?2?22?则2Tn＝1?22?2?23??n?2n， ①
② ?(n?1)?2n?n?2n?1．
?2n?n?2n?1，Tn＝(n?1)2n?1?2．
①－②，得?Tn＝2?22?∴Sn?(n?1)!?(n?1)2n?1?1．
例7 设数列?an?,?bn?满足a1?1,b1?0且
?an?1?2an?3bn,??bn?1?an?2bn,n?1,2,3,
（Ⅰ）求?的值，使得数列?an??bn?为等比数列； （Ⅱ）求数列?an?和?bn?的通项公式；
?，求极限lim（Ⅲ）令数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和SnSn的值．
n??S?n（Ⅰ）令cn?an??bn，其中?为常数，若?cn?为等比数列，则存在q?0使得
cn?1?an?1??bn?1?q(an??bn)．
又an?1??bn?1?2an?3bn??(an?2bn)?(2??)an?(3?2?)bn． 所以q(an??bn)?(2??)an?(3?2?)bn． 由此得(2???q)an?(3?2???q)bn?0,n?1,2,3,
由a1?1,b1?0及已知递推式可求得a2?2,b2?1，把它们代入上式后得方程组
?2???q?0, 消去q解得???3． ?3?2???q?0?下面验证当??3时，数列an?3bn为等比数列．
??an?1?3bn?1?(2?3)an?(3?23)bn?(2?3)(an?3bn) (n?1,2,3,， a1?3b1?1?0，从而an?3bn是公比为2?3的等比数列．
同理可知an?3bn是公比为2?3的等比数列，于是???3为所求． （Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得an?3bn?(2?3)n?1????，an?3bn?(2?3)n?1，解得
1an??2?3?2???n?1?2?3??n?1?，b?3?2?3n???6???n?1?2?3??n?1?．
??
（Ⅲ）令数列?dn?的通项公式为dn?(2?3)n?1，它是公比为p?2?3的等比数列，令
其前n项和为Pn；
令数列?en?的通项公式为en?(2?3)n?1，它是公比为p??2?3的等比数列，令
?其前n项和为Pn．
由第（Ⅱ）问得Sn?13??(Pn?Pn?)，Sn(Pn?Pn?)．
26Pn?SP?Pn?Pn?3? n?3?n．
Pn??SnPn?Pn?1?Pn1? 由于数列?en?的公比0?2?3?1，则limPn??n??1．
1?(2?3)11()n?()n?111?p111pp????2?3lim?0， ，由于，则n??1nPn1?pnpP2?3n()?1p于是limSPn??0，所以limn?3 n??S?n??Pnn2例8 数列?an?的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n?N*，总有an,Sn,an成
等差数列.
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
(Ⅱ)设数列?bn?的前n项和为Tn ，且bn?lnnxan2，求证:对任意实数x??1,e?（e是常数，
e＝2.71828???）和任意正整数n，总有Tn? 2；
(Ⅲ) 正数数列?cn?中，an?1??cn?*n?1,(n?N*).求数列?cn?中的最大项.
2（Ⅰ）解：由已知：对于n?N，总有2Sn?an?an ①成立
∴2Sn?1?an?1?an?1 （n ≥ 2）② ①--②得2an?an?an?an?1?an?1 ∴an?an?1??an?an?1??an?an?1?
∵an,an?1均为正数，∴an?an?1?1 （n ≥ 2） ∴数列?an?是公差为1的等差数列 又n=1时，2S1?a1?a12， 解得a1=1 ∴an?n.(n?N)
（Ⅱ）证明：∵对任意实数x??1,e?和任意正整数n，总有bn?*222lnnxan2≤
1. 2n∴Tn?111111?????1?????
?n?1?n1?22?31222n2111111???????2??2 223n?1nn2?1?1?(Ⅲ)解：由已知 a2?c1?2?c1?32，
4
a3?c2?3?c2?33,a4?c3?4?c3?44?2,a5?c4?5?c4?555
易得 c1?c2,c2?c3?c4?... 猜想 n≥2 时，?cn?是递减数列.
1?x?lnxlnx1?lnx令f?x?? ,则f??x??x?22xxx∵当x?3时，lnx?1,则1?lnx?0，即f??x??0. ∴在?3,???内f?x?为单调递减函数. 由an?1?cnn?1知lncn?ln?n?1?.
n?1∴n≥2 时, ?lncn?是递减数列.即?cn?是递减数列.
