陕西数学理精校版-2024普通高等学校招生统一考试

恒谦教育研究院

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设a,b是向量，命题“若a??b，则∣a∣= ∣b∣”的逆命题是（ ） A. 若a??b，则∣a∣?∣b∣ B. 若a??b，则∣a∣?∣b∣ C. 若∣a∣?∣b∣，则a??b

D. 若∣a∣=∣b∣，则a= -b

2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是（ ） A. y2??8x

B. y2?8x

C. y2??4x D. y2?4x

3. 设函数f(x)(x?R)满足f(?x)?f(x),f(x?2)?f(x),,则y?f(x)的图像可能是（ ）

4. (4x?2?x)6（x∈R）展开式中的常数项是（ ） A. -20

B. －15

C. 15

D. 20

5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A. 8?2? 3B. 8?

3?C. 8?2? D.

2? 36. 函数f（x）=x—cosx在[0，+∞）内（ ） A. 没有零点 C. 有且仅有两个零点

B. 有且仅有一个零点 D. 有无穷多个零点

1227. 设集合M={y|y=cosx—sinx|,x∈R},N={x||x—i|<2,i为虚数单位，x∈R},则

西安恒谦教育科技股份有限公司 第1页

恒谦教育研究院

M∩N为（ ） A. （0,1）

B. （0,1]

C. [0,1）

D. [0,1]

8. 右图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立

x3等于 评分，P为该题的最终得分。当x1?6,x2?9.p=8. 5时，（ ）

A. 11 B. 10 C. 8 D. 7 9. 设（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ） A. x和y的相关系数为直线l的斜率 B. x和y的相关系数在0到1之间

C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D. 直线l过点(x,y)

10. 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ） A.

1 36B.

19C.

5 36D.

16二、填空题

lgx,x?0,??f(f(1))?1，则a= 11. 设若f(x)??a2x?3tdt,x?0,???012. 设n?N?,一元二次方程x2?4x?n?0有正数根的充要条件是n= 13. 观察下列等式

1=1

西安恒谦教育科技股份有限公司 第2页

恒谦教育研究院

2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此规律，第n个等式为 。

14. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A. （不等式选做题）若关于x的不等式a?x?1?x?2存在实数解，则实数a的取值范围是 。

B. （几何证明选做题）如图，?B??D,AE?BC,?ACD?90，且AB?6,AC?4,AD?12，则BE? 。

C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1:?上，则AB的最小值为 。

三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）。 16. （本小题满分12分）

如图，在?ABC中，沿AD?ABC?60,?BAC?90,AD是BC上的高，把?ABC折起，使?BCD?90 。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；

西安恒谦教育科技股份有限公司 第3页

?x?3?cos?（?为参数）和曲线C2:??1?y?4?sin? 恒谦教育研究院

（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求AE与DB夹角的余弦值。

17. （本小题满分12分）

如图，设P是圆x2?y2?25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且

MD?4PD 5（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。

18. （本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理。

19. （本小题满分12分）如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2?Pn，Qn，记Pk点的坐标为（xk，0）（k=1,2，?，n）。

（Ⅰ）试求xk与xk?1的关系（2≤k≤n）； （Ⅱ）求PQ11?PQ22?PQ33?...?PQnn

西安恒谦教育科技股份有限公司 第4页

45 恒谦教育研究院

20. （本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 L2的频率 0. 1 0. 2 0. 3 0. 2 0. 2 0 0. 1 0. 4 0. 4 0. 1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

21. （本小题满分14分）

设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f?(x)?,g(x)?f(x)?f?(x). （Ⅰ）求g(x)的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论g(x)与g()的大小关系；

（Ⅲ）是否存在x0?0，使得g(x)?g(x0)?对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.

1x1x1x西安恒谦教育科技股份有限公司 第5页

恒谦教育研究院

参考答案

一、选择题

1-5 DBBCA 6-10 BCCDD 二、填空题

11. 1 12. 3或4 13. n?(n?1)?(n?2)??(3n?2)?(2n?1)2 14. 2000 15. A???,?3?三、解答题

16. 解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高， ∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ， 又DB?ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面

平面BDC. ?平面ABD?平面BDC。

?3,??? B. 42 C. 3 （Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝90?及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设DB=1，以D为坐标原点，以DB,DC,DA所在直线x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，3），E（，，0），

?13??AE=?,,?3?，DB=（1，0,0,），

?22??AE与DB夹角的余弦值为

1232cos＜AE，DB＞=

AE?DB?|AE|?|DB|121?224?22.?22121?224?22. 22?xp?x,?17. 解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp），由已知得?5

yp?y,??4西安恒谦教育科技股份有限公司 第6页

恒谦教育研究院

x2y2?5?∵P在圆上， ∴ x??y??25，即C的方程为??1

2516?4?22（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y??x?3?， 设直线与C的交点为A?x1,y1?,B?x2,y2?

