2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)山东卷

普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解

2015年山东文

一、选择题（共10小题；共50分）

1. 已知集合??= ?? 2

A. 1,3 2. 若复数??满足

A. 1?i A. ??

??1?i

B. 1,4 C. 2,3 D. 2,4

=i，其中i为虚数单位，则??= ??

B. 1+i B. ??

π

C. ?1?i C. ??

D. ?1+i D. ??

3. 设??=0.60.6，??=0.61.5，??=1.50.6，则??，??，??的大小关系是 ??

4. 要得到函数??=sin 4???3 的图象，只需要将函数??=sin4??的图象 ??

A. 向左平移个单位

12π

B. 向右平移个单位

12π

π

C. 向左平移3个单位

A. 若方程??2+?????=0有实根，则??>0 B. 若方程??2+?????=0有实根，则??≤0 C. 若方程??2+?????=0没有实根，则??>0 D. 若方程??2+?????=0没有实根，则??≤0

π

D. 向右平移3个单位

5. 若??∈??，命题“ ??>0，方程??2+?????=0有实根”的逆否命题是 ??

6. 为比较甲、乙两地某月14 时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中 14 时的气温数据（单位：

°

C）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；

③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； ④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 ??

A. ①③

B. ①④

C. ②③

1

2D. ②④

7. 在区间 0,2 上随机地取一个数??，则事件“ ?1≤log1 ??+2 ≤1 ”发生的概率为 ??

A. 4 8. 若函数?? ?? =

A. ?∞,?1

2??+12?????

3

B. 3

2

C. 3

1

D. 4

1

是奇函数，则使?? ?? >3成立的??的取值范围为 ??

B. ?1,0

C. 0,1

D. 1,+∞

9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ??

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A.

2 23

π B.

4 2π3

C. 2 2π D. 4 2π

3?????,??<1,5

10. 设函数?? ?? = ??若?? ?? 6 =4，则??= ??

2,??≥1.

A. 1

B. 87

C. 4

3

D.

2

1

二、填空题（共5小题；共25分）

11. 执行如图所示的程序框图，若输入的??的值为1，则输出的??的值是 ．

?????≤1,

??=??+3??的最大值为 ． 12. 若??，??满足约束条件 ??+??≤3,则

??≥1,

????? = ． 13. 过点?? 1, 3 作圆??2+??2=1的两条切线，切点分别为??，??，则????14. 定义运算“ ? ”：?????=

??2???2????

??,??∈??,????≠0 ．当??>0，??>0时，?????+ 2?? ???的最小

值为 ． 15. 过双曲线??：

??2??2

?

??2??2

=1 ??>0,??>0 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交??于点??．若点

??的横坐标为2??，则??的离心率为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）

16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团未参加演讲社团

82

530

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学??1，??2，??3，??4，??5，3名

女同学??1，??2，??3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求??1被选中且??1未被选

中的概率．

17. △??????中，角??，??，??所对的边分别为??，??，??，已知cos??=

求sin??和??的值．

18. 如图，三棱台?????????????中，????=2????，??，??分别为????，????的中点．

3，sin ??+3

6，????9

?? ==2 3，

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（1）求证：????∥平面??????；

（2）若????⊥????，????⊥????，求证：平面??????⊥平面??????． 19. 已知数列 ???? 是首项为正数的等差数列，数列 ??

（1）求数列 ???? 的通项公式；

（2）设????= ????+1 ?2????，求数列 ???? 的前??项和????．

20. 设函数?? ?? = ??+?? ln??，?? ?? =e??．已知曲线??=?? ?? 在点 1,?? 1 处的切线与直线

2?????=0平行． （1）求??的值；

（2）是否存在自然数??，使得方程?? ?? =?? ?? 在 ??,??+1 内存在唯一的根? 如果存在，求出??；

如果不存在，请说明理由；

（3）设函数?? ?? =min ?? ?? ,?? ?? （min ??,?? 表示??，??中的较小值），求?? ?? 的最大值． 21. 平面直角坐标系??????中，已知椭圆??：

上．

（1）求椭圆??的方程；

（2）设椭圆??：4??2+4??2=1，??为椭圆??上任意一点，过点??的直线??=????+??交椭圆??于??，??

两点，射线????交椭圆??于点??．

①求 ???? 的值；

②求△??????面积的最大值．

????

??2

??2

??2??

2+

1

???????+1

的前??项和为2??+1，

??

??2

??2??2=1 ??>??>0 的离心率为，且点 3, 在椭圆??

22

31

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答案

第一部分 1. C 6. B

2. A 7. A

3. C

4. B

5. D

2??+12?????