又c1?c2 , ∴数列?cn?中的最大项为c2?33.
例9 设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足
a22?a32?a42?a52,S7?7。
（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得解：（1）设公差为d，则a2因为d解得a12amam?1为数列?an?中的项。 am?2222，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，?a5?a4?a3?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?7?6d?7，2??5，
d?2,
(2)
（方法一）则
amam?1(2m?7)(2m?5)=,设2m?3?t，
2m?3am?2amam?1(t?4)(t?2)8?t??6, 所以t为8的约数 =
ttam?2
（方法二）因为
amam?1(am?2?4)(am?2?2)8为数列?an?中的项， ??am?2?6?am?2am?2am?2故
8 am+2为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2
经检验，符合题意的正整数只有m?2。 例10 已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。
（1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,
**an?1?bn,并说明理由； an（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的
和是数列?bn?中的一项，请证明。
解：（1）由am?am?1?ak，得6m?5?3k?1， 整理后，可得k?2m?4，3m、k?N?，?k?2m为整数，
?不存在m、k?N?，使等式成立。
（2）若
an?1a1?nd?bn，即?b1qn?1， （*） aa1?(n?1)d（ⅰ）若d?0,则1?b1qn?1?bn。
当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。 （ⅱ）若d?0，（*）式等号左边取极限得lima1?nd?1，（*）式等号右边的极限只
n??a?(n?1)d1有当q?1时，才能等于1。此时等号左边是常数，?d?0，矛盾。
综上所述，只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。 （3）an?4n?1,bn?3n,n?N*
设am?1?am?2????am?p?bk?3,p、k?N,m?N.
k*4(m?1)?1?4(m?p)?1p?3k，
23k?4m?2p?3?,?p、k?N*,?p?35,s?N.
p取k?3s?2,4m?32s?2?2?3s?3?(4?1)2s?2?2?(4?1)s?3?0,
2s+2
由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）=4M1+1,
2?(4?1)s?8M2?(?1)s2,
?4m?4(M1?2M2)?(?1)s?12,?存在整数m满足要求.
故当且仅当p=3,s?N时，命题成立.
s
??
二、点列综合题
例11 设曲线c:y?x(x?0)上的点为P0(x0,y0),过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，
2过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于P1(x1,y1)，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于P2(x2,y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…Pn，Qn+1…，已知x0?2，设Pn(xn,yn)(n?N)
（1）求出过点P0的切线方程； （2）设xn?f(n),求f(n)的表达式； （3）设Sn?x0?x1???xn,求
解：（1） ?k0?2x0?4∴过点P0的切线段为y?4?4(x?2)即4x?y?4?0
（2）?k2n?2xn ∴过点Pn的切线方程为y?xn?2xn(x?xn)
将Q2n?1(xn?1,0)的坐标代入方程得：?xn?2xn(xn?1?xn)
?xxnn?1?2?xn?11x?2 n 故数列{xn}是首项为x0?2,公比为1的等比数列 2 ?xn?f(n)?2?(12)n即f(n)?(12)n?1
2(1?1 （3）
?S2n?1)n??S?4(1?1)
1?1n2n?12 ?limn??Sn?limn??4(1?12n?1)?4 例12 已知点Pan?n，bn?满足：abnn?1?an·bn?1，bn?1?1?a2，nN?，nP?12?0??3，3?? （1）求过点P0，P1的直线l的方程；
（2）判断点Pn?n?2?与直线l的位置关系，并证明你的结论；
（3）求点Pn的极限位置。
解：（1）由a10?，b230?3，得：
且已知
21313?3， b?a??? 1124344?1?1????3? 显然直线l的方程为x?y? 1 （2）由ab1?，1?，得：
