2024年全国中考数学压轴题解析汇编(3)及答案(粤闽桂海川滇黔省会

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·广州·24题】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.

（1）当OC=22时，求证：CD是⊙O的切线；

（2）当OC＞22时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE. ① 当D为CE中点时，求△ACE的周长；

② 连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）连接OD。

∵AB是⊙O的直径，AB=4 ∴OA=OB=OD=2 ∴OD2=4 ∵OA=CD

∴CD=2 ∴CD2=4 ∵OC=22 ∴OC2=8 ∵OC2

=OD2

+CD2

∴△ODC是直角三角形，且∠ODC=90° ∴OD⊥CD ∴CD是⊙O的切线 （2）① 连接OE、OD。

∵D为CE的中点 ∴DE=CD ∵CD=OA=2，OA=OD=OE ∴DE=OD=OE=2

∴△ODE是等边三角形 ∴∠DOE=∠ODE=60° ∵CD=OD=2 ∴∠DOC=∠OCD ∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60° ∴∠DOC=∠OCD=30° 过点D作DF⊥OC于F 则OF=CF=OD·cos∠DOC=2×32=3 ∴OC=OF+CF=23 ∵∠DOC=30°，∠DOE=60° ∴∠AOE=90° ∴AE=OA2?OE2?4?4=22 ∴△ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA

=22+2+2+23+2

=22+23+6 ② 存在四边形AODE为梯形。

由题意知，当OD∥AE时，四边形AODE为梯形。由对称性知，存在两个这样的梯形，即在AC的上下方各一个。

∵OD∥AE ∴∠DOC=∠EAO ∵△ODC、△AOE是等腰三角形 又OA=OE=OD=CD=2

∴△ODC≌△AOE ∴OC=AE

设OC=AE=m(m＞22)，则AC=m+2 ∵OD∥AE ∴

ODOCAE?AC ∴

2m?mm?2，即m2-2m-4=0 解得m=5?1或5?1(舍去) ∴AE=5?1

∵∠DOC=∠EAO=∠OCD ∴CE=AE

∴ED=CE-CD=AE-CD=5?1-2=5?1 ∴AE·ED=(5?1)(5?1)=4

DEDAOBCAOFBC 2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·广州·25题】已知抛物线y1=ax2?bx?c(a?0,a?c)过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。 （1）使用a、c表示b;

（2）判断点B所在象限，并说明理由；

（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(c,b?8)，求当x≥1时y1的取值范围。

解：（1）∵抛物线过点A（1，0）

∴a+b+c=0 ∴b=-a-c

（2）点B在第四象限。理由如下：

当y1=0时，ax2+bx+c=0 由韦达定理得，xc1·x2=a ∵a≠c ∴x1·x2≠1

∵抛物线过点A（1，0） ∴1是方程的根，令x1=1 ∴x2≠1

∴抛物线与x轴有两个交点 ∵抛物线不经过第三象限 ∴抛物线开口向上，即a＞0 ∴顶点B在第四象限

（3）∵点C(ca,b?8)在抛物线上

∴b+8=a·(c)2ca+b·a+c

2=

ca?ca(?a?c)?c =c2c2a?c?a?c?0

a∴b=-8

∴a+c=8……①

∵点C(ca,b?8)在直线y2=2x+m上

∴m=-2ca ∵顶点B的坐标为（-b4ac?b22a，4a） 即B（

4a，c?16a），且在直线y2上 ∴c?1682a=ca-a……②

由①②解方程组得：

??a?4??c?4 或 ?a?2?c?6 ∵a≠c ∴a=2，c=6

∴抛物线的解析式为y1=2x2-8x+6

易知A（1，0）和C（3，0）是抛物线与x轴 的交点，顶点B坐标为（2，-2）

∵抛物线开口向上

∴当x≥1时，y1的取值范围为y1≥-2

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·福州·21题】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为1，设AB=x，AD=y

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y?1时，求PB?PC的值； （3）若∠APD=90°，求y的最小值。

