湖北省武汉市2024届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)【解析版】

湖北省武汉市2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数z= A． 0

2．（5分）设全集U=R，集合M={x|y=lg（x﹣1）}，N={0＜x＜2}，则（CUM）∩N=（） A． {x|﹣2≤x≤1} B． {x|0＜x≤1} C． {x|0＜x＜2} D．{x|x＜R}

3．（5分）函数f（x）=|sincos|的最小正周期是（） A．

B．

C． π

D．2π

2

的实部与虚部之和为（） B．

C． 1

D．2

4．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）

A． 62

B． 63

2

C． 64 D．65

5．（5分）若命题P：?x0∈R，x0+2x0+3≤0，则命题P的否定￢P是（）

22

A． ?x∈R，x+2x+3＞0 B． ?x∈R，x+2x+3≥0

22

C． ?x∈R，x+2x+3＜0 D． ?x∈R，x+2x+3≤0 6．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且

的值是（）

A． 3

B．

C．

D．1

7．（5分）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）

A．

B． C． D．

8．（5分）已知某产品连续4个月的广告费xi（千元）与销售额yi（万元）（i=1，2，3，4）满足

，

，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直

线方程为=0.8x+a，那么广告费用为6千元时，可预测的销售额为（）

A． 3.5万元 B． 4.7万元 C． 4.9万元 D．6.5万元 9．（5分）已知直线kx﹣y=k﹣1与ky﹣x=2k的交点在第二象限，则实数k的取值范围是（） A． （0，）

10．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线y=4x的两条切线l1、l2，设l1、l2与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为（）

2222 A． x+y﹣3x﹣4=0 B． x+y﹣2x﹣3y+1=0

2222 C． x+y+x﹣3y﹣2=0 D． x+y﹣3x﹣2y+1=0

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为．

2

B． （，1） C． （0，1） D．[1}

12．（5分）若x、y满足，则z=x﹣y的最大值为．

13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，则输出的S等于

14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

15．（5分）如图，正四棱锥O﹣ABCD的棱长均为1，点A、B、C、D在求O的表面上，延长CO交球面于点S，则四面体A﹣SOB的体积为．

16．（5分）在各项均为正项的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，

=

[来源:gkstk.Com]

，则a3=．

17．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=

2

，

若y=f（x）﹣af（x）+a﹣1的零点个数是7个，则实数a的取值范围为．

三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S8=64， （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：

19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边a，b，c，且满足bcosA=a（2﹣sinAsinB），a+b=6．

（Ⅰ）求a、b的值 （Ⅱ）若cosB=

，求△ABC的面积．

2

+（n≥2，n∈N）．

*

20．（13分）如图，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=AB⊥BP．

（Ⅰ）求证：PA⊥BC

（Ⅱ）求点P到底面ABC的距离．

，

21．（14分）已知函数f（x）=x﹣3x+ax（a∈R） （1）求函数y=f（x）的单调区间；

（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．

22．（14分）已知椭圆C：（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若A、B是椭圆C上的两动点，O为坐标原点，OA、OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1?k2=λ时，△AOB的面积S为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

=1（a＞b＞0）的离心率为

，短轴长为2．

3

2

湖北省武汉市2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数z= A． 0

的实部与虚部之和为（） B．

C． 1

D．2

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．

解答： 解：复数z=∴实部与虚部之和=

==1，

==，

故选：C．

点评： 本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题． [来源:学优高考网]

2

2．（5分）设全集U=R，集合M={x|y=lg（x﹣1）}，N={0＜x＜2}，则（CUM）∩N=（） A． {x|﹣2≤x≤1} B． {x|0＜x≤1} C． {x|0＜x＜2} D．{x|x＜R} [来源:学优高考网gkstk]

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．

分析： 求出M中x的范围确定出M，找出M补集与N的交集即可．

22

解答： 解：由M中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0， 解得：x＞1或x＜﹣1，即M={x|x＜﹣1或x＞1}，

∴?UM={x|﹣1≤x≤1}， ∵N={0＜x＜2}，

∴（?UM）∩N={x|0＜x≤1}， 故选：B．

点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

3．（5分）函数f（x）=|sincos|的最小正周期是（） A．

B．

C． π

D．2π

考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由条件利用二倍角的正弦公式可得函数的解析式为f（x）=|sinx|，再根据y=|Asin（ωx+φ）|的周期等于?