143431414?4， b?a??? 2225455?1?1????4? ∴点Pl，猜想点Pn?n?2?在直线l上，以下用数学归纳法证明： 2? 当n＝2时，点Pl 2? 假设当n时，点P l，即ab1?kk(?2)k?k?k? 当n时， ?k?1 a ?b?ab·?bk?1k?1kk?1k?1??1?ak?bk?1 ??1?ak?bkbk? 21?ak1?ak?1 ∴点Pl k?1??l?n?2 综上，点P ?n?ab·，b?n2，ab??1 （3）由a，得： n?1nn?1n?1nnb1?anb1?aannna?a·?a·?a0??n?1nnn?221?a1?a1?annn
11???1aan?1n ∴数列??1?1?是以?3为首项，公差为1的等差数列
a0?an??11?3?n，an?ann?31n?2?n?3n?3 ?lima?lim1?0
nn??n??n?321?n?2n?1limbn?lim?limn??n??n?3n??31?nbn?1?an?1? ? P???P01，n 即点Pn的极限位置为点P（0，1） 例13 如图，P1(x1,y1),P2(x2,y2),??,Pn(xn,yn),(0?y1?y2??yn)是曲线
点Ai(ai,0)(i?1,2,3,C:y2?3x(y?0)上的n个点，
是正三角形(A0是坐标原点) .(Ⅰ) 写出a1,a2,a3；
?Ai?1AiPi,n)在x轴的正半轴上，
(Ⅱ)求出点An(an,0)(n?N*)的横坐标an关于n的表达式； (Ⅲ)设bn?式t2?2mt?111???an?1an?2an?3?1，若对任意正整数n，当m???1,1?时，不等a2n1?bn恒成立，求实数t的取值范围. 6. 解：(Ⅰ) a1?2,a2?6,a3?12. (Ⅱ)依题意An(an,0),An?1(an?1,0)，则
a?an?a?anxn?n?1，yn?3?n?122?在正三角形PnAn?1An中，有
??… 3分 ?y P3 P2 P1 A0 yn?33|An?1An|?(an?an?1) . 22O A1 A2 A3 x 3?a?an??3?n?1?(an?an?1). ?22???an?an?1?2(an?1?an)，
?an2?2an?1an?an?12?2(an?an?1)(n?2,n?N*) ， ①
同理可得an?12?2an?1an?an2?2(an?1?an)①-②并变形得
(n?N*) . ②
(an?1?an?1)(an?1?an?1?2an?2)?0(n?2,n?N*) an?1?an?1，
?an?1?an?1?2an?2?0 ，
?(an?1?an)?(an?an?1)?2(n?2,n?N*) .
∴数列?an?1?an?是以a2?a1?4为首项，公差为2的等差数列.
?an?1?an?2(n?1),(n?N*) ， …………………………………… 7分
?an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)??2(1?2?3??n)?n2?n.
?(an?an?1)，
?an?n(n?1)(n?N*).
(Ⅲ)解法1 ：∵bn?111???an?1an?2an?31?1an?4???1a2n?2?1(n?N*)， a2n∴bn?1?1an?2?1an?3?(n?N*).
?bn?1?bn?1a2n?2a2n?11 an?1?111??
(2n?1)(2n?2)(2n?2)(2n?3)(n?1)(n?2)?2(2n2?2n?1). ?(2n?1)(2n?2)(2n?3)(n?2)∴当n?N*时，上式恒为负值， ∴当n?N*时，bn?1?bn， ∴数列?bn?是递减数列.
?bn的最大值为b1?11?. a26若对任意正整数n，当m???1,1?时，不等式t2?2mt?1?bn恒成立，则不等式6t2?2mt?11?在m???1,1?时恒成立，即不等式t2?2mt?0在m???1,1?时恒成立. 66 设f(m)?t2?2mt，则f(1)?0且f(?1)?0，
2??t?2t?0∴?
2??t?2t?0解之，得 t??2或t?2，
即t的取值范围是(??,?2)?(2,??).
??12例14 △ABC中，|AB|=|AC|=1，AB·AC?，P1为AB边上的一点，BP≠AB，123从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂
足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4……
（1）令BPn为xn，寻求BPn与BP之间的关系。 xn?1（即xn与n?1） （2）点列P是否一定趋向于某一个定点，PPP，，……P1234nP0？说明理由；
（3）若|AB|?1，|BP|?，则是否存在正整数m，使点P0与1Pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。
13??1解：（1）由|AB|=|AC|=1，A B·AC?，∴∠BAC?60°2 从而△ABC为边长为1的正三角形
则B，于是B Q?BP·cos60°?xP?x，则BPx?nnnnnn?1n?112Q?xn ∴Cn?111221111R?1?(1?x)??x A nnn2224111P?AR·°cos60?(?x) 又A n?1nn22411131P?1?(?x)??x B n?1nn22448RC?Q·°cos60?(1?x) 同样 C nnn12 即xn?1??xn
31482123832221 ∴{的等比数列 x?}，当x≠时，是以x?为首项，公比为?n113338221n?1 ∴x ??(x?)(?)n13382 当n ???时，x?n32 ∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP0?