解：（1）过点A作AE⊥BC于E。

∵∠B=45°，AB=x ∴AE=AB·sin∠B=

22x ∵AD=y，S1△APD=2

∴S1112·AE=2·y·2△APD=AD2x =2

∴y关于x的函数关系式为y=2x （2）∵∠APD=45°

∴∠APB+∠DPC=135° ∵∠B=45°，AD∥BC ∴∠BAD=180°-∠B=135° ∴∠BAP+∠PAD=135° ∵AD∥BC ∴∠PAD=∠APB ∴∠BAP+∠APB=135° ∴∠BAP=∠DPC

∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴∠B=∠C，AB=CD ∴△ABP∽△PCD ∴

PBCD?ABPC，即PB·PC=AB·CD ∵y=1 ∴x=2 ∴AB=CD=2 ∴PB·PC=2·2=2

2ADBEPC

B（3）取AD的中点F，连接FP，过点P作PH⊥AD于H，则PF≥PH。

∴当PF=PH时，PF有最小值 ∵∠APD=90°，点F为AD的中点 ∴PF=

12AD=12y ∵PH=AE=22x ∴当

12y=22x时，PF有最小值，即y有最小值 ∵y=2x，即x=2y ∴

1222y=2·y，得y2=2 ∵y＞0

∴y=2，即y的最小值为2

AFHDBEPC

AE2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·福州·22题】我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y1=ax2+bx(a≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a=__________；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是___________

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上，请用含k的代数式表示b； （3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长。

解：（1）当顶点为（1，1）时，

则有-b2a=1，a+b=1 ∴a=-1

当顶点为（m，m）时，

则有-

b2a=m，am2+bm=m 消去b后即得：am+1=0

（2）由抛物线顶点坐标公式可得，过原点的抛物线的

bb2顶点坐标为（-2a，?4a） ∵顶点在直线y=kx(k≠0)上

∴-kb2a=?b24a ∵a≠0，b≠0 ∴b=2k

（3）∵顶点An在直线y=x上

∴由(2)可知，b=2

∴抛物线解析式为y=ax2+2x

由题意可设，An坐标为（n，n），并设点Dn所在的那条抛物线的顶点坐标为（m，m）

由(1)可知，a=-

1m ∴这条抛物线的解析式为y=-

12

mx+2x ∵四边形AnBnCnDn是正方形，AnBn⊥x轴，且CnDn

在AnBn右侧

∴点Dn的坐标为（2n，n） ∴n=

1m(2n)2+2×2n 得4n=3m

∵m、n都是正整数，且m≤12，n≤12 ∴n=3或6或9

∴满足条件的正方形的边长为3或6或9

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·成都·27题】如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上一点，且∠PDA=∠ABD。

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠ADB=3，PA=43?343AH，求BD的长；

（3）在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积。

解：（1）PD与⊙O相切。理由如下：

连接DO延长交⊙O于E，连接AE。 ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° ∴∠ADE+∠AED=90°

∵∠PDA=∠ABD，∠ABD=∠AED ∴∠ADE+∠PDA=90° ∴∠PDE=90°，即PD⊥DE ∴PD与⊙O相切 （2）连接BE。 ∵AC⊥BD ∴∠AHD=90°

∴tan∠ADB=AHDH=34

∴DH=43AH

∵PA=43?33AH

∴PH=PA+AH=433AH

∵在Rt△PHD中，tan∠P=DH3PH?3 ∴∠P=30°

∵∠P+∠PDH=90°，∠PDH+∠BDE=90° ∴∠BDE=30° ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DBE=90° ∵DE=2r=50

∴BD=DE·cos∠BDE=50×

32=253 （3）过点O作OF⊥AC于F，作OG⊥AB于G，

则四边形OFHG是矩形 ∴FH=OG

由(2)可得，FH=OG=

12OD=252 ∵OF⊥AC ∴AC=2AF=2AH+25

由tan∠ADB=3，设AH=3m，DH=4m

4则AC=6m+25，PA=(43-3)m ∴PC=AC+PA=(43+3)m+25 ∵在Rt△PHD中，∠P=30° ∴PD=2DH=8m

∵PD是⊙O的切线，PAC是⊙O的割线 ∴PD2=PA·PC

∴64m2=(43-3)m·[(43+3)m+25] 解得m=0(舍去)或43-3 ∴AC=6m+25=243+7 ∴S四边形ABCD=

12AC·BD =12(243+7)·253 =900+17523 DPFAHCGOBE

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

1【2013·成都·28题】在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角

2形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限。 （1）如图，若该抛物线经过A、B两点，求抛物线的函数表达式；

