宁夏银川一中2024届高三数学第一次模拟试题

则原点O到弦ED的距离d?得原点O到弦ED的距离为

bk2?1?b2?2k?133, ?4233，则ED?24??13，

42故弦ED的长为定值. ……………………………12分 21、解：（1）?f??x??2x?a,?x?0是f(x)的一个极值点，则 21?x f??0??0,?a?0，验证知a=0符合条件…………………….（2分）

2xax2?2x?a?a? （2）?f??x?? 221?x1?x 1）若a=0时，

?f(x)在?0,???单调递增，在???,0?单调递减； 2）若??a?0 得，当a??1时，f??x??0对x?R恒成立，???0 ?f(x)在R上单调递减…………………………………（4分）

3）若?1?a?0时，由f??x??0得ax2?2x?a?0

?1?1?a2?1?1?a2 ??x?aa?1?1?a2?1?1?a2 再令f??x??0,可得x? 或x?aa?1?1?a2?1?1?a2 ?f(x)在( ,)上单调递增，aa?1?1?a2?1?1?a2 在(??, )和(,??)上单调递减-------（6分）

aa 综上所述，若a??1时，f(x)在(??,??)上单调递减，

?1?1?a2?1?1?a2若?1?a?0时，f(x)在( ,)上单调递增，aa?1?1?a2?1?1?a2 (??,)和(,??)上单调递减。

aa若a?0时，f(x)在?0,???单调递增，在???，0?单调递减..................（7

分）

???单调递减 (3)由（2）知，当a??1时，f(x)在???，

当x??0,???时，由f(x)?f(0)?0

?ln(1?x2)?x111111?ln[(1?)(1?)...(1?2n)]?ln(1?)?ln(1?)?......?ln(1?2n)981981331?1??1?n? 1111?13?3?1???2?......n???1?n??1332?3?231?3111?(1?)(1?)...(1?2n)?e2?e,................................(12分)98131

选做题

22.（1）证明：连接OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°．

因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．

因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°． 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE． 因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB?DA．

C A O E B F

D 所

（2）解：?DF2=DB?DA，DB=2，DF=4． ?DA= 8， 从而AB=6， 则OC?3．

又由（1）可知，DE=DF=4， ?BE=2，OE=1．

从

而

在

Rt?COE以

DE2=DB?DA． ……………… 5分

中，

CE?CO2?OE2?10． ………………10分

23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】 解：（1）由???x??5?2cost，??y?3?2sint，

?x?5?2cost，得? ?y?3?2sint，??消去参数t，得(x?5)2?(y?3)2?2， 所以圆C的普通方程为(x?5)2?(y?3)2?2．

π?由?cos????????4?2，

得22?cos???sin???2， 22即?cos???sin???2，

换成直角坐标系为x?y?2?0，

所以直线l的直角坐标方程为x?y?2?0．……………………………………（5分）

π?（2）∵A??2，?，B(2，π)化为直角坐标为A(0，2)，B(?2，0)在直线l上，

?2?并且|AB|?22，

2cost，3?2sint)，

设P点的坐标为(?5?则P点到直线l

∴dmin?42?π??6?2cos?t??4??的距离为d?|?5?2cost?3?2sint?2|?22，

?22，

所以△PAB面积的最小值是S?1?22（102?22?4…………………………

分）

（说明：用几何法和点到直线的距离公式求d?|?5?3?2|?22?22也可参照给分．）

24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】 （1）解：f(x?1)?f(x?2)?4，即|x?1|?|x|?4， ①当x≤0时，不等式为1?x?x?4，即x??3，

2∴?3?x≤0是不等式的解； 2②当0?x≤1时，不等式为1?x?x?4，即1?4恒成立，

∴0?x≤1是不等式的解；

③当x?1时，不等式为x?1?x?4，即x?5，

2∴1?x?5是不等式的解． 235?综上所述，不等式的解集为???，?．…………………………………………（5分）

?22?（2）证明：∵a?2，

∴f(ax)?af(x)?|ax?2|?a|x?2|

?|ax?2|?|ax?2a|?|ax?2|?|2a?ax|≥|ax?2?2a?ax|?|2a?2|?2，

∴?x?R，f(ax)?af(x)?2恒成立．…………………………………………（10分）

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M??xx?1?,N??x2x?1?，则MN=

A. ?

B. x0?x?1

??