32211m?11m?1 （3）P P??|x||?x?|()?()0mm1338381000m?1m?11 由| PP|?0.001得()?0.003，∴8?0m83000m?11 当m ?4时，8?3 （2）由（1）可得：x ?(xn?1??n?)∴m?4的最小值为4 ，m
例15 已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为
kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．
（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （2）证明：x1?x3?x5??x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn22解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x?2nx?y?0得
222222(1?kn)x2?(2kn?2n)x?kn?0，则??(2kn?2n)2?4(1?kn)kn?0，∴
kn?n2n?1（?n2n?1舍去）
2knnn2n?1n2x?y?k(x?1)?，即，∴ x??nnnn2n?1n?11?kn(n?1)22n
n1?xnn?1??（2）证明：∵
n1?xn1?n?11?1 2n?1x1?x3?x5?????x2n?1?132n?1132n?11 ??????????????242n352n?12n?1∴x1?x3?x5?????x2n?1?1?xn
1?xn由于
xn?yn1?xn1，可令函数f(x)?x?2sinx，则f'(x)?1?2cosx，?2n?11?xn2??'，给定区间(0,)，则有f(x)?0，则函数f(x)在(0,)上244'令f(x)?0，得cosx?单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x?2sinx在(0,)恒成立，又
4?0?11???，
2n?134则有
1?xnx11，即?2sin?2sinn. 2n?12n?11?xnyn例16 数轴上有一列点P1，P2，P3，…，Pn，…，已知当n?2时，点Pn是把线段Pn – 1 Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，Pn Pn + 1的长度分别为a1，a2，a3，…，an，其中a1 = 1．
（1）写出a2，a3和an（n?2，n?N*）的表达式； （2）证明a1 + a2 + a3 +…+an < 3（n?N*）； （3）设点Mn( n，an)（n > 2，n?N*），在这些点中是否存在两个点同时在函数
ky?(k?0)的图像上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
(x?1)2.解：(1) 由已知Pn?1Pn?(n?1)PnPn?1，
令n = 2，P1P2 = P2P3，所以a2 = 1，
1令n = 3，P2P3 = 2P3P4，所以a3?，
2a1同理，n?．
an?1n?1所以an?111an?1?an?2?n?1n?1n?2?11n?1n?2111?(n?2) 2(n?1)!(2) 因为
11?(n?1)!1?2?3?4??an?1??(n?1)?1222?2?12n?2(n?2)
?12n?2所以a1?a2?a3?11??1!2!111?1?1??2?(n?1)!22
11?()n?112?1??3?()n?2?3(n?2)．
121?2而n = 1时，易知a1 = 1 < 3成立，所以a1?a2?a3??an?3(n?N*)
(3) 假设有两个点A（p，ap），B（q，aq）(p?q，p、q?N*，且p?2，q?2)，都在函数y?k 2(x?1)kk(p?1)2(q?1)2，aq?即ap?．所以?k，?k．
(p?1)2(q?1)2(p?1)!(q?1)!(p?1)2(q?1)2消去k得，……① ?(p?1)!(q?1)!n2以下考查数列{bn}，bn?的增减情况，
n!n2(n?1)2n?(n?1)2n2?3n?1bn?bn?1?????，
n!(n?1)!(n?1)!(n?1)!当n > 2时，n2 – 3n + 1 > 0，所以对于函数{bn}有b2 > b3 > b4 > … > bn > …
所以①式不能成立，
k所以，不可能有两个点同时在函数y?图像上．
(x?1)2例17 在直角坐标系中，有一点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，…，Pn(an，bn)，…对每一个正整数n，点Pn在给定的函数y＝log3(2x)的图像上.而在递增数列{an}中，an与an+1是关于x的方程4x2－8nx＋4n2－1＝0（n∈N*）的两个根． （Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；
c1c2cnb
（Ⅱ）记cn＝3 n，n∈N*.证明＋2＋…＋n＜3； 222
11解：（Ⅰ）解方程4x2－8nx＋4n2－1＝0，得x1＝n－，x2＝n－， 22
111
∵{an}是递增数列，∴an＝n－，an+1＝n－，即an＝n－( n∈N*)， 222又因为Pn(an，bn)在函数y＝log3(2x)的图像上，所以bn＝log3(2n－1). b
（Ⅱ）因为cn＝3 n，n∈N*，所以cn＝2n－1
2n－1c1c2cn13
设Dn＝＋2＋…＋n，即Dn＝＋2＋…＋n， ① 2222222n－32n－1113
所以Dn＝2＋3＋…＋n＋n+1， ② 22222
111112n－1
由①－②得Dn＝＋＋2＋…＋n?1－n+1，则 222222
1
1－()n?1
22n－12n－1111
所以Dn＝1＋1＋＋2＋…n?2－n＝1＋－n 222122
1－22n－11
＝3－n?2－n＜3，
22
例18 已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数y?141图像x?12上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。 ⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列； ⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。
11解：（1）yn?4(n?N),∵yn+1-yn=4,∴{yn}为等差数列 n?121 （2）因为?AnBnAn?1与?An?1Bn?1An?2为等腰三角形.