，可得结论．

=π，

解答： 解：函数f（x）=|sincos|=|sinx|的最小正周期是?

故选：C．

点评： 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦公式，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=

，y=|Asin（ωx+φ）|的周期等于?

，属于基础题．

4．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）

[来源:学优高考网]

A． 62 B． 63 C． 64 D．65

考点： 众数、中位数、平均数；茎叶图． 专题： 计算题；图表型．

分析： 由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数，乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36，做出两个数字之和．

解答： 解：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数=27

乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36 ∴甲和乙两个人的中位数之和是27+36=63 故选B．

点评： 本题考查茎叶图和中位数，本题解题的关键是先看出这组数据的个数，若个数是一个偶数，中位数是中间两个数字的平均数，若数字是奇数个，中位数是中间一个数字．

5．（5分）若命题P：?x0∈R，x0+2x0+3≤0，则命题P的否定￢P是（）

22

A． ?x∈R，x+2x+3＞0 B． ?x∈R，x+2x+3≥0

22

C． ?x∈R，x+2x+3＜0 D． ?x∈R，x+2x+3≤0

考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑．

分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

2

解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，若命题P：?x0∈R，x0+2x0+3≤0，则

2

命题P的否定￢P是：?x∈R，x+2x+3＞0． 故选：A．

点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 6．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且

的值是（）

A． 3

B．

C．

D．1

2

考点： 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用． 专题： 计算题；平面向量及应用．

分析： 根据题中的向量等式可知AO是△ABC的边BC上的中线，可得△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．然后在等腰△ABO中利用余弦定理，算出∠AOB=120°，进而得到∠C=60°．最后结合向量数量积公式和△ABC的边长，即可得出解答： 解：∵

，

?

的值．

∴AO是△ABC的边BC上的中线， ∵O是△ABC外接圆的圆心

∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形 ∵等腰△ABO中，|∴cos∠AOB=

|=|

|=1，

=

=﹣，可得∠AOB=120°

由此可得，∠B=30°，∠C=90°﹣30°=60°，且△ACO是边长为1的等边三角形 ∵Rt△ABC中，|∴

?

=|

|?|

|=1，|

|=2

|cos60°=1

故选：D

点评： 本题给出三角形ABC外接圆心O，在已知AO是BC边的中线情况下求

?

的

值．着重考查了直角三角形的性质、余弦之理和向量数量积运算公式等知识，属于中档题． 7．（5分）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（） A．

B．

C．

D．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．

分析： 根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可． 解答： 解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6， 先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y）， 总共有6×6=36，

两次朝上的点数之积为奇数事件为：A

有（1，1），（1，3），（1，5）， （3，1），（3，3），（3，5）， （5，1），（5，3），（5，5）， 共有9个结果，

∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）=

=

故选：C

点评： 本题考查了古典概率的求解，关键是求解基本事件的个数，运用列举的方法求解符合题意的事件的个数，属于中档题．

8．（5分）已知某产品连续4个月的广告费xi（千元）与销售额yi（万元）（i=1，2，3，4）满足

，

，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直

线方程为=0.8x+a，那么广告费用为6千元时，可预测的销售额为（）

A． 3.5万元 B． 4.7万元 C． 4.9万元 D．6.5万元

考点： 线性回归方程．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x=6代入，即可得出结论．

解答： 解：由题意，=4.5，=3.5， 代入

=0.8x+a，可得3.5=0.8×4.5+a，

所以a=﹣0.1， 所以

=0.8x﹣0.1，

=0.8×6﹣0.1=4.7，

所以x=6时，

故选：B．

点评： 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键． 9．（5分）已知直线kx﹣y=k﹣1与ky﹣x=2k的交点在第二象限，则实数k的取值范围是（） A． （0，）