（2）平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q。

① 若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

② 取BC的中点N，连接NP，BQ。试探究PQ是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，

NP?BQ请说明理由。

解：（1）由题图知，点B坐标为（4，-1），则

??c??1??8?4b?c??1 解得??b?2?c??1 ∴抛物线的函数表达式为y=-12x2+2x-1

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，则

??b??1?k??4k?b?3 解得?1?b??1 ∴直线AC的解析式为y=x-1

设顶点P的坐标为（m，m-1），则平移后的抛物线解析式为y=-

12(x-m)2+m-1 联立y=x-1可得，点Q坐标为（m-2，m-3） ① 当△MPQ是等腰直角三角形时，存在如下三种情况，如图①：

一、当PM=PQ且∠P=90°时，此时，点M的坐标为（m+2，m-3）

∵点M在抛物线y=-

12x2

+2x-1上 ∴m-3=-12(m+2)2+2(m+2)-1，即m2+2m-8=0

解得m=2或-4 ∴M（4，-1）或（-2，-7） 二、当MP=MQ且∠M=90°时，此时，点M的坐标为（m，m-3），则m-3=-

12m2

+2m-1，即m2-2m-4=0 解得m=1+5或1-5(舍去)

∴M（1+5，-2+5）或（1-5，-2-5） 三、当QM=QP且∠Q=90°时，此时，点M的坐

标为（m，m-5），则m-5=-12m2

+2m-1，即m2-2m-8=0 解得m=4或-2 ∴M（4，-1）或（-2，-7） 故，符合条件的点M的坐标为（4，-1）、（-2，-7）、（1+5，-2+5）、（1-5，-2-5）

②∵P（m，m-1），Q（m-2，m-3） ∴PQ=(m?m?2)2?(m?1?m?3)2=22 ∴当NP+BQ有最小值时，

PQ有最大值

NP?BQ∵N是BC的中点 ∴N（4，1），BN=2为定值 ∴当四边形BNPQ的周长最小时，NP+BQ最小 取点B关于直线AC的对称点B’(0，3)，取AB的中点D(2，-1)，连接B’D交AC于Q，过点N作NP∥B’D交AC于P，连接DN，如图②。

易证得PQ∥DN，PQ=DN

∴四边形DNPQ是平行四边形 ∴NP=DQ ∵BQ=B’Q ∴NP+BQ=DQ+B’Q

∵点B’、Q、D在同一直线上 ∴NP+BQ=B’D有最小值

易得NP+BQ=B’D=22?42=25 ∴

PQ22NP?BQ的最大值为25?105 2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

yP3P2P1Q3Q2CyB’PQCOAQ1M2BM1M3xOANxDB图①图②

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·贵阳·24题】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）。

（1）当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形；

（2）猜想：当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形； （3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围。

解：（1）如图，△A’BC为直角三角形，CA’=6，BC=8，A’B=10。

以点C为圆心，6为半径画弧；以点B为圆心，9为半径画弧，两弧相交于点A，连接AC、AB，得到三边长分别为6，8，9的△ABC。

显然，△ABC是 锐角 三角形

以点C为圆心，6为半径画弧；以点B为圆心，11为半径画弧，两弧相交于点A，连接AC、AB，得到三边长分别为6，8，11的△ABC。 显然，△ABC是 钝角 三角形 A’AAA’66109661011C8BC8B （2）由(1)可以猜想得到： 当a2+b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形 当a2+b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形