?xn?xn?1?n??2所以?，两式相减得 xn?2?xn?2。
x?x?n?1n?2?n?1??2注：判断xn?2?xn?2得2分，证明得1分
∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差为2的等差数列， n?a?1 (当n为奇数) ∴x???n?n-a (当n为偶数)11?12?12 （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2yBn=2(n)?xn+1-xn=2(n) 44 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
111?n?12 ?2(1-a)=2(n) ?a=12(n为奇数，0＜a＜1) (*) 44 取n=1，得a=3，取n=3，得a=6，若n≥5，则(*)无解； 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
2111 ∴2a=2(n)?a=n(n为偶数，0＜a＜1) (*?)， ?12?1244取n=2，得a=12,若n≥4，则(*?)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为3、6、12.
2717三、数列与向量交汇的综合题
例19
?an?已知Sn为数列的前n项和，a=?Sn,1?, b=?1,2an?2?an?为等差数列； n??2????n?1?,a?b??（1）求证：?(2) 若bn?n?2011an,问是否存在n0, 对于任意k（k?N?），不等式bk?bn0成立.
n?1?解（1）?a?b
???Sn?2an?2n?1?0
?Sn?1?2an?1?2n?2?0 ?an?1?2an?2n?1 a?1an?n?n?1 n?122?a?为等差数列 ??nn??2?an??2?(n?1)??(n?1) 2n?bn??2011?n?2n（2）
令bn?1?bn?2010?n?2n?1??2011?n?2n
n?2009bn的最大值为b2010?b2009?n0?2009或2010例20 在直角坐标平面中，已知点P,2),P2(2,22),P3(3,23),?Pn(n,2n)，其中n是正整1(1数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，……，
An为An－1关于点Pn的对称点. （1）求向量A0A2的坐标；
（2）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标. （1）设An(xn,yn),?An与An?1关于点Pn(n,2n)对称
?xn?xn?1?2n?x1?2?x0?x2?4?x1?2?x0 ???,??n?1?y1?4?y0?y2?8?y1?4?y0?yn?yn?1?2故A0A2?(x2?x0,y2?y0)?(2,4)
?xn?xn?1?2n （2）???xn?1?2(n?1)?xn?2?xn?1?xn?1?xn?1?2
x?x?2(n?1)n?n?1同理可得：yn?1?yn?1?2n?1?An?1An?1?(xn?1?xn?1,yn?1?yn?1)?(2,2n?1) 故A0An?A0A2?A2A4???An?2An
n??22???2n?2?4? n2(1?4) ?(2,22)?(2,24)???(2,2n)??2?,?n,????1?4??3???2??，a2?3，前n项和为Sn，且Sn?1、Sn、Sn?1（n ≥2）例21 已知数列{an}的首项a1?1分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，AB?2an?1BC，设b1?1，an
(2) 当n为偶数时,
1131132n?1?2n??[?]?an?1an22n?1?12n?122n?12n?2n?2n?1?1?32?232?2311??(?)(n?2)22n?12n?2n?1?122n?12n22n?12nn?1nn?1n
1n1113111312???...??(1??2?...?n)??3?3n?3
a1a2an222221?1221?当n为奇数时,
21an?[2n?(?1)n]?0,?an?1?0,?0,又n?1为偶数
3an?1?由(1)知,
1111111??...????...???3 a1a2ana1a2anan?1（3）证明：f(n?1)?f(n)?f2(n)?0
?f(n?1)?f(n),?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?????f(1)?2?0
又
11111?2???
f(n?1)f(n)?f(n)f(n)[f(n)?1]f(n)f(n)?1111??
f(n)?1f(n)f(n?1)n???k?11111111?[?]?[?]?????[?]f(k)?1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n?1)1111????.f(1)f(n?1)f(1)2
?x?0?例45 设不等式组?y?0所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标
?y??nx?3n?和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；
（2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn； （3）记Tn?值范围.