8. C 【解析】因为?? ?? =

2??+1

是奇函数，所以??=1，则?? ?? =

2??+12???1

，当2???1>0，

即??>0时，?? ?? =2???1>3可化为2??+1>3?2???3，解得0

= ???? = 3，∠??????=60°． 【解析】提示：如图，可求得 ????

3

10. D

第二部分

14. 2

【解析】?????+ 2?? ???=15. 2+ 3 【解析】将??点横坐标代入双曲线方程中，求得?? 2??,± 3?? ，不妨设题中过右焦点且与渐近线平行的直线??的斜率为??，则??的方程为??=?? ????? ．

??

????2+2??22????

≥

2 2????2????

= 2，当且仅当??= 2??时，等号成立．

将?? 2??,? 3?? 代入直线??方程可得??,??的关系，求得离心率为??=2+ 3． 第三部分

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??

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16. （1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45?30=15（人），

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为??=45=3．

（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： ??1,??1 ， ??1,??2 ， ??1,??3 ， ??2,??1 ， ??2,??2 ， ??2,??3 ， ??3,??1 ， ??3,??2 ， ??3,??3 ， ??4,??1 ， ??4,??2 ， ??4,??3 ， ??5,??1 ， ??5,??2 ， ??5,??3 ，共15个． 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．

事件“ ??1被选中且??1未被选中”所包含的基本率件有： ??1,??2 ， ??1,??3 共2个． 因此??1被选中且??1未被选中的概率为??=15． 17. 在△??????中，由cos??=因为??+??+??=π， 所以sin??=sin ??+?? =因为sin??

所以??

5 39

6． 9

3，得sin??3

2 6， 3

15

1

=

，

63

因此sin??=sin ??+?? =sin??cos??+cos??sin??=由sin??=sin??，可得??=

??

??

??sin??sin??

×

5 39

+

33

×

69

=

2 23

．

=

2 2??3 69=2 3??．

又????=2 3，所以??=1． 18. （1）证法一：

如图，连接????，????，设????∩????=??，连接????．

在三梭台?????????????中，????=2????，??为????的中点，可得????∥????，????=????， 所以四边形????????为平行四边形，则??为????的中点． 又??为????的中点， 所以????∥????．

又?????平面??????，?????平面??????， 所以????∥平面??????． 证法二：

在三棱台?????????????中，由????=2????，??为????的中点， 可得????∥????，????=????，

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所以四边形????????为平行四边形，可得????∥????． 在△??????中，??为????的中点，??为????的中点， 所以????∥????． 又????∩????=??，

所以平面??????∥平面????????． 因为?????平面????????， 所以????∥平面??????． （2）如图，连接????．

因为??，??分别为????，????的中点， 所以????∥????．

由????⊥????，得????⊥????． 又??为????的中点， 所以????∥????，????=????， 因此四边形????????是平行四边形． 所以????∥????． 又????⊥????， 所以????⊥????．

又????,?????平面??????，????∩????=??， 所以????⊥平面??????． 又?????平面??????， 所以平面??????⊥平面??????．

19. （1）设数列 ???? 的公差为??，令??=1，得所以??1??2=3.???① 令??=2，得

1??1??2

1??2??3

25

1??1??2

13

=，

+=，

所以??2??3=15.???② 由①②得

2??1+??1??=3 2 2

??1+3??1??+2??=15

解得??1=1，??=2，

所以????=2???1．经检验，符合题意． （2）由（1）知????=2???22???1=???4??，

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所以四边形????????为平行四边形，可得????∥????． 在△??????中，??为????的中点，??为????的中点， 所以????∥????． 又????∩????=??，

所以平面??????∥平面????????． 因为?????平面????????， 所以????∥平面??????． （2）如图，连接????．

因为??，??分别为????，????的中点， 所以????∥????．

由????⊥????，得????⊥????． 又??为????的中点， 所以????∥????，????=????， 因此四边形????????是平行四边形． 所以????∥????． 又????⊥????， 所以????⊥????．

又????,?????平面??????，????∩????=??， 所以????⊥平面??????． 又?????平面??????， 所以平面??????⊥平面??????．

19. （1）设数列 ???? 的公差为??，令??=1，得所以??1??2=3.???① 令??=2，得

1??1??2

1??2??3

25

1??1??2

13

=，

+=，

所以??2??3=15.???② 由①②得

2??1+??1??=3 2 2

??1+3??1??+2??=15

解得??1=1，??=2，

所以????=2???1．经检验，符合题意． （2）由（1）知????=2???22???1=???4??，

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