（3）根据构成三边长构成三角形的条件知：

∵a+b＞c ∴c＜6 ∵b-a＜c ∴c＞2 ∴2＜c＜6 ∵a=2，b=4 ∴a2+b2=20

当c2=20时，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形，此时，c=25 当c2＜20时，a2+b2＞c2，△ABC是锐角三角形，此时，0＜c＜25 则c的取值范围为2＜c＜25 当c2＞20时，a2+b2＜c2，△ABC是钝角三角形，此时，c＞25 则c的取值范围为25＜c＜6 2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·贵阳·25题】如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：y=-3x+4与x轴、y轴分别交于点M、N，3一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移。

（1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰好落在直线l上，写出A1点的坐标 ； （2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；

（3）在直线l上是否存在这样的点，与(2)中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形。如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由。 解：（1）过A1作x轴的垂线，垂足为D。

则A31D=A1B1×sin60°=3×2=332 ∵点A1恰好落在直线l上

∴当y=332时，332=-33x+4，得x=43-92

∴A1点的坐标为（43-92，332） （2）过A2作x轴的垂线，垂足为E；过点B2作A2C2的垂线，垂足为F。由等边三角形性质可知，A2E与B2F的交点就是△A2B2C2的外心P。

∵B2E=

12BC322=2，∠PB2E=30° ∴PE=B30°=32E·tan2·33=32 ∵点P恰好落在直线l上 ∴当y=32时，3332=-3x+4，得x=43-2

∴P点的坐标为（43-332，2） （3）存在满足题述条件的点。

由直线l得，OM=43，ON=4，易得∠OMN=30° ∴在(2)的条件下，点C2与点M重合 ∵点P是△A2B2C2的外心，且在直线l上 ∴PA2=PB2=PC2

∴点P（43-332，2）是满足条件的点 以A2B2为边，在△A2B2C2的另一侧作等边△A2B2Q1，因为直线l⊥A2B2，所以点Q1在直线l上，显然点Q1是满足条件的点。

过点Q31作Q1H1⊥x轴于H1，易得Q1H1=

32，由(1)知，点Q1与点A1重合，坐标为（43-9332，2） 以C2为圆心，3为半径画圆，与直线l交于Q2、Q3，显然点Q2、Q3是满足条件的点。

过点Q2作Q2H32⊥x轴于H2，易得Q2H2=

2，C2H332，∴Q1132=32的坐标为(2，-2)

过点QQ，易得Q33作3H3⊥x轴于H23H3=

2，C332H3=2，∴Q5333的坐标为(2，2)

故，满足条件的点的坐标为（43-32，32）、（43-9331132，2）、(32，-5332)、(2，2) ly NAQ1A1QA23PFBCOB1H1DB2C1ECMH2x2H3Q22013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·昆明·22题】已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C。 （1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2，求⊙O的半径。

解：（1）连接OB。

∵AC是⊙O的直径 ∴∠ABC=90° ∴∠OBA+∠OBC=90° ∵OB=OC ∴∠OBC=∠C ∴∠OBA+∠C=90° ∵∠PBA=∠C ∴∠PBA+∠OBA=90° ∴∠OBP=90°

∴OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线 （2）令OP与AB交于点D

∵OP∥BC，OA=OC，BC=2 ∴AD=BD，OD=12BC=1 ∵OP=8 ∴PD=OP-OD=7

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，且OP∥BC ∴BD⊥OP ∵∠OBP=90°

∴BD2=OD·PD(射影定理) ∴AD=BD=OD?PD?7 ∴OA=OD2?AD2?1?7?22 ∴⊙O的半径为22

AODPCB

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·昆明·23题】如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意得，A（4，0），C（0，3），B（4，3）