B． （，1）

C． （0，1）

D．[1}

考点： 两条直线的交点坐标． 专题： 直线与圆．

分析： 联立，解得，解出即可．

解答： 解：联立，解得，解得．

∴实数k的取值范围是．

故选：A．

点评： 本题考查了直线的交点、不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．

10．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线y=4x的两条切线l1、l2，设l1、l2与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为（）

A． x+y﹣3x﹣4=0 B． x+y﹣2x﹣3y+1=0

2222 C． x+y+x﹣3y﹣2=0 D． x+y﹣3x﹣2y+1=0

考点： 直线与圆锥曲线的关系；圆的一般方程． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 直接利用A的坐标满足圆的方程，判断求解即可．

解答： 解：由题意可知，△ABC的外接圆方程，A的坐标满足圆的方程，

22

点A（﹣2，3）代入x+y﹣3x﹣4=0，左侧=4+9+6﹣4=15≠0，不成立．所以A不正确；

22

点A（﹣2，3）代入x+y﹣2x﹣3y+1=0，左侧=4+9+4﹣9+1=9≠0，不成立．所以B不正确；

22

点A（﹣2，3）代入x+y+x﹣3y﹣2=0，左侧=4+9﹣2﹣9﹣2=0，成立．所以C正确；

22

点A（﹣2，3）代入x+y﹣3x﹣2y+1=0，左侧=4+9+6﹣9+1=11≠0，不成立．所以D不正确．

故选：C．

点评： 本题考查直线与圆锥曲线的应用，圆的方程的求法，本题是选择题，方法独特，希望同学们掌握；如果直接求解方法是设出切线的斜率，利用直线与抛物线相切，求出k，然后求出三角形的顶点坐标，利用圆的一般方程求解．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．

考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而﹣1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，由此求得不等式的解集．

解答： 解：由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而﹣1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，

故当x＜﹣1，或x＞2时，不等式|x|+|x﹣1|＞3成立．

故不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．

点评： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．

2

2222

12．（5分）若x、y满足，则z=x﹣y的最大值为．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答： 解：由约束条件作出可行域如图，

[来源:gkstk.Com]

联立

，解得

，即C（1，0），

化目标函数z=x﹣y为直线方程斜截式：，

由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值等于故答案为：．

点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，则输出的S等于

．

考点： 程序框图．

专题： 图表型；三角函数的图像与性质．

分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=5时，不满足条件

n＜p，退出循环，输出S的值为．

解答： 解：模拟执行程序框图，可得 p=5，n=0，S=0 满足条件n＜p，n=1，S=

[来源:学优高考网gkstk]

满足条件n＜p，n=2，S= 满足条件n＜p，n=3，S= 满足条件n＜p，n=4，S=满足条件n＜p，n=5，S=

．

不满足条件n＜p，退出循环，输出S的值为故答案为：

．

点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的n，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2π+2π+4

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是一底面为半圆，高为2的半圆锥，结合图中数据，求出它的表面积．

解答： 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一底面为半圆，高为2的半圆锥， 且底面半圆的半径为2； ∴该半圆锥的表面积为

S表面积=S半圆+S△+S侧面展开图 =π?2+×4×2+××2π?2×

2

=2π+4+2π．

故答案为：2π+2π+4．

点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目． 15．（5分）如图，正四棱锥O﹣ABCD的棱长均为1，点A、B、C、D在求O的表面上，延长CO交球面于点S，则四面体A﹣SOB的体积为

．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=．利用正方体的性质与勾

股定理的逆定理可得OA⊥OC，利用四面体A﹣SOB的体积V=VB﹣SAO=BE?S△SAO．即可得出．

解答： 解：假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=连接SA，∵SC是直径，∴SA⊥AC，

222

∵OA+OC=AC=2， ∴OA⊥OC， ∴又S△SAO=S△OAC=

=．

×=

．

．

四面体A﹣SOB的体积V=VB﹣SAO=BE?S△SAO=故答案为：

．

点评： 本题考查了线面面面垂直的判定性质定理、正方形的性质、正四面体的性质、球的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．（5分）在各项均为正项的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，

