20241127 数学文化复习题

复习题

1、数学科学按其内容可分成五个大学科： 1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics） 2）应用数学（Applied mathematics）

3）计算数学（Computational mathematics）

4）运筹与控制（Operational research and control）

5）概率论与数理统计（Probability theory and mathematical statistics）

1+、数学进展的大致情况：两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以前是数学发展的初级阶段（初等数学阶段），其内容主要是常量数学，如初等几何、初等代数；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支．

2、代数之父是 亚力山大后期的丢番图 ，代表作 《算术》 . 16世纪末，法国数学家 韦达 ，开创了符号数学的先河,其代表作为《分析引论》。現在我们所用的加号“＋”及减号“－”就是他所创用的。 1859年， 李善兰 和英国传教士伟烈亚力合译英国数学家狄摩根的代数著作Elements of algebra 時，首次把“algebra”翻译为“代数”。

3、公理化方法

非欧几何的出现，使数学家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。 构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：

? 相容性：即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的；

? 完备性：即理论系统中的定理都可以从公理导出，也就是公理组有最少个数，不能

有多余的；

? 独立性：即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑结果。

3+、演绎法（公理化方法）的基本构件：定义（概念）、公理 和 定理 。

3++、公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》 .

4、归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。

归纳法的特点：1） 立足于观察；2） 结论具有猜测的性质；3） 结论超越了前提所包含的内容。

数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。

数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛 归纳法：逻辑学中的方法

数学归纳法：数学中的一般方法

4+、类比法（数学上的类比）：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。 例子：线段、三角形、四面体

4++、数学构造法（数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法。 ）的应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等 例子：1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a?0)的根。 2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。 3）勾股定理（毕氏定理）。

4+++、数学化归法原则是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。 数学化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化归的手段。 实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反演（RMI），分解与组合…

4++++、数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的方法。

5、数学学科的特点

1. 抽象性；2. 精确性；3. 应用的广泛性

数学研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内涵没有直接联系。 数学抽象的特点在于：

I.在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃了其他；

II.数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象;

III.数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系的圈子之中.

6、几何学分支简介

1)欧氏几何 2)非欧几何 3)解析几何 4）射影几何 5)拓扑学 6)微分几何 坐标几何与曲线方程思想---17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。

两位数学家敏锐地看到欧氏几何方法的局限性，认识到利用代数方法来研究几何问题，是改变传统方法的有效途径。 并为此开始了各自的研究工作，把代数方程和曲线、曲面的研究联系在一起。

6+：欧式几何和非欧几何的区别： 是否满足《原本》中的第五公设 。 6++：解析几何的创始人是谁： 笛卡尔 和 费马 其基本思想是什么： 用代数方法去解决几何问题

6+++、1）古典几何包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等，（由欧几里德、笛卡尔、高斯、黎曼、罗巴切夫斯基等创建的。）

2）现代几何主要是指微分几何（在解析几何的基础上，如果要研究更复杂的图形，

这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，这时需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。），（由高斯、黎曼等人所奠基，再由嘉当、陈省身等人发

扬光大。）

6、分析学分支：

1.微积分学（研究函数的导数、积分的性质和应用） 2.微分方程（从所给的微分方程解出解出未知函数） 3.复变函数（研究解析函数的性质） 4.实变函数（积分论、函数构造论）

5.泛函分析（古典分析观点的推广，研究无穷维线性空间中映射理论）

7、古典概型与几何概型各有什么特点？ 1）（有限性）试验有有限个基本事件;

2)（等可能性）任何两个基本事件不可能同时出现，且每次试验中各可能结果出现的可能性均相同.

1）样本空间是直线、平面或空间上的某个区域，含有无限多个样本点； 2）各个样本点对应的基本事件的发生是等可能的。

7+. 说说概率论和数理统计的关系？

1）概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用. 2）概率论与数理统计是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.

8、统计学的英文是什么？统计学是怎样的一门学科？ Statistics

数理统计是一门应用性很强的学科，它是研究如何有效地收集、整理和分析受随机影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的一门学科。

8+.统计与数学的区别是什么？ 出发点 统计学 数 据 数 学 定义和公理 研究方法 归 纳 演 绎 评价方法 好与坏 对与错

8++. 什么是随机现象的统计规律性？

频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是客观存在的。

9、现代统计学的鼻祖是谁？ 英国 威廉佩蒂

9+.举例说明统计学的应用。

10、举一古代中国的运筹典故的例子。 1）孙膑与田忌赛马 2）围魏救赵

10+.运筹学有哪些分支？

10++.运筹学有哪些性质和特点？

1) 运筹学的性质

2) 运筹学的特点

11、现代运筹学的发源地是哪里？谁被人们称为现代运筹学之父？

11+、洛伦兹的天气预报

Lorenz发现混沌运动的两个重要特点：

（1） 对初值极端敏感 ；(2) 解并不是完全随机的 。Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。

11++、举例说明混沌和分形学的应用：

12、费马猜想的内容是什么?此猜想最终如何?

13、举例说明各种数学美?

14、什么是数学发展中心？说说数学发展中心的迁移规律。

数学发展的历史上，常常有这样的情形：一个时期，可能在某一个地域，集中了大批优秀的数学家；数学在那里得到长足的发展，水平居于世界领先的地位；各地的数学工作者，向往和来到这一地域学习或工作。我们称这一地域为这一时期的“数学发展中心”。

数学的发展与其它科学的发展一样，有一些要素：第一要有客观需求，第二要有经济保障，第三要有文化环境，第四要有大批人才

15、哪一年哪一届的国际数学家大会首次在中国北京举行？有何意义？

15+.你知道哪些国际数学大奖？

16、世界数学年是哪一年？

17、何谓数学悖论?

18、三次数学危机都和哪些数学悖论相联系?

19、数学危机给数学带来怎样的影响?

20、不连续的函数是否可以求定积分？

21、罗素悖论的内容是什么？其通俗说法可以如何描述？

22、 欧拉、阿基米德、牛顿、高斯等四位被称为有史以来贡献最大的四位数学家。

23、简要叙述哥尼斯堡七桥问题、哈密顿环球旅行问题、四色问题、关键路径问题

24、什么样的图可以一笔画出？

25、在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言：这个图无法一笔画出，也即游人不可能不重复地一次走遍七座桥.更进一步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画

的问题，给出了著名的欧拉定理。欧拉定理的内容是

26、无限与有限的区别 在无限集中，“部分可以等于全体”；“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立。

27、分形之父是 芒德勃罗 28、举例说明自然界中的分形 雪花

29、今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？

30、叙述整数带余除法定理

对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r<|b|。这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数， 31、某单位有100把锁，分别编号为1，2，3，…，100。现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙。请你给出一种对钥匙编号的方法。

32、第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。

33、20世纪有思想发明、发现足以影响后世：相对论、量子论、分形、混沌 ；其中前两项属于物理，后两项属于数学。

34、在理论数学中，瑞典数学家Koch早在1904年就构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象。 35、科赫曲线长度公式与理查逊海岸线长度经验公式几乎一致．曼德勃罗把科赫曲线当成海岸线的数学模型． 36、在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质）。

论述题举例：

1. 结合自己的专业，谈谈对数学的认识； 2. 举数学文化的实例，论述其表达的内涵； 3. 撷取数学著名问题，论述其带来的影响及作用

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