∵抛物线经过O、A两点

∴可设抛物线的解析式为y=ax(x-4) ∵抛物线的顶点在BC边上

∴由抛物线和矩形的对称性可知，顶点E为BC的中点，

∴点E坐标为（2，3）

将点E坐标代入解析式可求得a=-34

∴抛物线的解析式为y=-3x24+3x

（2）设直线AC的解析为y=kx+b，则

??4k?b?03 解得k=-3，b=3 ?b?4∴直线AC的解析式为y=-

34x+3 ?y??3x?3则，解方程组???4

?y??3x2??4?3x?得：?x?1?9 或

???x?4（此为点A） ?y?4?y?0∴点D坐标为（1，94） （3）存在。

① 过点D作DM∥x轴交抛物线于M，在x轴上取AN=DM，则四边形ANMD是平行四边形

易得DM=2，则AN=2

∴当点N在点A右侧时，点N坐标为（6，0） 当点N在点A左侧时，点N坐标为（2，0）

② 向左平移AC，与x轴交于点N3，与抛物线交于点M’，当M’N3=AD时，四边形ADN3M’是平行四边形。

过点D作DH⊥x轴于H，过点M’作M’K⊥x轴于K，易证得△AHD≌△N3KM’

∴M’K=DH=

94，N3K=AH=3 ∵点M’在x轴下方 ∴点M’的纵坐标为-94 由-

3294x+3x =-4得x=2+7或2-7 ∵当x=2+7时，M’N3≠AD，故舍去 ∴点M’的坐标为(2-7，-

94) ∴点K的坐标为(2-7，0) ∵N3K=3

∴点N3的坐标为(-1-7，0)

综上所述，存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为(-1-7，0)或（2，0）或（6，0）

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

yCDEMBN3KOxHN2AN1M’

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·南宁·25题】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交⊙O于点P。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求tan∠ABE的值； （3）若OA=2，求线段AP的长。

解：（1）连接AD，OD。

（3）∵AB是⊙O的直径

∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° ∴AD⊥BC

∵∠BAC=90°，AB=AC ∴△ABC是等腰直角三角形 ∴点D是BC的中点 ∵DE⊥AC，BA⊥AC ∴DE∥BA

∴点E是AC的中点 ∴DE=

12AB=OA ∵DE∥OA

∴四边形AODE是平行四边形 ∵∠OAE=90°，OA=OD ∴四边形AODE是正方形 ∴OD⊥DE ∴DE是⊙O的切线 （2）∵四边形AODE是正方形

∴AE=OA=

12AB ∴tan∠ABE=AEAB=12

∴∠AFB=90° ∴∠ABE+∠FAB=90° ∵∠FAB+∠PAE=∠BAC=90° ∴∠PAE=∠ABE ∴tan∠PAE=tan∠ABE=

12 ∵tan∠PAE=PEAE，且AE=OA=2 ∴PE=1 ∴AP=AE2?PE2?4?1?5 CEPDFAOB

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·南宁·26题】如图，抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点。直线l过点E（0，-2）且平行与x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N。 （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM；

（3）探究：① 当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时

② 试说明无论k取何值，

11?的值； AMBN11?的值都等于同一个常数。 AMBN

解：（1）∵抛物线过C（2，0），D（0，-1）两点

∴??4a?c?01?1 解得a=，c=-1

?c?4∴抛物线的解析式为y=14x2-1 （2）设点A坐标为(m，

14m2

-1)，则 OA2=m2+(11412

4m2-1)2=16m+2m+1

由题意得，AM=14m2-1+2=14m2+1

∴AM2=(14m2+1)2=116m4+12

2m+1

∴OA2=AM2 ∴OA=AM

（3）① 由y=

14x2

-1=0得x=-2或2 ∴当k=0时，A（-2，0），B（2，0） ∴AM=2，BN=2

∴

111AM?BN=2?12=1 ② 由14x2-1=kx得，x2-4kx-4=0

设A的坐标为(m，km)，B的坐标为(n，kn) 由韦达定理得，m+n=4k，mn=-4 由题意得，AM=km+2，BN=kn+2

∴

1AM?11BN=km?2?1kn?2 =

k(m?n)?4(km?2)(kn?2)

=

k(m?n)?4k2mn?2k(m?n)?4 =4k2?4?4k2?8k2?4 =4k2?44k2?4 =1

∵

1AM?1BN=1，与k无关 ∴无论k取何值，1AM?1BN的值都等于同一个常数，此常数为1.

yy=kxBOACxDMENl

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·海南·23题】如图1，点P是正方形ABCD的边CD上的一点（点P与点C、D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP、DE。 （1）求证：△BCP≌△DCE；

（2）如图2，直线EP交AD于点F，连接BF、FC，点G是FC与BP的交点。 ① 当CD=2PC时，求证：BP⊥CF；

② 当CD=n·PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2，求证：S1=(n+1)S2.