=

，则a3=4．

考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到解答： 解：设等比数列an的公比为q，则{

}也是等比数列，

，则a3可求．

且公比为，依题意得：，

两式作比得：，即，

∵an＞0，∴a3=4．

故答案为：4．

点评： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．

17．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，

若y=f（x）﹣af（x）+a﹣1的零点个数是7个，则实数a的取值范围为（，2）．

考点： 根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．

2

分析： 化简f（x）﹣af（x）+a﹣1=0得f（x）=1或f（x）=a﹣1，作f（x）与y=1及y=a﹣1的图象，由数形结合求解．

2

解答： 解：令f（x）﹣af（x）+a﹣1=0得， f（x）=1或f（x）=a﹣1，

作f（x）与y=1及y=a﹣1的图象如下，

2

由图象知，

y=1与f（x）的图象有三个交点， 故y=a﹣1与f（x）有四个交点， f（2）=， 则结合图象可得， ＜a﹣1＜1， 即＜a＜2； 故答案为：（，2）．

点评： 本题考查了函数的零点与函数的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S8=64， （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：

+

（n≥2，n∈N）．

*

考点： 数列的求和；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，利用a3=5、S8=64计算即得结论；

222

（2）通过数列{an}的首项为1，公差为2可得Sn=n，从而不等式成立等价于3n＞1，而3n＞1在n≥1时恒成立，即得结论．

解答： （1）解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则

，

解得：a1=1，d=2，

∴数列{an}的通项an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）证明：∵数列{an}的首项为1，公差为2， ∴Sn=n+2×要证：

+

=n，

（n≥2，n∈N），

*

2

即证：

2

+

2

＞

2

，

2

2

只需证：[（n+1）+（n﹣1）]n＞2（n﹣1），

2222

只需证：（n+1）n＞（n﹣1），

2

只需证：3n＞1，

2

而3n＞1在n≥1时恒成立，并且以上每步均可逆， 从而不等式

+

（n≥2，n∈N）恒成立．

*

点评： 本题考查求数列的通项，考查关于数列和的不等式恒成立问题，注意解题方法的积累，属于中档题．

19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边a，b，c，且满足bcosA=a（2﹣sinAsinB），a+b=6．[来源:学优高考网gkstk] （Ⅰ）求a、b的值 （Ⅱ）若cosB=

，求△ABC的面积．

2

考点： 正弦定理．

22

分析： （I）由bcosA=a（2﹣sinAsinB），可得sinBcosA=sinA（2﹣sinAsinB），化为sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，与a+b=6联立解得a，b．[来源:学优高考网]

（II）由cosB=，可得sinB=，可得sinA=，cosA=即可得出．

；

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，利用S△ABC=解答： 解：（I）∵bcosA=a（2﹣sinAsinB），

2

∴sinBcosA=sinA（2﹣sinAsinB），

2

∴sinBcosA+sinAsinB=2sinA， ∴sinB=2sinA，

由正弦定理可得：b=2a，

与a+b=6联立解得a=2，b=4． （II）∵cosB=∴sinB=∴sinA=

=

， =

，

=

；

+

．

，

=

，

22

cosA=

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴S△ABC=

=

2

2

2

=2

（II）由余弦定理可得：b=a+c﹣2accosB，b=2a，c=∴4a=a+7﹣

22

2

=a+7﹣2

2

×，

化为3a+4a﹣7=0，解得a=1． ∴b=2．

∴a=1，b=2．

点评： 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（13分）如图，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=，AB⊥BP．

（Ⅰ）求证：PA⊥BC

（Ⅱ）求点P到底面ABC的距离．

考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）取BC中点M，连结AM，PM，依题意可知AM⊥BC，PM⊥BC，从而BC⊥平面PAM，由此能证明PA⊥BC； （Ⅱ）过P作PH⊥AM，连接BH，证明PH⊥平面ABC，求出BH，即可求点P到底面ABC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点M，连结AM，PM， 依题意底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=， 所以AM⊥BC，PM⊥BC，