4x2?x?3?将直线方程y??x?3?代入C的方程，得??1 即x2?3x?8?0

5252524545∴ x1?AB?3?413?41 ∴ 线段AB的长度为 ,x2?2222?x1?x2???y1?y2?41412?16???1???x1?x2???41?

255?25?18. 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在?ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC

a2?BC?BC?(AC?AB)?(AC?AB)?AC?2AC?AB?AB

?AC?2AC?ABCOSA?AB?b2?2bccosA?c2

2222即a2?b2?c2?2bccosA

同理可证b2?a2?c2?2accosB，c2?a2?b2?2abcosC

19. 解（Ⅰ）设Pk?1(xk?1,0)，由y??ex得Qk?1(xk?1,ex)点处切线方程为y?ex?ex(x?xk?1),

k?1k?1k?1由y?0得xk?xk?1?1(2?k?n)。

x?(k?1)（Ⅱ）x1?0,xk?xk?1??1，得xk??(k?1)，所以PQ kk?e?ek于是，Sn?PQ11?PQ22?PQ33?...?PQnn?1?e?e?...?e?1?2?(n?1)1?e?ne?e1?n?? 1?e?1e?1西安恒谦教育科技股份有限公司 第7页

恒谦教育研究院

20. 解（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P（A1）=0. 1+0. 2+0. 3=0. 6，P（A2）=0. 1+0. 4=0. 5， P（A1） ＞P（A2）, ?甲应选择Li

P（B1）=0. 1+0. 2+0. 3+0. 2=0. 8，P（B2）=0. 1+0. 4+0. 4=0. 9， P（B2） ＞P（B1）, ?乙应选择L2.

（Ⅱ）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知P(A)?0.6,P(B)?0.9,又由题意知，A,B独立，

?P(X?0)?P(AB)?P(A)P(B)?0.4?0.1?0.04

P(X?1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.4?0.9?0.6?0.1?0.42

P(X?2)?P(AB)?P(A)P(B)?0.6?0.9?0.54

?X的分布列为

X P 0 0. 04 1 0. 42 1x2 0. 54 ?EX?0?0.04?1?0.42?2?0.54?1.5.

21. 解 （Ⅰ）由题设易知f(x)?lnx，g(x)?lnx?，

?g'(x)?x?1，令g'(x)?0得x?1， 2x当x?(0,1)时，g'(x)?0，故（0,1）是g(x)的单调减区间， 当x?(1,??)时，g'(x)?0，故(1,??)是g(x)的单调增区间，

因此，x?1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)?1. （Ⅱ）g()??lnx?x，

(x?1)211设h(x)?g(x)?g()?2lnx?x?，则h'(x)??2，

xxx西安恒谦教育科技股份有限公司 第8页

1x 恒谦教育研究院

当x?1时，h(1)?0，即g(x)?g()， 当x?(0,1)?(1,??)时h'(x)?0，h'(1)?0， 因此，h(x)在(0,??)内单调递减，

当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即g(x)?g()， 当x?1时，h(x)?h(1)?0，即g(x)?g(). （Ⅲ）满足条件的x0不存在. 证明如下：

证法一 假设存在x0?0 ，使|g(x)?g(x0)|? 对任意x?0 成立， 即对任意x?0，有 Inx?g(x0)?Inx? ，（*）

但对上述x0，取x1?eg(x)时，有 Inx1?g(x0)，这与（*）左边不等式矛盾，

01x1x1x1x2x因此，不存在x0?0 ，使|g(x)?g(x0)|? 对任意x?0成立。 证法二 假设存在x0?0，使 |g(x)?g(x0)|? 对任意的x?0成立。 由（Ⅰ）知，eg(x) 的最小值为g(x)?1。

01x1x又g(x)?Inx?1?Inx，而x?1时，Inx的值域为(0,??)， x∴ x?1 时，g(x) 的值域为[1,??)， 从而可取一个x1?1，使 g(x1)?g(x0)?1， 即g(x1)?g(x0) ?1，故 |g(x1)?g(x0)|?1?1x1，与假设矛盾。 x1∴ 不存在x0?0 ，使|g(x)?g(x0)|? 对任意x?0成立。

西安恒谦教育科技股份有限公司 第9页

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库陕西数学理精校版-2024普通高等学校招生统一考试在线全文阅读。