解：（1）∵ABCD是正方形

∴BC=DC，∠BCP=∠DCE=90° ∵CE=CP

∴△BCP≌△DCE（SAS） （2）① ∵CD=2PC

∴P是CD的中点 ∴PD=PC

∵∠PDF=∠PCE=90°，∠FPD=∠EPC ∴△PDF≌△PCE ∴DF=CE ∴DF=CP

∵BC=CD，∠BCP=∠CDF=90° ∴△BCP≌△CDF ∴∠PBC=∠FCD ∵∠PBC+∠BPC=90° ∴∠FCD+∠BPC=90° ∴∠CGP=90° ∴BP⊥CE

② 因为CD=n·PC，不妨设PC=m 则CE=m，CD=AD=AB=nm，DP=(n-1)m ∵S1△DPE=2DP·CE ∴S12=

2(n-1)m·m=12(n-1)m2 ∵CP=CE

∴△PCE是等腰直角三角形

∴∠FPD=∠CPE=45° ∴△PDF是等腰直角三角形 ∴DF=DP=(n-1)m ∴S△PDF=

1DF·DP=1(n-1)222m2 ∵AF=AD-DF=nm-(n-1)m=m

∴S1△ABF=

2AB·AF=112nm·m=2nm2 ∵S1梯形ABPD=2(AB+DP)·AD

=12[nm+(n-1)m]·nm =1(2n2-n) m22 ∴S1= S△BPF= S梯形ABPD-S△ABF-S△PDF

=1(2n2-n) m2-12nm2-12(n-1)2m22 =1(n2-1) m22 =12(n-1)(n+1) m2 ∴S1=(n+1)S2

ADAFDPGPBCEBCE图1 图2

2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

【2013·海南·24题】如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，3），点P是该函数图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q。 （1）求该二次函数的解析式；

（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；

（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一个点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒。

① 连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；

② 直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由。

解：（1）因为二次函数图象与x轴交点为A（-3，0）、B（-1，0），则可设二次函数解析式为y=a(x+3)(x+1)

∵点C（0，3）在二次函数图象上 ∴3=3a，得a=1

∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3 （2）由y=kx-4k得，当y=0时，x=4

∴点Q坐标为（4，0），即OQ=4 由y=x2+4x+3得，当x=-4时，y=3 ∴点P坐标为（-4，3） ∵点C坐标为（0，3） ∴PC∥x轴，PC=4 ∵PC∥OQ，PC=OQ=4 ∴四边形OQCP是平行四边形 ∴∠OPC=∠AQC

（3）① 过点N作ND⊥x轴于D，则

∵OC=3，OQ=4 ∴CQ=5

② 当直线PQ垂直平分线段MN时，QM=QN ∵QN=5-t，QM=AQ-AM=7-3t ∴5-t=7-3t，得t=1 此时，M（0，0），N（

412，） 55∴直线MN解析式为y=3x

26，） 55621由y=kx-4k得，=k-4k，得k=?

55314∴直线PQ解析式为y=?x+

331∵3×?=-1 ∴PQ⊥MN

31∴当t=1且k=?时，直线PQ垂直平分线段MN

3设PQ与MN交于点E，则E（

NDQN? OCCQ?y?x2?4x?3?由方程组?14解得：

?y??x?33?点P的坐标为（3由题意知，CN=t，则QN=5-t ∴ND=3-t

5∵AM=3t

?13?10937?109，）或186113∴S△AMN=AM·ND=·3t·(3-t)

225999545=-t2+=-(t-)2+

10210287由题意知，0≤t≤

35∴当t=时，△AMN的面积最大

2

（?13?10937?109，）

186 PCNy ExABOMDQ2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024年全国中考数学压轴题解析汇编(3)及答案(粤闽桂海川滇黔省会在线全文阅读。