又AM∩PM=M，

所以BC⊥平面PAM，

又PA?平面PAM，[来源:学优高考网gkstk] 所以PA⊥BC；

（Ⅱ）解：因为BC⊥平面PAM，BC?平面ABC 所以平面ABC⊥平面PAM， 过P作PH⊥AM，连接BH， 所以PH⊥平面ABC， 所以PH⊥AB，

因为AB⊥PB，PH∩PB=P， 所以AB⊥平面PBH， 所以AB⊥BH．

在Rt△ABH中，∠BAH=30°，所以BH=在Rt△PBH中，PB=

，所以PH=

．

， =

，

所以点P到底面ABC的距离为

点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，正确作出点P到底面ABC的距离是解题的关键．

21．（14分）已知函数f（x）=x﹣3x+ax（a∈R） （1）求函数y=f（x）的单调区间；

（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： （1）求出函数的导数，讨论判别式小于或等于0，和大于0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间；

（2）由（1）讨论当a≥3时，当2≤a＜3时，求得函数的单调区间，通过函数值的符号，去绝对值符号，即可得到最大值．

322

解答： 解：（1）函数f（x）=x﹣3x+ax的导数为f′（x）=3x﹣6x+a， 判别式△=36﹣12a，

当△≤0时，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数；

32

当a＜3时，即△＞0，3x﹣6x+a=0有两个实根，x1=1﹣

2

，x2=1+

，

f′（x）＞0，可得x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，可得x1＜x＜x2．

综上可得，a≥3时，f（x）的增区间为R； a＜3时，f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣减区间为（1﹣

，1+

）．

），（1+

，+∞），

（2）由于y=|f（x）|的图象经过原点，

当a≥3时，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在[0，1]递增， 即有x=1处取得最大值，且为a﹣2； 当2≤a＜3时，由（1）可得f（x）在[0，1﹣在（1﹣

，1]递减，

处取得最大值，且大于0，

）递增，

则f（x）在x=1﹣

又f（0）=0，f（1）=a﹣2≥0，

则y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即为f（1﹣综上可得，当a≥3时，函数y的最大值为a﹣2； 当2≤a＜3时，函数y的最大值为f（1﹣

）．

）．

点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．

22．（14分）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若A、B是椭圆C上的两动点，O为坐标原点，OA、OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1?k2=λ时，△AOB的面积S为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）通过=、2b=2、a=b+c，计算即得结论；

222

（Ⅱ）设直线AB的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、三角形面积计算公式、k1?k2=λ可得S△AOB的表达式，分析表达式、计算即可． 解答： 解：（Ⅰ）∵e==∴a=2，b=1， ∴椭圆C的方程为：

+y=1；

2

，2b=2，a=b+c，

222

（Ⅱ）结论：存在非零常数λ=﹣，使k1?k2=﹣时，△AOB的面积S为定值1．

理由如下：

设存在这样的常数λ，使k1?k2=λ时，S△AOB为定值． 设直线AB的方程为：y=kx+m，且AB与

+y=1的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

2

∵k1?k2=λ，∴λx1x2﹣y1y2=0，

∴﹣λx1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，[来源:gkstk.Com]

22

∴（k﹣λ）x1x2+km（x1+x2）+m=0． 将y=kx+m代入

2

2

+y=1，消去y得：

2

2

（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0， 由韦达定理可得： x1+x2=

，x1x2=

，

∴（k﹣λ）x1x2+km（x1+x2）+m=0可化为：m=

222

，

∵点O到直线AB的距离为d=，

∴S△AOB=?d?|AB|=?|x1﹣x2|?|m|=

，

∴=

=?，

要使上式为定值，只需

2

==，

即只需（1+4λ）=0，∴λ=﹣， 此时

=，即S△AOB=1，

故存在非零常数λ=﹣，此时S△AOB=1．

点评： 本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

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