C. xx?0

??D. xx?1

??2．复数Z?A．i

2i的虚部是 1?i C．1

9B．-i D．-1

3．在等比数列{an}中，若a1?1，a4?3，则该数列前五项的积为 A．±3

B．3

C．±1

D．1

4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 A．4C．12

3

3

B．8

33

D．24

x?

5．二项式(A．360

210)展开式中的常数项是 x2B．180

12C．90

310，则tanC= 10D．45

6．在?ABC中，tanA?,cosB?A．-1

B．1

C．3 开D．-2

7．若对任意非零实数a,b，若a?b的运算规则 如右图的程序框图所示，则(3?2)?4的值是 A．

13 12输入a,b 是 输出b?1 a1B．

23C．

2a≤b? 否 输出a?1 bD．9

8．函数f(x)?3sin(2x???),??(0,?)满足f(x)?f(x)，则?的值为

3?结5?6A．? B．?

63C．

D．2?

3

9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，

不得分的概率为c，

?a,b,c?(0,1)?，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则2?a13b的最小

值为 A．32

3B．28

3C．14 D．16

33x2y210．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x2?1相切，则该

ab双曲线的离心率为 A．3 B．2 C．5 D．6 11．已知函数f(x)定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?ex(x?1)，给出下列命题：

①当x?0时，f(x)?ex(1?x) ②函数f(x)有2个零点 ③f(x)?0的解集为(?1,0)?(1,??) ④?x1,x2?R，都有

|f(x1)?f(x2)|?2

其中正确命题个数是

A．1 B．2 C．3 D．4 1 2 3 12．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2??9的9个 4 5 6 小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜7 8 9 色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种

A．18 B．36 C．72 D．108

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要

求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线y?2x与直线y?x?1及x?4所围成的封闭图形的面积

为 .

14．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2?b2?14c2，

则acosBc?_______________ 15．在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数f(x)=x3+ax-b在区间[-1,1]

上有且只有一个零点的概率是 .

16．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面

上，若该棱柱的体积为3，AB?2，AC?1,?BAC?60?，则此球的

表面积等于__________.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤理科数学试卷

17.（本小题满分12分）

在等差数列{an}中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1?1，公比为q(q?1)，且bS22?S2?12，q?b． 2（1）求an与bn； （2）证明：1?13S?1??121S2S?． n3

18.（本小题满分12分）

3

第

某学校研究性学习小组对该校高三学生视 力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中 随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图 的频率分布直方图.

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列， 试估计全年级视力在5.0以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的 学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与 学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和 951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据， 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系?

（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：

n(ad?bc)2 K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

19．（本小题满分12分）

π

如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E

2是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图(2)所示．

(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．

20．(本小题满分12分)

x2y2 以椭圆C：2?2?1(a?b?0)的中心O为圆心，a2?b2为半径

ab的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足PQ?2，S?OPQ?6S?OFQ. 2（1）求椭圆C及其“准圆”的方程；

（2）若椭圆C的“准圆”的一条弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆

C交于M、N两点，试证明：当OM?ON?0时，试问弦ED的长是否为

定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)?ln(1?x2)?ax.(a?0)

(1)若f(x)在x?0处取得极值，求a的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)证明：(1?)(1?

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

C 1911)...(1?2n)?e(n?N*,e为自然对数的底数）. 81322.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲． O E A 如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点， OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于 点D．连接CF交AB于点E．

（1）求证：DE2=DB?DA； （2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．

B F

D

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

??x??5?2cost在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?，（t

??y?3?2sint为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为?cos(??)??2，A，B两点的极坐标

4?分别为A(2,),B(2,?).