解：（1）f(1)=3， f(2)=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个
f(n)f(n?1)，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取n2 ∴f(n)=3n
（2）由题意知:bn=3n·2n
Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n1+3n·2n
－
∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1
∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1 =3（2+22+…+2n）－3n·2n+1
2?2n?1?3n2n?1 =3·
1?2 =3(2n+1－2)－3nn+1 ∴－Sn=(3－3n)2n+1－6 Sn=6+(3n－3)2n+1
（3）Tn?f(n)f(n?1)3n(3n?3)? nn22(3n?3)(3n?6)n?1Tn?1n?22??3n(3n?3)Tn2n2nn?2?1 当n?1时, 2nn?2当n?2时,?12nn?2当n?3时,?12n ∴T1
27 227。 211xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn例46 (2009陕西卷理) 已知数列?xn}满足， x1＝???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤()证明（1）由x1?1265n?1。
112513及xn+1?得x2??x4?，x4? 21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111 ??1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3)=
x2k?x2k?2?0
(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 6当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?
1?xn?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?
1?xn?12?xn?1?xn?xn?xn?111 ??1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)2n-1?（）x2?x15222xn?xn?1?（）xn?1?xn?2?55
12n-1?（）65?例47 已知函数F?x?? 3x?2?1?,?x??. 2x?1?2?（I）求F??1??2??2008??F?...?F?????;
?2009??2009??2009?（II）已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 求证:a1a2a3...an?2n?1. 解:(?)因为F?x??F?1?x??3x?23?1?x??2??3 2x?12?1?x??1所以设S=F??1??2??2008??F?...?F?????;..........（1）
?2009??2009??2009??2008??2007??1??F?...?F?????……….(2)
200920092009??????
S=F?(1)+(2)得:
??1???2008??2008????2??2007???1??2S??F??F?F?F?...?F?F????????????????200920092009200920092009??????????????????
=3?2008?6024,
所以S=3012
(??)由an?1?F?an?两边同减去1,得
an?1?1?3an?2a?1 ?1?n2an?12an?1所以
1an?1?11?2an?12?an?1??11, ??2?an?1an?1an?1所以
?1?11?2,??1为首项的等差数列, ?是以2为公差以
an?1?1an?1a1?1?an?1??12n1? ?2??n?1??2?2n?1?an?1?2n?12n?1an?12所以
?????因为?2n?
所以
??2n??1??2n?1??2n?1?
22n2n?123452n2n?1???,?,...? 2n?12n12342n?12n所以a1a2a3...an??a1a2a3...an?2?22442n2n ???......?11332n?12n?1>
23452n2n?1???......??2n?1 12342n?12nk?例48 过点P（1，0）作曲线C:y?x(x?(0,??),k?N,k?1)的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，…。依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为?an?。
（1）求证数列?an?是等比数列，并求其通项公式；
（2）求证：an?1?n； k?1 （3）当k?2时,令bn?kn,求数列?bn?的前n项和Sn。 ank解：（1）对y?x求导数，得y?kxk?1,切点是Mn(an,an)的切线方程是 kk?1y?an?kan(x?an)
当n=1时，切线过点P（1，0），即0
?a1k?ka1k?1(1?a),得a1?k; k?1当n>1时，切线过点pn?1(an?1,0)，即0所以数列?an?是首项a1?kk?1?an?kan(an?1?an),得ank?. an?1k?1kk,公比为的等比数列, k?1k?1kn的通项公式为an?(),n?N? 所以数列?an?k?1 （2）应用二项公式定理，得
kn1n1121n012n)?(1?)?Cn?Cn?Cn()???Cn()k?1k?1k?1k?1k?1
n?1?.?????(8分)k?1an?(（3）当
n123n??.数列b的前项n项和S??????， nn222232n2n11123n同乘以,得Sn?2?3?4???n?1.
222222k?2时,an?2n,bn?两式相减，得
11(1?n)11121n2?n?1?1?n Sn??2?3???n?n?1?212222222n?12n2n?11?2n?2所以Sn?2? n2例49 设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记
bn?4?an(n?N*)。 1?an（I）求数列?bn?的通项公式；
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