2?（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数f(x)?|x?2|.

（1）解不等式：f(x?1)?f(x?2)?4；

（2）已知a?2，求证：?x?R,f(ax)?af(x)?2恒成立.

银川一中2019届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A B A C C D C B D 二、填空题 13. 4-ln2 14. 5 15. 7 16. 8?

88三、解答题

?b2?S2?12,?q?6?d?12,17．解：（1）设{an}的公差为d，因为?所以?解S26?d??q?,q?.??b2q??得q?3或q??4（舍），d?3．

故an?3?3(n?1)?3n，……………………………………………5bn?3n?1．分

（2）因为Sn?分 故11??S1S2?12??1??11??11????1???????????Sn3??2??23??34?1???1????? ?nn?1??n(3?3n)12211，所以?………………8?(?)．2Snn(3?3n)3nn?12?1???1??． ……………3?n?1?………10分 因为n?1，所以0?1211111?，于是?1??1， n?122n?1?所以??1????．即???3S1S233?n?1?32111?12?．……………………12Sn3分

18. （1）设各组的频率为fi(i?1,2,3,4,5,6)，

由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分 因为后四组的频数成等差数列，

所以后四组频数依次为27,24,21,18 ……………………………2分 所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000?282?820 …………………………3分 100100?(41?18?32?9)2300??4.110?3.841 （2）k?50?50?73?2773

因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分 （3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，

X可取0、1、2、3 …………………7分

321C6C6C34520， P(X?1)?， P(X?0)?3??38484C9C9123C3C6C3181， P(X?2)??P(X?3)??3384C984C9X的分布列为 X 0 1 2 3 P 20 8445 8418 841 84………………11分

X的数学期望E(X)?0?2045181?1??2??3??1 ………………12分 8484848419．解：(1)证明：在图(1)中，

因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点， π

∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD.

2即在图(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

又OA1∩OC＝O，OA1?平面A1OC，OC?平面A1OC， 从而BE⊥平面A1OC. 又CD∥BE， 所以CD⊥平面A1OC.

(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE， 又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC为二面角A1-BE - C的平面角， π

所以∠A1OC＝. 2如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，

所以B(

2222

，0，0)E(－，0，0)，A1(0，0，)，C(0，，0) 2222

→＝(－得BC

2222→，，0)，AC＝(0，，－) 1

2222

→＝BE→＝(－2，0，0)． CD

设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，

?n·→??1BC＝0，?－x1＋y1＝0，则?得?取n1＝(1，1，1)；

→?y1－z1＝0，?A1C＝0，??n1·?n·→?2CD＝0，??x2＝0，?得?取n2＝(0，1，1)，

→?y2－z2＝0，??A?n2·1C＝0，

26从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，

3×23

6

即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为. 320.解：（1）设椭圆C的左焦点F(?c,0),c?0，由S?OPQ?a?6S?OFQ得26c，又PQ?2，即a2?b2?4且b2?c2?a2，所以a2?3,b2?1， 2x2则椭圆C的方程为?y2?1；椭圆C的“准圆”方程为

3x2?y2?4.………4分

（2）设直线ED的方程为y?kx?b(k,b?R)，且与椭圆C的交点

M(x1,y1)、N(x2,y2)，

?y?kx?b2联列方程组? 代入消元得：(1?3k2)x2?6kbx?3b2?3?0 ?x2?y?1??3?6kb3b2?3,x1x2?由x1?x2? ………6分 221?3k1?3kb2?3k2可得y1y2?(kx1?b)(kx2?b)? 由OM?ON?0得x1x2?y1y2?021?3k323b2?3b2?3k24b2?3k2?32b?(k?1)………8分 ???0即， 所以

41?3k21?3k21?3k2此时??36k2b2?4(1?3k2)(3b2?3)?27k2?3?0成立，

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